【培优提高训练】圆典型例题解析

1、 【培优提高训练】华师大版九年级数学下册 第27章 圆 典型例题解析一、综合题1. ( 10分 ) 如图，O与直线l相离，OAl于点A，OA交O于点C，过点A作O的切线AB，切点为B，连接BC交直线l于点D （1）求证：AB=AD； （2）若tanOCB=2，O的半径为3，求BD的长 【答案】（1）解：证明：连接OB AB是O的切线，OAl，OBA=OAD=90，又OB=OC，OBC=COB=ACD，ADB=ABD，AB=AD；（2）解：tanOCB=tanACD= =2，O的半径是3， 设AC=a，则AB=AD=2a，在RtAOB中，OA2=AB2+OB2 ， （a+3）2=（2a）2+32

2、 ， a=2过点A作AEBD，设AE=x，DE=2x，则5x2=16，x= ，DE=BE= ，BD= 【考点】切线的性质，解直角三角形 【解析】【分析】（1）连接OB，利用切线的性质以及等腰三角形的性质证明ADB=ABD，利用等角对等边证得；（2）设AC=a，则AB=AD=2a，在RtAOB中利用勾股定理即可列方程求得a的值，进而求得BD的长2. ( 10分 ) 如图，AB是O的直径，AM、BN分别与O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分ADC.（1）求证：CD是O的切线； （2）设AD4，ABx (x 0)，BCy (y 0). 求y关于x的函数解析式. 【答案】（1）证明：

3、过O做OECD于点E，则OED90O与AM相切于点AOAD90OD平分ADEADOEDOODODOADOEDOEOAOA是O的半径OE是O的半径CD是O的切线（2）解：过点D做DFBC于点F，则DFABxAD4，BCyCFBCADy4由切线长定理可得：DE=DA,CE=CBCDCEEDBCAD4y在RtDFC中，CD2DF2FC2(y4)x 2(y4)2整理得：y 116 x2则y关于x的函数关系式为：y 116 x2 解法二：连接OC， CD、CB都是O的切线CECByOC平分BCD即：OCD 12 BCD同理：DEAD4CDO 12 CDAAM、BN分别与O相切且AB为O的直径AM/BNB

4、CDCDA180OCDCDO90CDOOCDCOD180COD90在RtDOC中，OD2OA2AD2即OD2( x2 )242同理可得：OC2( x2 )2y2CDCEEDy4在RtOCD中CD2OC2OD2即(y4)2( x2 )242( x2 )2y2整理得：y 116 x2则y关于x的函数关系式为：y 116 x2 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，切线的判定与性质，切线长定理 【解析】【分析】（1）过O做OECD于点E，则OED90 ，根据切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径得出OAD90 ，根据角平分线的定义得出ADOEDO ，从而根据AAS判断出O

5、ADOED，根据全等三角形的对应边相等得出OEOA ，根据切线的判定定理得出CD是O的切线 ；（2）解法一 ：过点D做DFBC于点F，则DFABx ，根据矩形的性质及线段的和差得出CFBCADy4 ，由切线长定理可得：DE=DA,CE=CB ,根据线段的和差得出CDCEEDBCAD4y ，在RtDFC中，由勾股定理得出(y4)x 2(y4)2 ，从而得出y与x之间的函数关系式 ；解法二：连接OC，根据切线长定理得出CECBy ，OC平分BCD ，即：OCD12 BCD，同理：DEAD4 ，CDO12 CDA ，又AM、BN分别与O相切且AB为O的直径 ，故AM/BN，根据二直线平行同旁内角互补

6、得出BCDCDA180 ，进而得出OCDCDO90 ，根据平角的定义得出CDOOCDCOD180 ，从而得出COD90，在RtDOA中，根据勾股定理得出OD2( x2)242 , 同理可得：OC2( x 2 )2y2 ,由于CDCEEDy4 ，在RtOCD中 ，CD2OC2OD2 ，即(y4)2( x 2 )242( x 2 )2y2 ，从而得出y与x之间的函数关系。3. ( 10分 ) 如图，在RtABC中，C=90，sinA= 45 ，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连结DF （1）求证：DF为O的切线； （2）若AO=x

7、，DF=y，求y与x之间的函数关系式 【答案】（1）证明：连接OD OA=OD，OAD=ODA，EF是BD的中垂线，DF=BFFDB=B，C=90，OAD+B=90ODA+FDB=90ODF=90，又OD为O的半径，DF为O的切线（2）解：连接OF 在RtABC中，C=90，sinA= ，AB=10，AC=6，BC=8，AO=x，DF=y，OC=6x，CF=8y，在RtCOF中，OF2=（6x）2+（8x）2在RtODF中，OF2=x2+y2（6x）2+（8x）2=x2+y2 ， y= x+ （0x6）【考点】线段垂直平分线的性质，切线的判定与性质，解直角三角形 【解析】【分析】（1）连接OD

8、，由于EF是BD的中垂线，DF=BF从而可知FDB=B，又因为OA=OD，所以OAD=ODA，从而可证明ODF=90；（2）连接OF，由题意可知：AO=x，DF=y，OC=6x，CF=8y，然后在RtCOF中与RtODF中利用勾股定理分别求出OF，化简原式即可求出答案4. ( 7分 ) 对于P及一个矩形给出如下定义：如果P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称P是该矩形的“等距圆”如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（ 3 ， 2 ），顶点C、D在x轴上，且OC=OD.（1）当P的半径为4时，在P1（ 0 ， -3 ），P2（ 23 ， 3 ），P3（ -23 ，

9、 1 ）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是_；如果点P在直线 y=-33x+1 上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标_； （2）已知点P在 y 轴上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，如果P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围. （2）点P在y上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，且P与直线AD没有公共点，得出|m-1|3，且|m-1|0，求解即可得出m的取值范围，即点P的纵坐标的取值范围 【答案】（1）P1(0,-3),P2(23,3) ；P(23,-1)或(-23,3) p(23,1) 或 (-23,1)（2）解：点P在y上，且P是矩形ABCD的“等距圆

10、”，且P与直线AD没有公共点，|m-1| 3 ，且|m-1|0，解得：1- 3 m1+ 3 且m1点P的纵坐标m的取值范围为：1- 3 m1+ 3 且m1 【考点】圆的综合题 【解析】【解答】（1）如图，点A的坐标为（ 3 ，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD，点B的坐标为（- 3 ，2），点C的坐标为（- 3 ，0），点D的坐标为（ 3 ，0），矩形ABCD的中心E的坐标为（0，1），当P的半径为4时，若P1（0，-3），则PE=1+3=4，若P2（2 3 ，3），则PE= (23)2+(3-1)2 =4，若P3（-2 3 ，1）则PE= (23)2+(1-1)2=23 ，可以成为矩形A

11、BCD的“等距圆”的圆心的是：P1（0，-3），P2（2 3 ，3）； 故答案为：P1（0，-3），P2（2 3 ，3）设P的坐标为（x，- 33 x+1），E为（0，1），x2+（- 33 x+1-1）2=42 ， 解得：x=2 3 ，当x=2 3 时，y=- 33 2 3 +1=-1；当x=-2 3 时，y=- 33 （-2 3 ）+1=3；点P的坐标为（2 3 ，-1）或（-2 3 ，3）；【分析】（1）根据点A的坐标，顶点C、D在x轴上，且OC=OD，从而得出B,C,D三点的坐标，及矩形的中心点E的坐标，当P的半径为4时，根据两点间的距离公式即可判断出P1.P2.P3中可以成为矩形AB

12、CD的“等距圆”的圆心的点；根据直线上的点的坐标特点，设出P点的坐标，根据两点间的距离公式及等距圆的概念得出关于x的方程，x2+（-33x+1-1）2=42 ， 求解得出x的值，从而得出p点的坐标；5. ( 7分 ) 如图，在O中，AB是O的直径，AC是O的弦，过点C作O的切线交BA的延长线于点P，连接BC （1）求证：PCA=B； （2）填空：已知P=40，AB=12cm，点Q在 ABC 上，从点A开始以cm/s的速度逆时针运动到点C停止，设运动时间为ts 当t=_时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大；当t=_时，四边形AQBC是矩形 【答案】（1）证明：如图1中，连接OC PC是切

13、线，OC是半径，OCPC，PCO=90PCA+ACO=90，AB是直径，ACB=90，B+CAB=90，OC=OA，OAC=OCA，B+OCA=90，PCA=B（2）3s；133 【考点】圆的综合题 【解析】【解答】解：（2）如图2中，当点Q在AB下方， AQ = BQ 时，四边形AQBC的面积最大，此时t= 1412 =3s 故答案为3s如图3中，当 AC = BQ 时，四边形AQBC是矩形，连接CQ与AB交于点OP=40，PCO=90，POC=50，AOQ=130，弧AQ的长= 1306180 = 133 ，t= 133 = 133 s故答案为 133 s【分析】（1）如图1中，连接OC只

14、要证明PCA+ACO=90，B+OCA=90，即可（2）如图2中，当点Q在AB下方， AQ = BQ 时，四边形AQBC的面积最大，此时t= 1412 =3s如图3中，当 AC = BQ 时，四边形AQBC是矩形，连接CQ与AB交于点O求出弧AQ的长即可解决问题6. ( 10分 ) 如图，已知ABC，AC=3，BC=4，C=90，以点C为圆心作C，半径为r.（1） 当r取什么值时，点A、B在C外. （2）当r在什么范围时，点A在C内，点B在C外. 【答案】（1）当0r3时，点A、B在C外；（2）当3r4时，点A在C内，点B在C外. 【考点】勾股定理，点与圆的位置关系 【解析】【分析】(1)在保

15、证点在圆外，则点到圆心的距离应大于圆的半径，根据这一数据关系就可得到r的取值范围；(2)根据点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内和点到圆心的距离应大于圆的半径，则点在圆外求得r的取值范围.7. ( 10分 ) （2011常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y=34x+3 的图象是直线l1 ， l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a0点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位 （1）写出A点的坐标和AB的长； （2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的Q与直线l2

16、、y轴都相切，求此时a的值 【答案】（1）解：一次函数 的图象是直线l1 ， l1与x轴、y轴分别相交于A、B两点， y=0时，x=4，A（4，0），AO=4，图象与y轴交点坐标为：（0，3），BO=3，AB=5（2）解：由题意得：AP=4t，AQ=5t， =t， 又PAQ=OAB，APQAOB，APQ=AOB=90，点P在l1上，Q在运动过程中保持与l1相切，当Q在y轴右侧与y轴相切时，设l2与Q相切于F，由APQAOB，得： ，PQ=6；故AQ=10，则运动时间为： =2（秒）；连接QF，则QF=PQ，直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，FQl2 ， APQ=QFC=90，APFQ，

17、PAQ=FQC，QFCAPQ，QFCAPQAOB，得： ， ， ，QC= ，a=OQ+QC=OC= ，如图2，当Q在y轴的左侧与y轴相切时，设l2与Q相切于E，由APQAOB得： ，PQ= ，则AQ=4 =2.5，则运动时间为： = （秒）；故当点P、Q运动了2秒或 秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的Q与直线l2、y轴都相切，连接QE，则QE=PQ，直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，Q在运动过程中保持与l1相切于点P，AOB=90，APQ=90，PAO=BAO，APQAOB，同理可得：QECAPQAOB得： ， ， = ，QC= ，a=QCOQ= ，综上所述，a的值是： 和 ，【考点】切

18、线的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点求法，分别求出坐标即可；（2）根据相似三角形的判定得出APQAOB，以及当Q在y轴右侧与y轴相切时，当Q在y轴的左侧与y轴相切时，分别分析得出答案8. ( 7分 ) 如图，在RtABC中，ABC=90，点M是AC的中点，以AB为直径做O分别交AC，BM于点D、E （1）求证：MDE=MED； （2）填空： 若AB=6，当DM=2AD时，DE=_；连接OD、OE，当C的度数为_时，四边形ODME是菱形 【答案】（1）证明：ABC=90，M是AC的中点， BM=AM=MC，A=ABM，四边形ABED是圆内接四边形

19、，ADE+ABE=180，又ADE+MDE=180，MDE=MBA，同理证明：MED=A，MDE=MED，（2）4；30 【考点】圆的综合题 【解析】【解答】（2）4， 由（1）可知，A=MDE，DEAB， DEAB=MDMA DM=2AD，DM：MA=2：3，DE= 23 AB= 23 6=4当C=30时，四边形ODME是菱形连接OD、OE，OA=OD，A=60，AOD是等边三角形，AOD=60，DEAB，ODE=AOD=60，MDE=MED=A=60，ODE，DEM都是等边三角形，OD=OE=EM=DM，四边形OEMD是菱形故答案为：（2）4；30【分析】（1）由于ABC=90，M是AC的

20、中点，BM=AM=MC，从而可知A=ABM，根据圆内接四边形的性质即可得出MDE=MED；（2）由（1）可知，A=MDE，由于DEAB，所以 DEAB=MDMA ，又因为DM=2AD，从而可求出DE的长度；当C=30时，此时A=60，所以AOD是等边三角形，利用等边三角形的性质即可证明OD=OE=EM=DM，从而可知四边形OEMD是菱形9. ( 10分 ) （2016湖北）如图，直线AB经过O上的点C，直线AO与O交于点E和点D，OB与O交于点F，连接DF、DC已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6（1）求证：直线AB是O的切线；FDC=EDC；（2）求CD的长【答案】（1）证明：连

21、接OCOA=OB，AC=CB，OCAB，点C在O上，AB是O切线证明：OA=OB，AC=CB，AOC=BOC，OD=OF，ODF=OFD，AOB=ODF+OFD=AOC+BOC，BOC=OFD，OCDF，CDF=OCD，OD=OC，ODC=OCD，ADC=CDF（2）解：作ONDF于N，延长DF交AB于MONDF，DN=NF=3，在RTODN中，OND=90，OD=5，DN=3，ON= OD2-DN2 =4，OCM+CMN=180，OCM=90，OCM=CMN=MNO=90，四边形OCMN是矩形，ON=CM=4，MN=OC=5，在RTCDM中，DMC=90，CM=4，DM=DN+MN=8，CD

22、= DM2+CM2 = 82+42 =4 5 【考点】切线的判定 【解析】【分析】（1）欲证明直线AB是O的切线，只要证明OCAB即可首先证明OCDF，再证明FDC=OCD，EDC=OCD即可； （2）作ONDF于N，延长DF交AB于M，在RTCDM中，求出DM、CM即可解决问题本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型10. ( 15分 ) 如图,O的直径AB=10,弦AC=6,ACB的平分线交O于点D,过点D作DEAB交CA延长线于点E,连接AD,BD.（1）ABD的面积是多少

23、 （2）求证:DE是O的切线: （3）求线段DE的长. 【答案】（1）解：AB是直径，ACB=90，CD平分ACB，AD=BD，SABD= 12 105=25；（2）解：如图，连接OD，AB为直径，CD平分ACB，ACD=45，AOD=90，DEAB，ODE=90，ODDE，DE是O的切线；（3）解：AB=10，AC=6，BC= AB2-AC2 =8，过点A作AFDE于点F，则四边形AODF是正方形，AF=OD=FD=5，EAF=90CAB=ABC，tanEAF=tanCBA， EFAF=ACBC ，即 EF5=68 ，EF=15，DE=DF+EF= 154 +5= 354【考点】正方形的判定

24、与性质，圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得ACB=90，因为CD平分ACB，所以AD=BD，则DOAB，所以SABD=12ABDO =12105=25；（2）连接OD，由已知可得ACD=45，由（1）得AOD=90，而DEAB，所以ODE=90，即ODDE，由且切线的判定可得DE是O的切线；（3）在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC=8，过点A作AFDE于点F，根据正方形的判定可得四边形AODF是正方形，所以AF=OD=FD=5，EAF=90CAB=ABC，tanEAF=tanCBA，即EFAF=ACBC,将已知条件代入可求得EF

25、=154，所以DE=DF+EF=154+5=354.11. ( 15分 ) 如图，在ABC中，O经过A、B两点，圆心O在BC边上，且O与BC边交于点E，在BC上截取CF=AC，连接AF交O 于点D，若点D恰好是 弧BE的中点（1）求证：AC是O的切线； （2）若BF=17，DF=13，求O的半径r； （3）若ABC=30，动直线l从与点A、O重合的位置开始绕点O顺时针旋转，到与OC重合时停止，设直线l与AC的交点为F，点Q为OF的中点，过点F作FGBC于G，连接AQ、QG请问在旋转过程中，AQG的大小是否变化？若不变，求出AQG的度数；若变化，请说明理由 【答案】（1）证明：连接OA、OD，如

26、图，D为弧BE的中点，BOD=DOE =90，D+OFD=90，AC=FC，OA=OD，CAF=CFA，OAD=D，而CFA=OFD，OAD+CAF=90，即OAC=90，OAAC，AC是O切线（2）解:OD=r，OF=17r，在RtDOF中，r2+（17r）2=132 ， 解得r=5（舍去），r=12；即O的半径r为12（3）解:在旋转过程中AQG的大小不变OAC=90FGBC，OGF=90点Q是OF的中点，AQ=OQ=FQ=GQ点A、O、G、F在以点Q为圆心，QO为半径的圆上，AQG=2AOGABC=30,AOC=60AQG=120在旋转过程中AQG的大小不变，始终等于120【考点】余角和

27、补角，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，切线的判定与性质 【解析】【分析】（1）连接OA、OD，根据垂径定理得DOE =90，则D+OFD=90，再由AC=FC，OA=OD，加上CAF=CFA，所以OAD+CAF=90，根据切线的判定定理可得AC是O切线；（2）先表示出OD=r，OF=17r，再在RtDOF中利用勾股定理得r2+（17r）2=132 ， 解方程得到r的值；（3）易证点A、O、G、F在以点Q为圆心，QO为半径的圆上，从而得到AQG=2AOGABC=30，从而得到AOC=60，进而得到AQG=120，所以AQG是定值12. ( 15分 ) 如图，点A的坐标为（8，0），点P的坐标为

28、 (-74，0) ，直线y= 34 x+b过点A，交y轴于点B，以点P为圆心，以PA为半径的圆交x轴于点C（1）判断点B是否在P上？说明理由 （2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；并求抛物线与P另外一个交点为D的坐标 （3）P上是否存在一点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）解：A（8，0）在直线y= 34 x+b上，则有b=6，点B（0，6），即OB=6，在RtBOP中，由勾股定理得PB= OP2+OB2=254 ，则PB=PA，点B在P上（2）解：AC=2PA= 252 ，则OC= 92 ，点C (92，0) ，抛物线

29、过点A、C，则设所求抛物线为y=a（x+8）（x 92 ），代入点C (92，0) ，则有a= -16 ，抛物线的解析式为y= 16 x2 712 x+6，直线x= -74 是抛物线和圆P的对称轴，点B的对称点为D，由对称可得D (-72，6)（3）解：当点Q在P上时，有PQ=PA= 254 ，如图1所示，假设AB为菱形的对角线，那么PQAB且互相平分，由勾股定理得PE= 154 ，则2PEPQ，所以四边形APBQ不是菱形如图2所示，假设AB、AP为菱形的邻边，则ABAP，所以四边形APQB不是菱形如图3所示，假设 AB、BP为菱形的邻边，则ABBP，所以四边形AQPB不是菱形综上所述，P上不

30、存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形【考点】勾股定理，圆的综合题 【解析】【分析】（1）把A（8，0）代入y= 34 x+b得到点B（0，6），即OB=6，根据勾股定理即可得到结论；（2）AC=2PA= 252 ，则OC= 92 ，点C (92，0) ，得到抛物线的解析式为y= 16 x2 712 x+6，直线x= -74 是抛物线和圆P的对称轴，于是得到结论；（3）当点Q在P上时，有PQ=PA= 254 ，如图1所示，假设AB为菱形的对角线，如图2所示，假设AB、AP为菱形的邻边，如图3所示，假设 AB、BP为菱形的邻边，于是得到结论13. ( 15分 ) 如图，在RtABC中，ABC

31、=90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BCO是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH （1）求证：ABCEBF； （2）试判断BD与O的位置关系，并说明理由； （3）若AB=1，求HGHB的值 【答案】（1）证明：DFAC，ABC为Rt， CDE=EBF=90CED=FEB，DCE=EFB，在ABC和EBF中，ABCEBF，（ASA）（2）解：结论：BD与O相切 理由：连接OB，DF是AB的中垂线，ABC=90，DB=DC=DA，DBC=C由（1）DCB=EFB，而EFB=OBF，DBC=OBF，DBO=DBC+EBO

32、=OBF+EBO=90，DBOB，BD与O相切（3）解：连接EH， BH是EBF的平分线，EBH=HBF=45HFE=HBE=45又GHF=FHB，GHFFHB， = ，HGHB=HF2 ， O是RtBEF的内接圆，EF为O的直径，EHF=90，又HFE=45，EH=HF，EF2=EH2+HF2=2HF2 ， 在RtABC中，AB=1，tanC= ，BC=2，AC= ，由（1）知ABCEBF，EF=AC= ，2HF2=EF2=5，HF2= ，故HGHB=HF2= 【考点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）根据ASA或AAS即可证明；（2）结论：BD与O相切 连接OB，只要证明OBBD即可；（3

33、）连接EH，首先证明GHFFHB，可得 HFHB = HGHF ，即HGHB=HF2 ， 想办法求出HF2即可解决问题14. ( 15分 ) 如图，在O中，直径ABCD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交O于点G，交过C的直线于F，1=2，连结CB与DG交于点N（1）求证：CF是O的切线； （2）求证：ACMDCN； （3）若点M是CO的中点，O的半径为4，cosBOC= 14 ，求BN的长 【答案】（1）证明：BCO中，BO=CO， B=BCO，在BCE中，2+B=90， 又1=2， 1+BCO=90， 即FCO=90，CF是O的切线（2）证明：AB是O直径， ACB=FCO=90， A

34、CBBCO=FCOBCO，即3=1， 3=2，4=D， ACMDCN（3）解：O的半径为4，即AO=CO=BO=4， 在COE中，BOC= 14 ，OE=COBOC=4=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE= CO2-EO2 = 42-12 = 15 ，AC= CE2+AE2 = (15)2+52 =2 10 ， BC= CE2+BE2 = (15)2+32 =2 6 ，AB是O直径，ABCD， 由垂径定理得：CD=2CE=2 15 ，ACMDCN， CMCN = ACCD ， 点M是CO的中点，CM=AO=4=2，CN= CM.CDAC = 2215210 = 6 ， BN

35、=BCCN=2 6 6 = 6 【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得B=BCO，在BCE中，由题意得2+B=90，已知1=2，所以1+BCO=90， 即FCO=90，根据切线的判定可得CF是O的切线；（2）根据AB是O直径和（1）中的结论可得ACB=FCO=90，根据同角的余角相等可得ACM=1，所以ACM=2，根据同弧所对的圆周角相等可得CAM=D,根据有两个角相等的两个三角形相似，即ACMDCN；（3） 在COE中，cosBOC=14，所以可得OE=COcosBOC=414=1,由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得CE=

36、 CO2-EO2=42-12=15,AC=CE2+AE2=210,BC= CE2+BE2=26,根据AB是O直径，ABCD，所以由垂径定理得：CD=2CE=215，由（2）知，ACMDCN，所以可得CMCN=CACD,根据点M是CO的中点可得CM=AO=4=2，所以CN=CMCDCA=6,所以BN=BCCN=266 =615. ( 15分 ) 已知：以O为圆心的扇形AOB中，AOB=90，点C为 AB 上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求ADO的度数； （2）当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；

37、 （3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由 【答案】（1）解：如图1中，四边形ABCD是矩形，AD=EC，AC=CD，OC=CE，AOD=90AC=OC=OA，AOC是等边三角形，OAD=60，ADO=90OAD=30（2）解：如图2中，作OHAD于HOA=OC，OHAC，AH=HC=3，OAH=OAD，AHO=AOD，AOHADO， OAAD = AHAO ， 5AD = 35 ，AD= 253 ，CD=ADAC= 73 ，DEOD，EDO=90，AOD+EDO=180，DEOA， DEOA = CDAC ， DE5 = 736

38、 ，DE= 3518 （3）解：如图3中，结论：BCD的值是确定的BCD=45理由：连接AB、BCBCD=BAC+ABC，又BAC= 12 BOC，ABC= 12 AOC，BCD= 12 BOC+ 12 AOC= 12 （BCO+AOC）= 12 90=45 【考点】等边三角形的判定与性质，矩形的性质，圆的综合题，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，只要证明OAC是等边三角形即可求解题中问题；（2）作OHAD于H由AOHADO，推出OAAD=AHAO,可得AD的长度，CD=ADAC的长度，由DEOA，可得DEOA=CDAC,即可求出DE；（3）结论

39、：BCD的值是确定的BCD=45连接AB、BC由BCD=BAC+ABC，又BAC=12 BOC，ABC=12 AOC，即可得出结论。16. ( 13分 ) 已知：ABC内接于O，过点A作直线EF （1）如图，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）： _；_；_ （2）如图，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF是O的切线 （3）如图，AB是非直径的弦，CAE=ABC，EF还是O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因 【答案】（1）ABEF、；BAE=90；ABC=EAC（2）证明：如图2，作直径AD，连结CD， AD为直径，ACD=90，D+CAD=90

40、，D=B，CAE=B，CAE=D，EAC+CAD=90，ADEF，EF为O的切线；（3）如图3，作直径AD，连结CD，BD， AD为直径，ABD=90，CAE=ABC，DAE+DAC=ABD+DBC，而DAC=DBC，DAE=ABD=90，ADEF，EF为O的切线 【考点】切线的判定 【解析】【解答】（1）解：当ABEF或BAE=90可判断EF为O的切线； 当ABC=EAC，AB为直径，ACB=90，ABC+CAB=90，EAC+CAB=90，ABEF，EF为O的切线；故答案为ABEF、BAE=90、ABC=EAC；【分析】（1）根据切线的判断由ABEF或BAE=90可判断EF为O的切线；当A

41、BC=EAC，根据圆周角定理得ABC+CAB=90，所以EAC+CAB=90，即ABEF，于是也可判断EF为O的切线；（2）作直径AD，连结CD，由AD为直径得ACD=90，则D+CAD=90，根据圆周角定理得D=B，而CAE=B，所以CAE=D，则EAC+CAD=90，根据切线的判定定理得到EF为O的切线；（3）作直径AD，连结CD，BD，由AD为直径得ABD=90，而CAE=ABC，即DAE+DAC=ABD+DBC，而DAC=DBC，所以DAE=ABD=90，根据切线的判定即可得到EF为O的切线17. ( 10分 ) （2017西宁）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线DE交AC于点E，交AB延长线