数值分析实验报告

1、分 数：评卷人：研究生（数值分析）实验报告学 号 M姓 名 刘良专 业 光学工程指 导 教 师 刘小英院（系、所） 光学与电子信息学院2018年4月30日数值实验2.1 多项式差值的振荡现象问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼近的函数。Runge给出的一个例子是极其著名并富有启发性的，设区间-1,1上函数实验内容：考虑区间-1,1的一个等距划分，分点为则拉格朗日插值多项式为其中是n次Lagrange插值基函数。实验要求：（1） 选择不断增大的分点数目n=2,3

2、,，画出原函数f(x)插值多项式函数(x)在-1,1上的图像，比较并分析实验结果。（2） 选择其他的函数，例如定义在区间-5,5上的函数重复上述的实验看其结果如何。1、 MATLAB实验程序prompt=如选择f(x),请输入f,如选择h(x),请输入h,如选择g(x),请输入g:;word=请选择试验函数;answer=inputdlg(prompt,word,1,f);choose=char(answer);prompt=请输入插值多项式的次数：;word=插值次数;answer1=inputdlg(prompt,word,1,10);numb=str2num(char(answer1);

3、if(numb=2) for k=3:n+1 for i=3:k+1 t(k,i)=t(k-1,i)-a(k-1)*t(k-1,i-1)-b(k-1)*t(k-2,i-2); end end end for i=1:n+1 for k=i:n+1 alph(n+2-i)=alph(n+2-i)+c(k)*t(k,k+2-i); end end xmin=min(x);xmax=max(x);dx=(xmax-xmin)/(25*m); t=(xmin-dx):dx:(xmax+dx); s=alph(1); for k=2:n+1 s=s.*t+alph(k); end plot(x,y,*,

4、t,s,-); title(正交多项式拟合); xlabel(x);ylabel(y); grid on ;end2、 实验结果对表中的数据作3次最小二乘拟合，其离散数据的拟合函数的图形如图3.1所示，输出的平方误差为：2.17619e-05，系数为(按降次)：1.99911-2.99767-3.96825e-050.。对表中的数据通过正交多项式3次最小二乘拟合，其离散数据的拟合函数的图形如图3.2所示，输出平方误差：2.17619e-05。系数为(按降次)：1.99911-2.99767-3.96825e-050.当拟合次数n取不同的值时，其平方误差得到如下表格：n23456平方误差13.4

5、882.17619e-051.6671e-051.63734e-051.2374e-253、 结果分析最小二乘拟合是在离散情况下的最佳平方逼近。从图中我们可以看到，在拟合次数为3次的情况下，各个离散点均能落在拟合曲线上，拟合效果很好，拟合的平方误差为10-5量级。利用多项式进行最小二乘拟合和利用正交多项式进行最小二乘拟合的结果对比发现，两种算法算出的拟合函数系数一致，平方误差一致，所得的结果完全一致，实际上这也是必然的。在算法原理上，用一般多项式进行最小二乘拟合时，其系数矩阵是一个正规方程组，而利用正交多项式的解法时，无非是为了避免多项式拟合时求解病态法方程组，通过寻找一组正交的基函数，使得法

6、方程的系数矩阵变成一个对角阵，使得法方程组得到简化，利于求解。本质上还是同一种算法，所得的结果必然是一致的。由于题中给出了7个离散点，通过依次改变拟合次数n，观察计算得到平方误差的表，在拟合次数越高时（小于离散点数目），其平方误差越小，拟合效果也越好。数值实验4.1 数值积分实验目的：复化积分公式计算定积分。实验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值。 实验要求：（1） 若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-legendre I型公式做计算，要求绝对误差限为，分别利用他们的余项对每种算法做出步长的事前估计。（2） 分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss

7、-legendre I型公式做计算。（3） 将计算结果与精确解作比较，并比较各种算法的计算量。1、 MATLAB实验程序answer=inputdlg(请选择积分公式，复化梯形公式输入T，复化simpson公式输入S，高斯公式输入G,积分公式选择窗口,1,T);answer1=inputdlg(请选择积分题目14,题目选择窗口,1,1);nb=char(answer);nb1=str2num(char(answer1);r=0.5e-7;switch nb1 case 1 f=(x) -2./(x.2-1);a=2;b=3; case 2 f=(x) 4./(1+x.2);a=0;b=1; c

8、ase 3 f=(x) 3.x;a=0;b=1; case 4 f=(x) x.*exp(x);a=1;b=2;endswitch nb case T tic; t=(f(a)+f(b)*(b-a)/2; %分成一等分的复化梯形公式计算值。 k=1;t0=0; while(abs(t-t0)=r*3) t0=t;k=k+1; h=(b-a)/k; t=h/2*(f(a)+f(b)+2*sum(f(a+h:h:b-h);%梯形公式的一般计算式 end time=toc; case S tic; t=(f(a)+f(b)+4*f(a+b)/2)*(b-a)/6; k=1;t0=0; while (

9、abs(t-t0)=r*3)%事前估计误差大约为绝对误差的3倍 t0=t;k=k+1;h=(b-a)/k; t=h/6*(f(a)+4*sum(f(a+h/2:h:b-h/2)+2*sum(f(a+h:h:b-h)+f(b);%simpson公式的一般计算式 end time=toc; case G tic;h=b-a; t=h/2*(f(a+h/2-h/(2*sqrt(3)+f(a+h/2+h/(2*sqrt(3); k=1;t0=0; while(abs(t-t0)=r*3) t0=t;k=k+1;h=(b-a)/k; t=h/2*sum(f(a+h/2-h/(2*sqrt(3):h:b-

10、h/2-h/(2*sqrt(3)+f(a+h/2+h/(2*sqrt(3):h:b-h/2+h/(2*sqrt(3);%高斯公式的一般计算式 end time=toc;end switch nb1 case 1 disp(精确解，In2-In3=-0.); disp(绝对误差：,num2str(abs(t+0.); disp(运行时间：,num2str(time); disp(所选择的k等分,num2str(k); case 2 disp(精确解，pi=3.979); disp(绝对误差：,num2str(abs(t-3.979); disp(运行时间：,num2str(time); disp

11、(所选择的k等分,num2str(k); case 3 disp(精确解，2/In3=1.368); disp(绝对误差：,num2str(abs(t-1.368); disp(运行时间：,num2str(time); disp(所选择的k等分,num2str(k); case 4 disp(精确解，e2=7.065); disp(绝对误差：,num2str(abs(t-7.065); disp(运行时间：,num2str(time); disp(所选择的k等分,num2str(k); end2、 实验结果(1)题目一所示的函数：采用复化梯形公式得到的结果如下：精确解，In2-In3=-0.绝

12、对误差：6.7578e-06运行时间：0.所选择的k等分93采用复化simpson公式得到的结果如下：精确解，In2-In3=-0.绝对误差：1.9236e-07运行时间：0.所选择的k等分10采用复化Gauss-legendre I型公式得到的结果如下：精确解，In2-In3=-0.绝对误差：1.9505e-07运行时间：0.所选择的k等分9(2) 题目二所示的函数：采用复化梯形公式得到的结果如下：精确解，pi=3.979绝对误差：9.7119e-06运行时间：0.所选择的k等分131采用复化simpson公式得到的结果如下：精确解，pi=3.979绝对误差：3.9651e-08运行时间：0

13、.所选择的k等分5采用复化Gauss-legendre I型公式得到的结果如下：精确解，pi=3.979绝对误差：2.8196e-08运行时间：0.所选择的k等分5(3) 题目三所示的函数：采用复化梯形公式得到的结果如下：精确解，2/In3=1.368绝对误差：9.8995e-06运行时间：0.所选择的k等分136采用复化simpson公式得到的结果如下：精确解，2/In3=1.368绝对误差：1.4028e-07运行时间：0.所选择的k等分9采用复化Gauss-legendre I型公式得到的结果如下：精确解，2/In3=1.368绝对误差：1.4978e-07运行时间：0.所选择的k等分8(4) 题目四所示的函数：采用复化梯形公式得到的结果如下：精确解，e2=7.065绝对误差：1.9705e-05运行时间：0.所选择的k等分266采用复化simpson公式得到的结果如下：精确解，e2=7.065绝对误差：3.1689e-07运行时间：0.所选择的k等分13采用复化Gauss-legendre I型公式得到的结果如下：精确解，e2=7.065绝对误差：2.9096e-07运行时间：0.所选择的k等分123、 结果分析对这四个函数，复化梯形公式的步长都要比其他两种算法小很多（k最大，h=(b-a)/k），才能达到相同的绝对误差限，步长的增加