数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透

1、数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透 湖北省长阳土家族自治县第二高级中学 刘军华 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。这样就把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优

2、化解题途径的目的。yx2-11o纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。借助数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培

3、养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。笔者将从几个方面来体现数形结合思想的优越性和重要性。【问题1：函数的最值】1（2006浙江卷）对，记函数，则函数的最小值是 。【分析】方法一：写出函数的表达式，求分段函数的最小值。方法二：根据函数的意义，这是一个所谓“取大”的问题。我们只需画出函数和的图象，则两个函数图象上方的折线部分即为的图象，观察易得在处取得最小值。2（2006辽宁卷）已知函数，则的值域是( )A. B. C. D. xyAxBOPxB1分析：本题与题1为同一类型，即，可，这是一个所谓“取小”的问题，仿上题直接画图求出值域为。3函数的最小值为_。分析：抓住式子

4、的几何意义，写成，转化为动点到定点和的和最小,即，所以函数的最小值为5。【问题2：方程根的个数】yxox1(2010全国卷)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是_。分析：由直线与曲线的有四个交点转化为方程有四个根，再转化为直线与曲线有四个交点，画出图象便可观察到只需，则的取值范围为。2若直线与曲线恰有一个公共点，求k的取值范围。分析：曲线是单位圆的右半圆（），k是直线在y轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，由图形：可得或。 3方程的实根的个数为（ C ）A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个yx231-1分析：把方程根的个数转化为两函数与图象的交点个数。【

5、问题3：不等式的解集】yx-3o331（2009江西卷）若不等式的解集为区间，且，则_。分析：问题转化为时，曲线始终位于恒过定点的直线的下方。观察图象知。2对一切实数不等式恒成立，则实数m的取值范围是_ _。方法一：根据绝对值的几何意义可知，表示数轴上的点到1与2两点的距离之和。方法二：利用分段函数的图象。方法三：利用|，则, 所以。xyo123若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2D. 1，2分析：画出函数图象观察，我们看到时为临界状态，且此时满足条件，又因为，所以可得。基于以上分析，我们不难发现：解决方程、函数、不等式中的某些问题时，用到

6、数形结合的思想可以做到事半功倍，而且越来越多的高考题也在考察学生此方面的能力。借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，借助函数图象解决与函数相关的问题。从以上例子可体会到转换数与形的三条途径： 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。一方面是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的属性；二是借助于“形”的生动性和直观性来阐明“数”之间的关系，使抽象思维和形象思维有机结合。在解题时充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和直观形式巧妙结合，寻找合理的、简捷的途径解决问题。正如著名数学家华罗庚所说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺