2020高一数学新教材必修1教案学案-4.2-指数函数解析版

1、4.2指数函数思维导图躬行实践运用一 指数函数判断【例1】（1）函数fx=m2-m-1ax是指数函数，则实数m=（ ）A2 B1 C3 D2或-1（2）函数y=（a25a+5）ax是指数函数，则有（ ）Aa=1或a=4 Ba=1 Ca=4 Da0，且a1【答案】（1）D（2）C【解析】（1）由指数函数的定义，得m2-m-1=1，解得m=2或-1，故选D.（2）函数y=（a25a+5）ax是指数函数，a2-5a+5=1a0a1，解得a=4故选C【思路总结】【触类旁通】1.下列函数是指数函数的是（ ）Ay=x By=x2 Cy=-2x Dy=21x【答案】A【解析】根据指数函数的定义：形如y=ax

2、(a1且a1)的函数叫做指数函数，A中y=x符合指数函数的定义，是指数函数；B中，y=x2符合指数函数的定义，不是指数函数；C中，y=-2x不符合指数函数的定义，系数为-1，不是指数函数；D中，y=21x不符合指数函数的定义，不是指数函数故选A2若函数fx=(a2-2a-2)ax是指数函数，则a 的值是（ ）A-1 B3 C3或-1 D2【答案】B【解析】根据指数函数的定义：形如y=ax(a1且a1)的函数叫做指数函数，根据这一定义得到函数fx=(a2-2a-2)ax是指数函数，a2-2a-2=1a0a1，解得a=3故选B运用二 定义域值域【例2】（1）函数yax-1的定义域是(，0，则a的取

3、值范围为()Aa0 Ba1 C0a1 Da1（2）若2x2+114x-2，则函数y=2x的值域是（ ）A.18,2B.18,2C.-,18D.2,+（3）设a0，且a1，函数ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，则实数a的值为_【答案】（1）C（2）B（3）或3【解析】（1）要使函数y=ax-1(a0且a1)有意义,则ax-10 ,即 ax1=a0,当a1时，x0；当0a1时，x0，因为y=ax-1的定义域为-,0所以可得0a1符合题意，a的取值范围为0a0，且a1)，则原函数化为yf(t)(t1)22(t0)当0a1时，x1，1，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)

4、(a1)2214，解得a3或a5(舍去)综上得a或3.【思路总结】1.对于yaf(x)这类函数，定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性或利用图象求得此函数的值域2.对于y(ax)2baxc这类函数，定义域是R.值域可以分以下两步求解：设tax，求出t的范围；利用二次函数yt2btc的配方法求函数的值域【触类旁通】1（2019浙江期中）已知函数定义域为，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数的定义域为，则恒成立，即恒成立， ，故答案为：2（2018浙江学军中学高一期中）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取

5、值范围是_【答案】-1，0【解析】f（x）的定义域为R，0对任意xR恒成立，即恒成立，即x2+2axa0对任意xR恒成立，4a2+4a0，则1a0故答案为：1，03（2019贵州高一期末）若函数的定义域为，则函数的值域为_.【答案】【解析】由，得，.令，则，当时，；当时，.故答案为：4（2019石嘴山市第三中学月考）函数的值域为_【答案】(0，2【解析】由题意，设，又由指数函数为单调递减函数，当时，即函数的值域为运用三 单调性判断及运用【例3】（1）若f（x）=（2a1）x是增函数，那么a的取值范围为Aa12 B12a1 Da1(2)已知a0.771.2，b1.20.77，c0，则a，b，c的

6、大小关系是()AabcBcbaCacbDcab（3）不等式12x2+ax122x+a-2恒成立，则a的取值范围是_【答案】（1）C（2）C（3）(2,2)【解析】（1）由题意2a-11a1，应选答案C 。（2）a0.771.2,0a1，b1.20.771，c01，则acb.（3）由指数函数的性质知y12x是减函数，因为12x2+ax122x+a-2恒成立，所以x2ax2xa2恒成立，所以x2(a2)xa20恒成立，所以(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，故有2a2，即a的取值范围是(2,2)【思路总结】1.指数函数性质记忆口诀指数增减要看清，抓住底数不放松；反

7、正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点2.比较幂值大小的三种类型及处理方法【触类旁通】1设函数，则满足的x的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】作出函数y=fx的图象如下图所示：由图象可知，函数y=fx在区间-,0上单调递减，在0,+为常值函数，由fx+12x2x0，解得x0，因此，实数x的取值范围是-,0，故选：D.2.比较下列各题中两个值的大小：(1)1.8与2.5；(2)0.5与0.5；(3)0.20.3与0.30.2.【答案】见解析【解析】(1)因为02.5，所以1.80.5.(3

8、)因为00.20.31，所以指数函数y0.2x与y0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，)上函数y0.2x的图象在函数y0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.3(a22a3)1x，求x的取值范围【答案】见解析【解析】(1) (31) 3，原不等式等价于 331.y3x是R上的增函数，2x21.x21，即x1或x1.原不等式的解集是x|x1或x1(2)a22a3(a1)221，y(a22a3)x在R上是增函数x1x，解得x.x的取值范围是.运用四 定点【例4】（1）（2018疏勒县八一中学高二期末）已

9、知函数的图象恒过定点，则的坐标为_（2）（2019河北永清县一中高二月考）对不同的且,函数必过一个定点,则点的坐标是_.【答案】（1）（2,3）（2）【解析】（1）令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得.所以函数的图像过定点A（2,3）.故答案为：（2,3）（2）根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令42x0，x2，f（2）+34，点A的坐标是（2，4）故答案为：（2，4）【触类旁通】1函数f(x)=ax-1-2(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx-ny-1=0上，其中m0，n0，则1m+2n的最小值为（ ）A.4B.5C.6D.3+22【答案】D【解析】令x-1=

10、0，得x=1，则f1=a0-2=-1，函数y=fx的图象恒过点A1,-1，点A在直线mx-ny-1=0上，可得m+n=1，由基本不等式得1m+2n=1m+2nm+n=nm+2mn+32nm2mn+3=3+22，当且仅当n=2m时，等号成立，因此，1m+2n的最小值为3+22，故选：D.2（2019黑龙江鹤岗一中高二月考（文）当且时，函数的图象必经过定点（ ）ABCD【答案】A【解析】由函数解析式的特征结合指数函数的性质，令可得，此时，故函数恒过定点.故选：A.运用五 图像【例5】(1)如图所示是下列指数函数的图象：yaxybxycx ydx则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cd Bb

11、a1dcC1abcd Dab1d0且a1时，函数f(x)ax32必过定点_【答案】(1)B(2)(3，1)【解析】(1)可先分为两类，的底数一定大于1，的底数一定小于1，然后再由比较c，d的大小，由比较a，b的大小当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)当a0且a1时，总有f(3)a3321，所以函数f(x)ax32必过定点(3，1)【触类旁通】1.已知1nm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()【答案】C【解析】由于0mn1，1b1，且1b0，故其图象如右图所示运用六 指数函数性质

12、的综合应用【例6】已知函数f(x)a(xR)(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(，)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间1,5上的最小值【答案】见解析【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x2，所以220.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)52的解集；（2）若不等式f(2x)+4mf(x)对任意实数x成立，求实数m的取值范围；【答案】（1）x|x1；（2）(-,3)【解析】（1）因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)恒成立，即2-x+(k-1)2x= 2x+(k-1)2-x恒成立，也即(k-2)(2

13、2x-1)=0恒成立，所以k=2.由2x+2-x52得222x-52x+20，解得2x2，即x1，所以不等式f(x)52的解集为x|x1.（2）不等式f(2x)+4mf(x)即为22x+2-2x+4m(2x+2-x)，即f2(x)+2mf(x)，因为f(x)=2x+2-x2，当且仅当x=0时，取等号.所以mf(x)+2f(x)，由函数y=x+2x在2,+)上是增函数知f(x)+2f(x)的最小值为3，所以m3，故实数m的取值范围是(-,3).融会贯通1函数f（x）=（2a3）ax是指数函数，则f（1）=（ ）A8 B32 C4 D2【答案】D【解析】函数f（x）=（2a-3）ax是指数函数，2

14、a-3=1，解得a=2；f（x）=2x，f（1）=2故选：D2（全国高考模拟（理）若函数的定义域为R，则a的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】函数的定义域为R,恒成立3（2019河北）已知函数在上的值域为，函数在上的值域为.若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为在上单调递增，所以，又函数在上单调递增，于是.因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，故有（等号不同时取），得，故选B.4（2019陕西高考模拟（理）已知函数的值域为集合A，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题得A=(0,+)，所以.故选：C5（2019河北高一期末）如图，在四个图形中，

15、二次函数与指数函数的图像只可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据指数函数y（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数yax2+bx的对称轴0可排除B与D，又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，ym2-x+4恒成立，求m的取值范围【答案】（1）f(x)=2x-12x；（2）mm2-x+4恒成立，即m+10)，显然h(x)在(0,+)的最小值是h(2)=-4，故m+1-4，解得：m0 且 a1） .（1）若f10，求不等式f-x2+7+fx-50，又a0且a1，所以a1所以y=ax单调递增，y=a-x单调递减，故fx在R上单调递增，又f-x=a-x-ax=-fx且xR fx是R上的奇函数，由f-x2+7+fx-50得f-x2+7f5-x -x2+75-x x-,-12,+ . （2）f1=a-1a=32，解得a=-12（舍）或a=2，则fx=2x-2-xgx=22x+2-2x-42x-2-x-m=2x-2-x2-42x-2-x-m+2令t=2x-2-xx1,+，t32 ,gx0在1,+恒成立，即t2-4t-m+20在t32,+上恒成立,即mt2-4t+2在t32,+上恒成立,而t2-4t+2=t-22-2-2 m-2 m的最大值为-2.13已知函数f(x)=ex-e-x2，g(x)=ex+e-x2(1)试判断函数f(x)与g(x)