八年级数学下册 1 1 等腰三角形 北师大版

1、第一章 三角形的证明,1 等腰三角形,课前预习,1._的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做_，另一条边叫做_，两腰的夹角叫做_，底边与腰的夹角叫做_. 2.等腰三角形两底角的平分线_，两条腰上的高_，两条腰上的中线_ 3.若三角形的任何一个角的平分线垂直于这个角所对的边，则这个三角形是（） A 直角三角形B 等腰非等边三角形 C等边三角形D 等腰直角三角形,有两条边相等,腰,底边,顶角,底角,相等,相等,相等,C,4.若三角形中一角的平分线是它对边的中线，则这个三角形一定是（） A 等腰三角形B 直角三角形 C 等边三角形D 等腰直角三角形 5.已知ABC中，AB=AC=2，C=60，

2、则BC的长为（） A 1B 2C D 4 6.等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为（） A 25B 25或32 C 32D 19,A,B,C,名师导学,新知 1,等腰三角形的性质定理,定理等腰三角形的两底角相等（即等边对等角） 注意：运用“等边对等角”定理时，一定要注意前提是“在同一个三角形中,例1】如图1-1-1，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，并且BD=BC=AD 求ABC各角的度数 解析题目要求从等边出发求角，根据“等边对等角”定理，再结合三角形内角和定理，求出角的度数，那么设A=x，其他各角用x的代数式表示，则可列方程求解,解 AB=AC，BD=BC=AD，

3、ABC=C=BDC，A=ABD 设A=x，则BDC=A+ABD=2x， 则ABC=C=BDC=2x. 在ABC中，A+ABC+C=x+2x+2x=180， x=36，故A=36，ABC=C=72. 点评对于多个等腰三角形中的求角问题，一般都是设最小角为x，再运用等腰三角形的性质定理和三角形内角和定理，列方程求解,举一反三,如图1-1-2，在ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD= AD，AB=BD，求B的度数,解：AB=AC, B=C. AB=BD, BAD=BDA. CD=AD, C=CAD. 又BAD+CAD+B+C=180, BAD=BDA=C+CAD, 5B=180. B=36,

4、新知 2,等腰三角形性质定理的推论,推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简述为“三线合一”. 注意：运用推论时，要注意三个结论之间的转化 该推论可用来证明角相等、线段相等、垂直关系等，用途极为广泛,例2】如图1-1-3，在ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，AEF=AFE. 求证：EFBC. 解析要证EFBC，而题中并未给出任何垂线或角的度数，我们就需要“造”出一个垂直关系，由AB=AC可知ABC是等腰三角形，可作底边的高线，由等腰三角形“三线合一”定理及角之间的关系即可证得,证明如图1-1-3，作BC边上的高AD，点D为垂足. AB=AC，ADBC， BA

5、D=CAD. 又 BAC为AEF的一个外角， BAC=AEF+AFE. AEF=AFE， BAD+CAD=AEF+AFE. 2CAD=2AEF. CAD=AEF. ADEF. ADBC， EFBC,举一反三,如图1-1-4，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBE=BAD,证明： AB=AC, ABC=C. AB=AC， AD是BC边上的中线, ADBC. BAD+ABC=90. BEAC, CBE+C=90. CBE=BAD,定理有两个角相等的三角形是等腰三角形（即等角对等边） 注意：（1）判定等腰三角形的方法有两个：一是等腰三角形的定义，即有两边相等的三角

6、形是等腰三角形；二是判定定理. （2）对“等角对等边”的理解仍然要注意它的前提是“在同一个三角形中”. （3）等腰三角形的性质定理“等边对等角”与等腰三角形的判定定理“等角对等边”互为逆定理,新知3,等腰三角形的判定定理,例3】如图1-1-5，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A. 2个 B. 3个C. 4个 D. 5个 解析AB=AC， ABC是等腰三角形. AB=AC，A=36， ABC=C=72. BD是ABC的角平分线， ABD=DBC= ABC=36. A=ABD=36. BD=AD,ABD是等腰

7、三角形. 在BCD中， BDC=180-DBC-C=180-36-72=72， C=BDC=72. BD=BC. BCD是等腰三角形. BE=BC， BD=BE. BDE是等腰三角形. BED=（180-36）2=72. ADE=BED-A=72-36=36. A=ADE. DE=AE. ADE是等腰三角形. 图中的等腰三角形有5个. 答案D,举一反三,如图1-1-6，在ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO= CDO；BE=CD；OB=OC. 根据其中哪两个条件可判定ABC是等腰三角形？（用序号写出各种情形,根据，均可判定ABC

8、是等腰三角形,性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60 注意：运用时，要善于运用特殊角（60）这个条件. 判定定理 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形 注意：判定一个三角形是等边三角形时，先证明它是等腰三角形，再证明有一个角等于60即可；判定一个三角形是不是等边三角形既可用三边相等判断，也可用三角相等判断，要具体问题具体分析,新知4,等边三角形的性质定理和判定定理,例4】如图1-1-7，在等边ABC中，ABC和ACB的平分线相交于点O，BO，OC的垂直平分线分别交BC于点E和点F 求证：OEF是等边三角形 解析利用三角形外角的性质，可以

9、求得OEF= OFE=60，再利用三角形内角和定理求出EOF，从而证明OEF是等边三角形,证明 E，F分别是BO，OC的垂直平分线上的点， OE=BE，OF=CF. 又 ABC是等边三角形，且OB，OC分别平分ABC，ACB， OBE=BOE=OCF=COF=30. OEF=OFE=60. EOF=180-（OEF+OFE） =180-（60+60）=60. OEF是等边三角形,举一反三,如图1-1-8，D,E,F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF.求证：DEF是等边三角形,证明： ABC是等边三角形， AB=BC=CA, A=B=C=60. AD=BE=CF, AF=BD=

10、CE. ADFBED CFE. DF=DE=EF. DEF是等边三角形,新知5,含30角的直角三角形的性质,定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 注意：本定理的前提是在直角三角形中，不是直角三角形不能运用这个定理,例5】如图1-1-9，CDAD，AB=10，BC=20，A=C=30. 求AD，CD的长 解析题目中有30角时，要构造直角三角形，可以过点B分别作BEAD于点E，BFCD于点F，得到含30角的直角三角形，从而构造已知量与未知量之间的关系，再运用含30角的直角三角形的性质即可解,解如图1-1-9，过点B分别作BEAD于点E，BFCD于点F. 由CDAD可知四边形BEDF是矩形， 则ED=BF，FD=BE 在RtAE