202X版高中全程复习方略配套课件：2.6对数函数（数学文人教A版湖南专用）（共49张PPT）

1、第六节 对数函数,三年12考 高考指数: 1.理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0,且a1,1.对数的运算及对数函数的图象、性质是高考考查的重点，主要考查利用对数函数的图象与性质比较函数值大小、求定义域、值域、单调区间、最值及研究零点、奇偶性等问题，同时考查分类讨论、数形结合、转化与化归思想. 2.常与方程、不等式等知识交汇命题，多以选择、填空

2、题的形式考查. 3.预测2013年高考仍将以对数函数的图象与性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力,1.对数的定义 (1)对数的定义 请根据下图的提示填写与对数有关的概念,其中a的取值范围是：_,a0且a1,2)两种常见对数,常用对数,自然对数,即时应用】(1)若2x=5,则x=_,若log3x=2,则x=_. (2)将log23用常用对数表示为_；用自然对数表示为 _. 答案：(1)log25 32 (2,2.对数的性质、换底公式与运算性质,性质,换底公式,运算性质,a0,且a1,M0,N0,结论,条件,a1=0, aa=1 aaN=N(a0且a1,a(MN)= aM+aN,即时应用

3、】(1) =0，则x=_. (2)计算 =_. （3）若a0,a1,xy0,nN*,判断下列各式的正误. （请在括号中填写“”或“”） (logax)n=logaxn ( ) ( ) ( ) ( ) (,解析】(1)由 (2)原式= (3)是错误的，如(log24)3=8log243=log226=6； 是正确的， 是错误的，如 是正确的， 是正确的，设 即 答案：(1) (2)4 (3,3.对数函数的定义、图象与性质 (1)对数函数的定义 表达式：y= _(a0,且a1). 自变量：_. 定义域：_,logax,x,0,2)对数函数的图象与性质,1)定义域：（0，,2)值域：R,3)当x=1

4、时，y=0，即过定点（1,0,4)在（0，+）上为增函数,4)在（0，+）上为减函数,即时应用】 (1)判断下列函数是否是对数函数(请在括号中填“是”或 “否”). y=log2(x-1)( )； y=log2x+1( )； y=2log3x( )； ( )； ( )； y=lnx( ). (2)函数y=loga(x-1)+2(a0,a1)的图象恒过一定点是_. (3)设P=log23,Q=log32,R=log2(log32),则P、Q、R的大小关系为_,解析】(1)由对数函数的定义可知是对数函数. (2)依题意，当x=2时，函数y=loga(x-1)+2(a0,a1)的值为2，所以其图象恒

5、过定点(2,2). (3)P=log23log22=1, 即P1,0=log31Q=log32log33=1，即0Q1. 0log321, log2(log32)log21=0, 即R0,RQP. 答案：(1)否否否否否是 (2)(2，2) (3)RQP,4.反函数 指数函数y=ax(a0且a1)与对数函数_(a0且a1)互 为反函数，它们的图象关于直线_对称,y=logax,y=x,即时应用】 (1)f(x)=2x的反函数与x轴的交点坐标是_. (2)设函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x)，若 则a 等于_. 【解析】(1)f(x)=2x的反函数是g(x)=log2x，当g(x)=

6、0时， x=1，所以其反函数与x轴的交点坐标是(1,0). (2)由于f(x)=log2x的反函数为y=g(x)=2x，又 即： 答案：(1)(1,0) (2,对数的运算 【方法点睛】对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化,例1】(1)计算： (2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【解题指南】(1)按对数式运算的一般思

7、路进行计算； (2)将已知对数式化为指数式，并将a2m+n转化为(am)2an，从而计算求解,规范解答】(1)原式= (2)loga2=m,am=2, 又loga3=n,an=3, a2m+n=a2man=(am)2an=223=12,互动探究】本例(2)中条件不变，求loga12的值. 【解析】loga2=m,loga3=n, loga12=loga4+loga3=2loga2+loga3=2m+n,反思感悟】(1)在对数运算中，首先对底数、真数进行变形，然后再利用对数的运算性质进行化简，若出现不同的“底”，应利用换底公式换成相同的“底”. (2)在等比数列的计算中常涉及到对数的运算，要正确

8、地用好对数的相关知识进行计算,变式备选】(1)计算： (2)计算：(log32+log92)(log43+log83). (3)若数列an为各项均为正项的等比数列，且a12与a2 001为一元二次方程x2+mx+8=0的两根，求：log2a1+log2a2+log2a2 012的值,解析】(1) (2)原式,3)由已知得a12a2 001=8，且由等比数列的性质得， a1a2a3a2 012=(a1a2 012)1 006 =(a12a2 001)1 006=81 006， 原式=log2(a1a2a3a2 012)=log281 006 =1 0063=3 018,对数函数的图象及其应用 【

9、方法点睛】 应用对数函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解. (2)一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解,例2】(2012济南模拟)已知函数 若a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围 是( ) (A)(1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24) 【解题指南】求解本题，需作出函数f(x)的图象，不妨设abc，根据图象结合f(a)=f(b)=f(c)，确定出c的大致范围，再由f(a)=

10、f(b)去绝对值符号，确定ab的值，从而得解,规范解答】选C.作出f(x)的大致图象. 不妨设abc，因为a、b、c互不相等， 且f(a)=f(b)=f(c)，由函数的图象可知 10c12， 且|lga|=|lgb|，因为ab， 所以lga=-lgb，可得ab=1， 所以abc=c(10,12)，故选C,反思感悟】数形结合思想往往是解决某些对数型函数性质、对数型方程、不等式问题、对数值大小比较的切入口及有效方法，应熟练掌握这种思想方法的解题规律,变式训练】(1)函数y=log2|x+1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_. 【解析】作出函数y=log2x的图象， 将其关于y轴对称得到函数y=

11、log2|x| 的图象，再将图象向左平移1个单位 长度就得到函数y=log2|x+1|的图象 (如图所示).由图知，函数y=log2|x+1|的递减区间为(-,-1),递增区间为(-1，+). 答案：(-,-1) (-1,2)若不等式(x-1)2logax对于x(1,2)恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax, 要使当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，只需f1(x)=(x-1)2在(1，2)上的图象在f2(x)=logax图象的下方即可. 当0a1时，显然不成立； 当a1时，如图， 要使f1(x)=(x-1)2在(1，2)上的

12、图象在 f2(x)=logax的图象下方，只需f1(2)f2(2), 即(2-1)2loga2,loga21, 1a2,即实数a的取值范围是(1，2,对数函数性质的应用 【方法点睛】1.利用对数函数的性质比较对数值大小 (1)同底数对数值的大小比较可直接利用其单调性进行判断. (2)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量(如-1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较. 2.利用对数函数性质研究对数型函数性质 求解方法与一般函数性质的求解方法一致，但要注意三方面的问题，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的,例3】(1)(2011

13、北京高考)如果 那么( ) (A)yx1 (B)xy1 (C)1xy (D)1yx (2)函数 在区间2，4上的最小值是 _. (3)已知函数 求函数f(x)的定义域； 若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性 和单调性,解题指南】(1)利用单调性求解； (2)利用换元法转化为二次函数最值求解； (3)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论， 先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性,规范解答】(1)选D.因为 为(0,+)上的减函数，所 以xy1. (2) 令 则-1t- 且y=t2-t+5, 当t=- 时， 答案,3) x-(3a-1)x-(-2a-1)0,所以，当 3

14、a-1-2a-1,即a0时，定义域为(-,-2a-1)(3a-1, +)；当3a-1-2a-1,即a0时，定义域为(-,3a-1) (-2a-1,+). 函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当 -2a-1=-(3a-1)a=2,此时， 对于定义域D=(-,-5)(5,+)内任意x,-xD, 所以f(x)为奇函数,当x(5,+),对任意5x1x2, 有f(x1)-f(x2)= 而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5) =10(x2-x1)0, 所以f(x1)-f(x2)0, f(x)在(5,+)内单调递减； 由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(-,-5)内单调递减,互动探究

15、】在本例(3)的条件下将f(x)的底数改为m(m0 且m1)，求函数f(x)在10,15上的值域. 【解析】由(3)求解得，当m1时,函数 在 (5，+)内单调递减，所以在10,15上亦单调递减， f(15)f(x)f(10). 即：logm2f(x)logm3,值域为logm2,logm3. 同理当0m1时，值域为logm3,logm2, 综上所述：当0m1时，值域为logm3,logm2. 当m1时，值域为logm2,logm3,反思感悟】利用对数函数性质的注意点 (1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1,+)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都

16、要在其定义域上进行； (3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误,变式备选】是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由. 【解析】假设符合条件的实数a存在. 设g(x)=ax2-x， 当a1时，为使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是增函数，需g(x)=ax2-x在区间2,4上是增函数，故应满足,又a1，a1； 当01时，函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是增函数,易错误区】幂值、对数值大小比较问题的易错点 【典例】(2011天津高考)已知 则( ) (A)

17、abc (B)bac (C)acb (D)cab,解题指南】首先将a、b、c化成同底数的幂，再利用对数函数的图象或性质比较幂指数中对数值的大小，最后利用指数函数的单调性比较出a、b、c的大小,规范解答】选C. 方法一：在同一坐标系中分别作出函数y=log2x,y=log3x, y=log4x的图象，如图所示. 由图象知：log23.4log3 log43.6,方法二： 由于y=5x为增函数， 即： 故acb,阅卷人点拨】通过对高考中阅卷的数据分析与总结，我们得到以下误区警示及备考建议,1.(2011安徽高考)若点(a,b)在y=lgx图象上，a1，则下列 点也在此图象上的是( ) (A)( b) (B)(10a,1-b) (C)( b+1) (D)(a2,2b) 【解析】选D.由题意得b=lga,2b=2lga=lga2,即(a2,2b)也在函 数y=lgx的图象上,2.（2012岳阳模拟）若 则( ) (A)abc(B)cba(C)cab(D)bac 【解析】选C,3.(2011重庆高考)下