第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)学案(无答案)新人教A版选修2_3

1、132 “杨辉三角”与二项式系数的性质【学习目标】 通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、 性质运用”的学习过程， 掌握二项式系数的 些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的 过程，培养问题意识，提高思维能力，孕育创新精神，激发探索、研究数学的热情。【能力目标】掌握二项式系数的性质，培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。【重点难点】 利用二项展开式证明或说明整除性和余数问题。二项式定理的正反应用；【学法指导】加深理解“杨辉三角数与二项式系数”关系，增加二项展开式的特征印象，联想其相关的方法与应用范围和场合。【学习过程】一. 【课前复习】cm cn

2、m4= C：1；n当n为偶数时，Cj最大，当n为奇数时，nn 1c -cn2且最大；复习：一般地，(a b)n展开式的二项式系数 C：, C：,cn有如下性质 C0 C； cn -2n；二. 【课堂学习与研讨】2n 42*例1：求证：3-8n- 9( nN)能被64整除.证明：32n 2 _8n _9 =9n1 _8n _9=(8 1)n 1 -8n-9 =9(8 1)n -8n-9=(8 1)(C08n C：82。阳8 C：) -8n-9= (C：8n+C：8n +Cn482+C：8) +(C08n+C18n/+C：斗8 + C：) 8 n_91nn 4 2On 1n4n -22、= (Cn

3、8Cn8Cn 8 ) (Cn8Cn8Cn 8 )当 n =1 时，32n 2 -8 n - 9 =81 -8-9 =64，能被 64 整除；当n2时，208宀+8十+4二82)+(。08+8心+C：，82)每一项都可以被64整除，因此，32n 2 -8n-9(nN*)能被64整除。还能其他方法证明吗？数学归纳法试一试：今天是星期五，那么8100后的这一天是星期几？解: 8100 =(71)100 =C；0o7100 - %799 CM100 G90o7 C00=7(Cio 799 C00 798 G900)1余数是1,所以是星期六.若31000天后的这一天是星期几 ？例2.在(x2 3x 2)

4、5的展开式中x的系数为多少？解：(x2 3x 2)5二(x 1)5(x 2)5 ；在(x 1)5中的常数项和x的项分别是1，C；x ；在(x2)5中的常数项和x的项分别是32,24C；x，所以，在(x23x2)5的展开式中x的系数是 24Cs - 32C5，即 240.三. 【课堂检测】1. 230 -3除以7的余数是解：230-3 =810-3=(71)103=C00710 C；079 -C；07-C-3二C00710 C79 19。7-2所以，230 -3除以7的余数是5.2. 555515除以8的余数是解：5555 15 = (56 -1)55 15-C5556 C55565；56 C5

5、55 15 =C5556 C；556c；56 16所以，5555 15除以8的余数是023n 1A. 3nB. 3n _1C.2解：cn - 2C2 4C32nc： J (C：2 22C2 23c； 2nC：)2111=(C： +C2+22c2 +23cj + 2ncn 1)= (1+2)n _1) =(3n_1),故选 G22 24.求(V x) (1 x) 亠(1 x)16的展开式中x3项的系数解:c；cc；g36 c： c； g36二 C；C；C；G；二 C：C；G36二 C；G36 二二 G；= 1820所以，(1 X) (1 X)2 (V x)16的展开式中x3项的系数是1820.5

6、.求值： 1 +C；22 +C；24 +C；26 +C；28 +C；210 =解：原式=c0+C54+C；42+C；43+C；44 弋?45 = (1+4)5 = 551091827364554637289_ 3 3Co3 C10 3C103C10 3 C103 Co 3Co3C10 3Co解：原式=(3-1)10 -1 =210 -1四. 【课堂小结】1 求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.2 (1)形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形，

7、然后再展开，以使运算得到简化. 记准、记熟二项式(a b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提.(2) 逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点，如果项的系数是正负相间，则是(a -b)n的形式.3. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察【课外作业】2n + 1*1. (1 x) ( N )的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()A. n，n+1 B . n 1, n C . n+1, n+ 2 D

8、. n+ 2, n + 3 解：因为2n 1为奇数，所以展开式中中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是 n+ 1, n+ 2.C2. 已知(1 x) (1 x)2 a- (1x)n = a0a1xa2x2川卜anxn(nN*)，若a0 q an =30，则 n等于()A. 5 B . 3C . 4D. 7解：令x =1得玄 y an =2 22川川2n =30得n =4.C3. (a+ja)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项 仏=.13 解：C： C； C： =2心=512 = 29，所以 n -10，所以 T厂。扁3(、爲)7 = 120al 13120a74. (1 +

9、 7)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是 .解：因为 8 C0- Cn- Cn- Cn-Cn: 32，即 8：2n：32.所以 n = 4.所以展开式共有5项，系数最大的项为 T3 =C：C.x)2 =6x. 6x55. 求1.997精确到0.001的近似值.解：1.9975 =(2 -0.003)5= C025 +C；24 x0.003+C；23 XO.OO32 +C；22x0.0033 +C；2x0.0034 + &0.0035=32 80 0.003 32.246. 在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1) 二项式系数之和；(2) 各项系数之和；6(3) 所有奇数项系数之和；(4) 系数绝对值的和.解： 设(2x _3y)9 = a0x9 qx8y a2x7y2：卜y9.(1) 二项式系数之和 c；+c9 =29.(2) 各项系数之和a0 y a2亠一 a9,令 =1， y1，得 aQ a?亠 亠 a9=(2 3)9 = -1.(3) 由(2)知 ao a a 亠 a9 - -1，令 x = 1， y =1，可得玄-印 a2 -a9 = 59，、59 _1以上两式相加可得aQ a2 a4 a6 a8.2(4) 方法一|ao|印 |2| d 1=a。- aa? - a?-色=59.方法二 d|心2|7恒|即为(2x 3y