浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案

1、1.（本题满分 15 分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角PACABCABCAC 三角形。分别为的中点，。,E F O,PA PB PC16,10ACPAPC （I） 设是的中点，证明：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m COC/PCBOE （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到,的距ABOMFMBOEMOA OB 离。 2.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是侧棱 CC1上的一点，CP=m， （）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDB1D1所成角的正切值为；3 2 （）在线段 A1C1上是否存在一个定点 Q，使得对任意的 m，D1Q 在平面

2、 APD1上的射影 垂直于 AP，并证明你的结论。 3. 如图甲，ABC 是边长为 6 的等边三角形，E，D 分别为 AB、AC 靠近 B、C 的三等分 点，点 G 为 BC 边的中点线段 AG 交线段 ED 于 F 点，将AED 沿 ED 翻折，使平 面 AED平面 BCDE，连接 AB、AC、AG 形成如图乙所示的几何体。 （I）求证 BC平面 AFG； （II）求二面角 BAED 的余弦值 . x y z 4在如图所示的几何体中，平面 ABC，平面 ABC，EA DB ACBC ，M 是 AB 的中点2ACBCBDAE （1）求证：；CMEM （2）求 CM 与平面 CDE 所成的角 5

3、. 如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，ABCDBEFCBECF ， 90BCFCEF 3AD 2EF （）求证：平面；AEDCF （）当的长为何值时，二面角的大小为？ABAEFC60 6. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在线段 AB，AD 上，AE=EB=AF=沿 . 4 3 2 FD 直线 EF 将翻折成使平面平面 BEF.AEF,EFAEFA （I）求二面角的余弦值；CFDA （II）点 M，N 分别在线段 FD，BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与重合，求线段 FM 的长. A E M A C B D D A B E F C （第 18 题）

4、7. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O 落在 线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2 （）证明：APBC； （）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。 8. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为的菱形，2 3 BAD=120，且 PA平面 ABCD，PA=, M，N 分别为 PB,PD 的中点。2 6 （1）证明：MN平面 ABCD； （2）过点 A 作 AQPC，垂足为点 Q，求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。 9. 如图，

5、在四面体中，平面，ABCDAD BCD ，是的中点，是的中BCCD2AD 2 2BD MADPBM 点，点在线段上，且 QAC3AQQC （）证明：平面；/ /PQBCD （）若二面角的大小为，求的大小CBMD60BDC 10. 如图，在五面体中，已知平面，ABCDEFDE ABCD ，/ /ADBC o 60BAD2AB 1DEEF （1）求证：；/ /BCEF （2）求三棱锥的体积BDEF （第 16 题图） F A C D E B 11. 如图，在直三棱柱中，已知， 111 ABCABC1CACB 1 2AA o 90BCA （1）求异面直线与夹角的余弦值； 1 BA 1 CB （2）求

6、二面角平面角的余弦值 1 BABC 12(本小题 14 分)在等腰梯形中，是ABCD/ /ADBC 1 2 ADBC60ABC N 的中点将梯形绕旋转，得到梯形（如图） BCABCDAB90ABC D （1）求证：平面； ACABC （2）求证：平面；/ /C NADD （3）求二面角的余弦值AC NC 13. （本题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为 直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= 1 2 3 （I）求证：平面 PQB平面 PAD； （II

7、）若二面角 M-BQ-C 为 30，设 PM=tMC， （第 22 题图） A B C A1 B1 C1 A C D BN D C P A B C D Q M 试确定 t 的值 14如图，直角梯形ABCD中，AB/CD， = 90 , BC = CD = ,AD = BCD2 BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2. ( I )求证：AD丄 BF : (II )若线段 ECEC 上一点 M M 在平面 BDFBDF 上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-CB-MF-C 的余弦值. 1.证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、

8、OP 所在直线为轴，x 轴，轴，建立空间直角坐标系 O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m yzxyz 则，由题意得，0,0,0 , (0, 8,0), (8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0, 4,3),PE4,0,3F 因，因此平面 BOE 的法0,4,0 ,G(8,0,0),(0, 4,3)OBOE 向量为，得，又直线不(0,3,4)n ( 4,4, 3FG 0n FG FG 在平面内，因此有平面BOE/ /FGBOE （II）设点 M 的坐标为，则，因为 00 ,0 xy 00 (4, 3)FMxy 平面 BOE，所以有，因此有，即点FM /FMn 00 9

9、4, 4 xy M 的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组 9 4,0 4 xoyAOB ，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使 0 0 8 x y xy ABOM 平面，由点 M 的坐标得点到，的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m FM BOEMOAOB 9 4, 4 x y z 2. 解法：（）,ACACBDO连设 1 .APBGOG 1 与面BD D交于点，连 1111 /,PCBDD BBDD BAPCOG因为面面面 故。所以。/OGPC 1 22 m OGPC 又. 111 ,AODB AOBBAOBDD B所以面 故 11 AGOAP

10、BDD B即为与面所成的角。 在，即.Rt 2 2 tan3 2 2 AOGAGO m 中， 1 3 m 故当时，直线。 1 3 m AP 11 与平面BD DB所成的角的正切值为2 （）依题意，要在上找一点，使得. 11 A CQ 1 D QAP 可推测的中点即为所求的点。 11 A C 1 OQ 因为，所以 1111. D OA C 111 D OAA 111. D QACC A 面 又,故。 11. APACC A 面 11 D OAP 从而 111 D OAD PAP在平面上的射影与垂直。 解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)

11、，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 所以 1 ( 1, 1,0),(0,0,1),BDBB ( 1,1,),( 1,1,0).APm AC 又由的一个法向量. 11 0,0AC BDAC BBACD D 1 知为平面BB 设与所成的角为，AP 11 BDD B面 则 2 |2 sincos() 2| | 22 AP AC APAC m 依题意有：，解得. 2 2 23 2 221 (3 2)m 1 3 m 故当时，直线。 1 3 m AP 11 与平面BD DB所成的角的正切值为2 （）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为， 11 A CQx 则。

12、 1 ( ,1,1),( ,1,0)Q xxDQxx 依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP。等价于 1 1 AP10(1)0 2 DQAP D Qxxx 即为的中点时，满足题设的要求.Q 11 A C 3. () 在图甲中，由ABC 是等边三角形，E，D 分别为 AB，AC 的三等分点，点 G 为 BC 边的中点，易知 DEAF，DEGF，DE/BC 2 分 在图乙中，因为 DEAF，DEGF，AFFG=F，所以 DE平面 AFG 又 DE/BC，所以 BC平面 AFG 4 分 () 因为平面 AED平面 BCDE，平面 AED平面 BCDE=DE，DEA

13、F，DEGF， 所以 FA，FD，FG 两两垂直 以点 F 为坐标原点，分别以 FG，FD，FA 所在的直线为轴，建立如图所示zyx, 的空间直角坐标系则，所以xyzF )32 , 0 , 0(A)0 , 3, 3(B)0 , 2, 0( E ，0) 6 分)32, 3, 3(AB, 1 , 3(BE 设平面 ABE 的一个法向量为),(zyxn 则，即， 0 0 BEn ABn 03 03233 yx zyx 取，则，则 8 分1x3y1z) 1, 3, 1 (n 显然为平面 ADE 的一个法向量，)0 , 0 , 1 (m 所以10 分 5 5 | ,cos nm nm nm 二面角为钝角

14、，所以二面角DAEB 的余弦值为12 分DAEB 5 5 4. 方法一： （1）证明：因为 AC=BC，M 是 AB 的中点，所以 CMAB 又 EA 平面 ABC，所以 CMEM （2）解：过点 M 作 MH平面 CDE，垂足是 H，连 结 CH 并延长交 ED 于点 F，连结 MF、MD，FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角 因为 MH平面 CDE，所以 MHED， 又因为 CM平面 EDM，所以 CMED， 则 ED平面 CMF，因此 EDMF 设 EAa，BDBCAC2a， 在直角梯形 ABDE 中，AB2a，M 是 AB 的2 中点， 所以 DE3a，EM，MD a，3a6

15、 得EMD 是直角三角形，其中EMD90 所以 MF2 EM MD a DE 在 RtCMF 中，tanFCM=1，所以FCM=45， M F M C 故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 方法二： 如图，以点 C 为坐标原点，以 CA，CB 分别作为 x 轴和 y 轴， 过点 C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立直角坐标系 C- xyz，设 EA=a，则 A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，C（2 a，0，a） ， A（0，2 a，2 a） ，A（a，a，0）. （1）证明：因为=（-a，a，-a） ，=（a，a，0） ，EM C M 所以=0，EM C M 故.E

16、MC M （2）解：设向量 n=（1，）与平面 CDE 垂直， o y 0 x 则，nC E nC D 即 =0，=0.n C E n C D 因为=（2a,0,a）, =(0,2a,2a),EC C D 所以 y =2，z =-2， 00 即 n=（1，2，-2） ， ， 2 cos, 2 C M n n C M M n A A 直线 CM 与平面 CDE 所称的角是 45. 5. 方法一： （）证明：过点作交于，连结，EEGCFCFGDG 可得四边形为矩形，BCGE 又为矩形，ABCD 所以，从而四边形为平行四边形，ADEG ADGE 故AEDG 因为平面，平面，AE DCFDG DCF

17、所以平面AEDCF （）解：过点作交的延长线于，连结BBHEFFEHAH 由平面平面，得ABCD BEFCABBC 平面，AB BEFC 从而AHEF 所以为二面角的平面角AHBAEFC 在中，因为，所以，RtEFG3EGAD2EF 60CFE 1FG 又因为，所以，CEEF4CF 从而3BECG 于是 3 3 sin 2 BHBEBEHA 因为，tanABBHAHBA 所以当为时，二面角的大小为AB 9 2 AEFC60 方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立CCBCF，CDxyz 空间直角坐标系Cxyz 设，ABaBEbCFc， 则，(0 0 0)C，( 3 0)Aa，

18、( 3 0 0)B，( 30)Eb，(00)Fc， （）证明：，(0)AEba ，( 3 0 0)CB ，(00)BEb ， 所以，从而，0CB CE A0CB BE ACBAECBBE 所以平面CB ABE 因为平面，CB DCF 所以平面平面ABEDCF 故平面AEDCF （）解：因为，(30)EFcb ，( 30)CEb ， D A B E F C H G D A B E F C y z x 所以，从而0EF CE A| 2EF 2 3()0 3()2 b cb cb ， ， 解得34bc， 所以，( 33 0)E，(0 4 0)F， 设与平面垂直，(1)nyz ，AEF 则，0n AE

19、 A0n EF A 解得 3 3 (13)n a ， 又因为平面，BA BEFC(0 0)BAa ， 所以， 2 |3 31 |cos| 2| | 427 BA na n BA BAn aa A A ， 得到 9 2 a 所以当为时，二面角的大小为AB 9 2 AEFC60 6. 方法一： （）解：取线段 EF 的中点 H，连结A H 因为及 H 是 EF 的中点，A EA F 所以A HEF 又因为平面平面 BEF，及平面A EFA H.A EF 所以平面 BEF。A H 如图建立空间直角坐标系.Axyz 则(2,2,2 2),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).ACFD 故

20、( 2,2,2 2),(6,0,0)FNFD 设为平面的一个法向量( , , )nx y z A FD 所以 222 20 60 xyz x 取2,(0, 2,2)zn 则 又平面 BEF 的一个法向量(0,0,1)m 故 3 cos, 3| | n m n m nm 所以二面角的余弦值为 3 . 3 （）解：设(4,0,0)FMxMx则 因为翻折后，C 与 A 重合，所以 CM=A M 故， 222222 (6)80( 2)2(2 2)xx 得 21 4 x 经检验，此时点 N 在线段 BG 上 所以 21. 4 FM 方法二： （）解：取截段 EF 的中点 H，AF 的中点 G，连结，NH

21、，GHA G 因为及 H 是 EF 的中点，A EA F 所以H/EF。 A 又因为平面EF平面 BEF， A 所以H平面 BEF， A 又平面 BEF，AF 故，A HAF 又因为 G，H 是 AF，EF 的中点， 易知 GH/AB， 所以 GH，AF 于是面GHAF A 所以为二面角DFC 的平面角，A GH A 在中，Rt A GH2 2,2,2 3A HGHA G 所以 3 cos. 3 A GH 故二面角DFC 的余弦值为。 A 3 3 （）解：设，FMx 因为翻折后，G 与重合， A 所以，CMA M 而 22222 8(6)CMDCDMx 222222222 (2 2)(2)2A

22、 MA HMHA HMGGHx 得 21 4 x 经检验，此时点 N 在线段 BC 上， 所以 21. 4 FM 7. 解：（）证： ABAC，D 为 BC 的中点，BCAD PO平面 ABC POBC，而 POAD=OBC平面 ADP APBC （）当 CMAP 时，二面角 A-MC-B 为直二面角， ，2 5OBOC6PBPC41ABAC5AP AM平面 MBC平面 AMC平面PABPACAMCAMBAMMB MBC 2541 363 cos 2 54141 PAB 3 cos413 41 AMPAB AB 方法二： 8. （）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以MNPBPDMNPB

23、D / /MMBD 又因为平面，所以MN ABCD 平面/ /MMABCD （）方法一： 连结交于，以为原点，所在直线为，轴，建立空ACBDOOOCODxy 间直角坐标系，如图所示Oxyz 在菱形中，得ABCD120BAD ，2 3ACAB36BDAB 又因为平面，所以PA ABCD PAAC 在直角中，得PAC2 3AC 2 6PA AQPC ，2QC 4PQ 由此知各点坐标如下， ，(3 , 0, 0)A (0,3, 0)B ，( 3 , 0, 0)C(0,3, 0)D ，(3 , 0, 2 6)P 33 (,6) 22 M ， 33 (,6) 22 N 32 6 (, 0,) 33 Q

24、设为平面的法向量( , )x y zmAMN 由，知 33 (,6) 22 AM 33 (,6) 22 AN 33 60 22 33 60 22 xyz xyz 取，得1x (2 2 , 0,1)m 设为平面的法向量( , )x y znQMN 由，知 5 336 (,) 623 QM 5 336 (,) 623 QN 5 336 0 623 5 336 0 623 xyz xyz 取，得5z (2 2 , 0,5)n 于是 33 cos, | |33 m n m n mn| 所以二面角的平面角的余弦值为AMNQ 33 33 方法二： 在菱形中，得ABCD120BAD ，ACABBCDA3BD

25、AB 有因为平面，所以PA ABCD ，PAABPAACPAAD 所以PBPCPD 所以PBCPDC 而，分别是，的中点，所以MNPBPD ，且MQNQ 11 22 AMPBPDAN 取线段的中点，连结，则MNEAEEQ ，AEMNQEMN 所以为二面角的平面角AEQAMNQ 由，故2 3AB 2 6PA 在中，得AMN3AMAN 1 3 2 MNBD 3 3 2 AE 在直角中，得PACAQPC ，2 2AQ 2QG 4PQ 在中，得PBC 222 5 cos 26 PBPCBC BPC PB PC 22 2cos5MQPMPQPM PQBPC 在等腰中，得MQN5MQNQ3MN 22 11

26、 2 QEMQME 在中，得AEQ 3 3 2 AE 11 2 QE 2 2AQ 222 33 cos 233 AEQEAQ AEQ AE QE 所以二面角的平面角的余弦值为AMNQ 33 33 9. 方法一： （）取中点，在线段上取点，使得，连结，BDOCDF3DFFCOPOFFQ 因为，所以，且3AQQC/ /QFAD 1 4 QFAD 因为，分别为，的中点，所以是的中位线，OPBDSMOPBDM 所以，且/ /OPDM 1 2 OPDM 又点是的中点，所以，且MAD/ /OPAD 1 4 OPAD 从而，且/ /OPFQOPFQ 所以四边形为平行四边形，故OPQF/ /FQQF 又平面，

27、平面，所以平面PQ BCDOF BCD/ /PQBCD （）作于点，作于点，连结CGBDGGHBMHCH 因为平面，平面，所以，AD BCDCG BCDADCG 又，故平面，CGBDADBDDCG ABD 又平面，所以BM ABDCGBM 又，故平面，所以，GHBMCGGHGBM CGHGHBM CHBM 所以为二面角的平面角，即CHGCBMD60CHG 设BDC 在中，Rt BCDcos2 2cosCDBD ，cos2 2cos sinCGCD 2 sin2 2sinBGBC 在中，Rt BDM 2 2 3sin 3 BG DM HG BM 在中，Rt CHG 3cos tan3 sin C

28、G CHG HG 所以tan3 从而，即6060BDC 方法二： （）如图，取中点，以为原点，BDOOODOP 所在射线为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系yzOxyz 由题意知，(02 2)A，(02 0)B，(02 0)D， 设点的坐标为，因为，所C 00 (0)xy，3AQQC 以 00 3231 () 4442 Qxy， 因为是的中点，故又是的中点，故MAD(02 1)M，PBM 1 (0 0) 2 P， 所以 00 323 (0) 444 PQxy ， 又平面的一个法向量为，故BCD(0 0 1)a ，0PQ a 又平面，所以平面PQ BCD/ /PQBCD （）设为平面的一个法向量(

29、)mx y z ，BMC 由，知 00 (21)CMxy ，(0 2 2 1)BM ， ， 00 ( 2)0 2 20 x xyyz yz 取，得1y 0 0 2 (1 2 2) y m x ， 又平面的一个法向量为，于是BDM(1 0 0)n ， ， 0 0 2 0 0 2 |1 |cos|= 2| 2 9 y x m n m n m n y x ， 即 （1） 2 0 0 2 3 y x 又，所以，故BCCD0CB CD ， 0000 (20) (20)0 xyxy ， 即 （2） 22 00 2xy 联立（1） ， （2） ，解得（舍去）或 0 0 0 2 x y 0 0 6 2 2 2

30、 x y 所以 0 0 tan3 2 x BDC y 又是锐角，所以BDC60BDC 10（1）因为，平面，平面， / /ADBCAD ADEFBC ADEF 所以平面， 3 分/ /BCADEF 又平面，平面平面，BC BCEFBCEF ADEFEF 所以 6 分/ /BCEF （2）在平面内作于点，ABCDBHADH 因为平面，平面，所以，DE ABCDBH ABCDDEBH 又，平面，ADDE ADEFADDED 所以平面，BH ADEF 所以是三棱锥的高 9 分BHBDEF 在直角三角形中，所以，ABH o 60BAD2AB 3BH 因为平面，平面，所以，DE ABCDAD ABCDD

31、EAD 又由（1）知，且，所以，所以，12 分/ /BCEF/ /ADBC/ /ADEFDEEF 所以三棱锥的体积 14 分BDEF 1113 1 13 3326 DEF VSBH 11. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系 1 ,CA CB CC Cxyz 则，所以，(1,0,0)A(0,1,0)B 1(1,0,2) A 1(0,1,2) B 1 (0,1,2)CB ( 1,1,0)AB ， 1 ( 1,1,2)AB 1 (1, 1,2)BA （1）因为， 11 11 11 330 cos, 1065 CBBA CB BA CB BA 所以异面直线与夹角的余弦值为 1 BA 1 CB 3

32、0 10 4 分 （2）设平面的法向量为， 1 CAB( , , )x y zm 则 即 1 1 0, 0, AB CB m m 20, 20, xyz yz 取平面的一个法向量为； 1 CAB(0,2, 1)m 所以二面角平面角的余弦值为 10 分 1 BABC 10 5 H （第 16 题图） F A C D E B x y z （第 22 题图） A B C A1 B1 C1 12. （1）证明：因为，是的中点 1 2 ADBCNBC 所以，又ADNC/ /ADBC 所以四边形是平行四边形，所以ANCDANDC 又因为等腰梯形，60ABC 所以 ，所以四边形是菱形，所以ABBNADANC

33、D 1 30 2 ACBDCB 所以，即90BAC ACAB 由已知可知 平面平面，C BAABC 因为 平面平面C BAABCAB 所以平面 4 分AC ABC （2）证明：因为， / /ADBC/ /ADBC ,ADADA BCBCB 所以平面平面/ /ADDBCC 又因为平面,所以 平面 8 分C NBCC/ /C NADD （3）因为平面,同理平面，建立如图如示坐标系AC ABCAC ABC 设，1AB 则, ，9 分(1,0,0)B(0, 3,0)C(0,0, 3) C 13 ( ,0) 22 N 则，( 1,0, 3)BC (0,3, 3)CC 设平面的法向量为，有 ，得 C NC( , , )nx y z 0BC n 0C C n ( 3,1,1)n 设平面的法向量为，有ANC),(zyxm 0, 0mACmAN 得 12 分)0 , 1 , 3(m 所以 13 分 5 5 cos nm mn 由图形可知二面角为钝角AC NC 所以二面角的余弦值为 14 分AC NC 5 5 x z y A C D BN D C 13. （I）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 1 2 四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD 又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD