电工电子技术－第四章 正弦交流电路的稳态分析

1、第四章 正弦交流电路的稳态分析,第一节 正弦交流电的基本概念 第二节 正弦交流电的相量表示法 第三节 单一理想元件的交流电路 第四节 RLC串联交流电路 第五节 阻抗的串联与并联 第六节 正弦交流电路的分析方法 第七节 功率因数的提高 第八节 正弦交流电路的谐振,第一节 正弦交流电的基本概念,一 正弦量 二 正弦量的三要素,一、正弦量 大小和方向随时间按正弦规律变化 的电压、电流和电动势统称为正弦量,正弦信号的和、差、微积分等运算结果仍是同频率的正弦信号,当正弦信号作为电路的信号源时，电路中产生的响应仍是同频率的正弦信号,i=Isin(t+,其波形如图,t,i,T,从表达式可以看出,当Im、T

2、、确定后,正弦量就被唯一地确定了,所以这三个量统称为正弦量的三要素,正弦电流 i 用三角函数表示为,二 正弦量的三要素,1.周期T、频率f 和角频率 2.最大值和有效值,3. 相位、初相、相位差,周期T : 正弦量变化一次所需要的时 间称为周期。单位是秒 (s）。 频率f : 1秒钟正弦量变化的次数称 为频率。单位是赫兹（HZ )。 显然 f =1/T 或 T =1/f,1.周期、频率f 和角频率,角频率,单位时间里正弦量变化的角度称为 角频率。单位是弧度/秒（rad/s）. =2/T=2f,周期，频率，角频率从不同角度描述了正弦量变化的快慢。三者只要知道其中之一便可以求出另外两个,最大值和有

3、效值,正弦量某一瞬间的值称为瞬时值，瞬 时值中最大的称为最大值。Im、Um、 Em分别表示电流、电压和电动势的 最大值,表示交流电的大小常用有效值的概念,把两个等值电阻分别通一交流电流i 和直流电流。如果在相同的时间内所产生的热量相等，那么我们把这个直流电流定义为交流电流的有效值,所以交流电的有效值是瞬时值的方均根,即,将电流的三角式带入上式中有,同理,3.相位、初相、相位差,相位：我们把 t+ 称为相位。 初相：t=0时的相位称为初相。 相位差：任意两个同频率的正弦 量的相位之差。用 表示,例,两者的相位差为,0 电压超前电流角 (或电流滞后电压 角) =0 电压与电流同相位 0 电流超前电

4、压角 = 电流与电压反相,若,u.i,t,解： =314rad/s，=2f f = /2=50(Hz），T=1/f = 0.02s,i= 30, u= 45 = U i=75,t,30,u、i,10,如图所示,45,u 滞后 i 75, i 超前 u 75,第二节 正弦交流电的相量表示,一、 相量图 二、 相量表示（复数表示,一、相量图 正弦信号可用一旋转矢量来表示， 令 矢量长度Im 矢量初始角 矢量旋转速度,如图,该矢量某一时刻在纵轴上的投影刚好等于正弦量的瞬时值,一般我们研究的是同频率的正弦量， 用相量表示时，它们同以速度旋 转相对位置保持不变。因此 ，在同 一相量图中，以t0时刻的相量

5、表示 正弦量,相量的写法为大写字母的上方加一 个“.,例： 用相量图来表示下列正弦量,解,120,120,V,t,U,u,o,m,120,sin,3,V,t,U,u,o,m,120,sin,2,V,U,u,m,sin,1,120,t,注 意 只有正弦量才能用相量表示； 几个同频率正弦量可以画在同一相量图上； 任意两个同频率正弦量的和或差可用平行四边形法则求,二、相量表示（复数表示,我们知道一个相量可以用复数表示， 而正弦量又可以用相量表示，因此正 弦量可以用复数表示,复数表示法,A=a+jb 代数式 A=r(cos +jsin)三角式,A=r e j 指数式 A=r 极坐标式,其中,=arct

6、an(b/a,a=r cos,b=r sin,2、有关复数的计算,加减运算用代数式, 实部与实部, 虚部与虚部分别相加减。 乘除运算用指数式或极坐标式， 模相乘或相除，辐角相加或减,3. 正弦量的相量表示,一个复数的幅角等于正弦量的初相角， 复数的模等于正弦量的最大值或有效值，该复数称为正弦量的相量,R = a+j b 是t = 0 固定相量的复数形式 uUm,例： 写出下列正弦量的相量， 并求 出：i = i1+i2 ,画出相量图,解,İ1= 2060A,İ2=10-30A,İ = İ1+ İ2 = 2060+10 30 =20(cos60 +jsin60 )+ 10cos(30)+jsin

7、 (30,22.3633.4o(A,18.66+j12.39,10+j17.39+8.66j5,相量图为,三、 基尔霍夫定律的相量形式,KCL i = 0 KVL u = 0,İ= 0 U= 0,i=i1+i2,第三节 单一理想元件的交流电路,一、电阻电路 二、电感电路 三、电容电路,设,一、电阻电路,u,1、电压与电流关系,i,为了比较各个正弦量之间的相位关系，先规定一个初相角为零的参考正弦量,u、i 满足欧姆定律,Im、Um（、）同样满足欧姆定律,复数形式,复数形式欧姆定律,可见：电压与电流同相位,i,u,相量图,可见:P0 电阻是一个耗能元件,2功率关系,瞬时功率,p= ui =UmIm

8、sin2t =UI(1-cos2t,2)平均功率 = UI = I2R = U2/R,UI,二.电感电路,u,i,1.电压与电流关系,设 i =Imsint u = L di/dt = LImcost =Umsin(t+90) Um= LIm,感抗 U=XLI,XL= L,因此,相量表达式为,电感中的电流滞后电压90 （电压超前电流90,相量图,2功率关系,1) 瞬时功率,在正弦交流电路中，电感功率以按正弦规律变化,波形如图所示,Pu i =Im Umsint cost,显然,第一个 1/4 周期P0,电感吸收能量, 第二个 1/4 周期 P0,放出能量.它与电源间进行能量的互相交换,t,U，

9、 i,t,p,i,u,平均功率(有功功率,电感是储能元件,不消耗电能,无功功率,无功功率反映的是电感与电源间能量互相交换的规模,QL= U I = I 2 XL = U 2XL 单位: 乏尔（var,解,XL= L=520 IL=UL/ XL=0.336A 电感中电流落后电压90,QL=ULIL=69.54var,三、电容电路,C,1、电压与电流关系,设,容抗,电容中的电流超前电压,相量图,相量表达式为,2、功率关系,1）瞬时功率,t,u i,t,p,显然,第一个1/4周期p0,电容储存能量, 第二个1/4周期p0,放出能量,u,i,2）平均功率（有功功率,电容是储能元件，不消耗电能,3）无功

10、功率,无功功率反映的是电容与电源间能量 互相交换的规模,单位是乏尔（var,例：设电容C0.1F, = 6280 rad/s uC=10sin(t+30o),求XC 、İC 、Q C,解,XC= 1C=1.59K IC =UC/XC= 10 (2 1.59,电容中电流超前电压90 İC =4.45 30+90 = 4.45 120mA QC=XCIC2 =31.6103 (var,4.45mA,第四节 RLC串联交流电路,一、电压与电流关系 二、功率关系,一.电压与电流关系,i,R,L,C,u,以电流为参考正弦量， i = Im sint 即İ =I0,1、相量图法,相量图为,可见,UR,UL

11、-UC,U,电压三角形,总电压有效值 U 2= UR2+（ULUC）2,电抗与阻抗,式中 X=XLXC 称为电抗,称为阻抗,U=Iz,相位关系,可见 是由R、L、C及决定的,90 0 电压超前电流电路呈感性。 90 0 电流超前电压电路呈容性。 = 0 电压与电流同相,电路呈纯阻 性,2、复数形式分析法,Z为复阻抗,Z=R+j(XLXC) = z,复数形式欧姆定律,阻抗三角形,角为阻抗角,它等于电压与电流之间的相位差角,R,XL-XC,z,在RLC串联交流电路中，R=15， L=12mH, C=5F,电源电压,求:电路中的电流i 和各部分电uR ,uL ,uC ; (2)画相量图,例1,解,6

12、0,500012103,XL=L,40,150005106,XC=1/C,2）相量图如图,1、平均功率 (有功功率,在RLC电路中，只有电阻消耗功率,所以电路的有功功率为,P = URIR,P =U I cos,式中cos为功率因数,在正弦交流电路中，不管阻抗如何联接，电路的功率等于各元件功率之和,Z = R + jX,二、功率关系,2、无功功率,电路中无功功率包括电感和电容两个 元件的无功功率,QL=ULI QC=UCI,Q = QLQC,Z = R + j(XL-XC,Q=UIsin,0， Q0 电路呈感性 0 ， Q0电路呈容性,P = UI cos = S cos Q = UI sin

13、 = S sin,3、视在功率,S=UI,单位是伏安（VA,一般它表示发电设备的容量,得出功率三角形,P,Q,S,阻抗三角形,电压三角形和功率三角形 是三个相似的三角形,总结,例：某感性负载端电压 P=7.5kW,Q=5.5kvar,试求感性负载的 功率因数及其串联参数,解,0.81 =35.9,电路为串联,42.1A,R = PI 2 = 4.2,XL=Rtan =3.04,L=XL = 9.7mH,第五节 阻抗的串联与并联,一、阻抗串联的交流电路,二、阻抗并联的交流电路,一、阻抗串联的交流电路,i,1,Z,2,Z,串联等效复阻抗为,分压公式为,二、阻抗并联的交流电路,分流公式,已知 R1=

14、100 ，R2=1000 ， L=2H C =10F， ,求u、i,例,R2,L,u,i,R1,解,C,iC,iL,İCm= 160,按分流公式,XC=318,XL=628,0.8945.1A,10035775.1 =39561,第六节 正弦交流电路的分析方法,X2,u,R1,X3,X1,解,a,b,Z1=jX1+R1=j10+2 Z2=jX2=j10 Z3=jX3=j5 Zab=Z2Z3=10j =1090,Uab=I1 zab=1010=100V,(j10+j20)(2+j10)+100 =100+j20+100=j20=2090,İ1 = j10 =10 90 = 0, cos =1,P

15、=UIcos =10201=200W Q= UIsin =10200=0var S=UI=200VA,解,设u为参考正弦量,iL+iC = i 且 I= IC=IL所以İC 、İL和İ 组成等边三角形,30,10A,作相量图,有些情况借助于相量图求解方便。画相 量图时,参考相量的选择很关键.一般, 串联电路选电流为参考相量,并联电路 选两端电压为参考相量,在串、并混联 电路选最基本的并联电路的端电压为 参考相量,第七节 功率因数的提高,一、负载的功率因数cos 低 带来的问题 二、提高功率因数的方法,一.负载的功率因数cos低带来的问题,1.电源设备的容量不能充分利用 交流电源的额定容量为SN

16、=UNIN， 因为P=SNcos ,发电机能够输出的有功 功率和负载的功率因数cos 成正比,所以，负载的功率因数低，电源发出的 有功功率就小，电源的容量得不到充分 利用,例：一个SN=50kVA的电源，向功率因数cos1=0.5的日光灯供电，它能供应40W的日光灯_只,如果用来供应cos2=1的40W日光灯，则可供应_只？ P=n40=SNcos n1=501030.5/40=625 n2=501031/40=1250,625,1250,2. 供电效率低（输电耗能大,P=UIcos I=P/Ucos 当输电线路的电压和负载的功率一定 时，输电线上的电流与cos 成反比。 cos 越小，I越大

17、。设输电线的电阻为r, 则它引起的功率耗损为,P = I2r =(P/Ucos)2r cos 低，功率损耗大。降低了供电效率,二.提高功率因数的方法 工业负载多数是感性负载，因此提 高负载功率因数可在其两端并联电容,提高功率因数的基本思想是减少无功功率,作相量图,显然： cos cos II,电容的选择,U I sinU Isin= QC =U2XC=U 2c I=PUcos I=PUcos C=（PU2）(tgtg,例： 某发电厂以22万伏的高压向某地输送24 万千瓦电力,若输电线路的总电阻r =10， 试计算当电路的功率因数由0.6提高到0.9 时,输电线上一年少损耗多少电能,解: 当co

18、s1=0.6时, 线路中的电流 I1=P/Ucos1=1818.2A 当cos=0.9时,线路中的电流 I=P/Ucos =1212A 一年输电线上少损耗的电能为: W = (I12-I2) r t =1.6091011Wh =1.609108kWh,第八节 电路的谐振,一、 串联谐振 二、并联谐振,在含有电感和电容元件的电路中,若出 现电源电压与电流同相位,整个电路呈纯 电阻性,此时电路的状态称为谐振,一、串联谐振,谐振按电路接法分为串联谐振和并联谐振,Z=R+j(XL-XC,1.谐振条件: 谐振时, =0 则有 XL=XC,2.谐振频率: 根据谐振条件有L=1C,f0仅与L、C有关，改变、L、C可使电路发生或消除谐振,谐振角频率,3.谐振特征: z0=R 最小, Io=U z0=UR 最大。 谐振时 XL=XC, UL=UC U=UR cos=1 UL=IoXL=（U/R）XL =（XL/R）U UC=I0XC=（U/R）XC =（XC/R）U,一般 XL=XCR， UL=UCU,品质因数Q,Q是一个无量纲的参数,UL=QU=QUR UC=QU=QUR,功率,P0=UI0=I02R Q0=0,电感与电容的能量可以彼此交换而电源与电路之间无能量交换，电源供给的能量被电阻消耗,QL0=I02XL=P0Q QC0=