(完整)全等三角形题型总结,推荐文档

1、全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定 1“边边边”例题、已知：如图，adbc，acbd.试证明：caddbc.(答案）证明：连接 dc， 在 acd 与bdc 中 ad = bc ac = bdcd = dc (公共边)acdbdc（sss）caddbc（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定 2“边角边”例题、已知，如图，在四边形 abcd 中，ac 平分bad，ceab 于 e，并且ae 1 （abad，求证：bd180.2(答案）证明：在线段 ae 上，截取 efeb，连接 fc，ceab，cebcef90eb = ef在cbe 和cfe 中， ceb = cefec =

2、eccbe 和cfe（sas）bcfeae 12（abad，2ae abad ad2aeabaeafef，ad2（afef）ab2af2efabafafefebabafabab，即 adaf1 af = ad在afc 和adc 中fac = dac(角平分线定义） ac = acafcadc（sas）afcdafccfe180，bcfe.afcb180，bd180.类型三、全等三角形的判定 3“角边角”例题、已知：如图，在mpn 中，h 是高 mq 和 nr 的交点，且 mqnq 求证： hnpm.证明：mq 和 nr 是mpn 的高， mqnmrn90， 又132490，34 121 = 2

3、在mpq 和nhq 中， mq = nqmqp = nqhmpqnhq（asa） pmhn类型四、全等三角形的判定 4“角角边”例题、已知 rtabc 中，acbc，c90，d 为 ab 边的中点，edf90，edf 绕d 点旋转，它的两边分别交 ac、cb 于 e、f当edf 绕 d 点旋转到 deac 于 e 时（如7图 1，易证sef + scef= 1 s2abc；当edf 绕 d 点旋转到 de 和 ac 不垂直时，在图 2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图 2 成立； 证明图 2：过点 d 作 dm ac，dn bc则dme =

4、 dnf = mdn = 90amd=dnb=90在amd 和dnb 中， a = b ad = bdamddnb（aas）dmdnmdeednndfedn90， mdendfemd = fdn = 90在dme 与dnf 中， dm = dnmde = ndfdmednf（asa） sme = sdnf s四边形d四m边c形n =sdecf =sef + s cef.可知s1， s+ s= 1 s2四边形dmcn =sabcefcef2abc类型五、直角三角形全等的判定“hl”下列说法中，正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形.（1（ 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全

5、等（）（2（ 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（3（ 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）(答案（1）；（2）；在abc 和dbc 中，abdb，ae 和 df 是其中一边上的高， aedf（3）. 在abc 和abd 中，abab，adac，ah 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，deac，bfac，adbc，debf.求证：abdc.(答案与解析）证明：deac，bfac，debf.在 rtade 与 rtcbf 中 ad，crtadertcbf （hl） aecf，debfaeefcfef，即 afcede = bf在 rtcde 与 rtabf 中，

6、 dec = bfaec = fartcdertabf（sas）dcebaf abdc.(点评）从已知条件只能先证出 rtadertcbf，从结论又需证rtcdertabf.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.2、如图，abc 中，acb90，acbc，ae 是 bc 边上的中线， 过 c作 cfae，垂足为 f，过 b 作 bdbc 交 cf 的延长线于 d.（1（ 求证：aecd；（2（ 若 ac12 cm ，求 bd 的长.(答案与解析（1）证明：dbbc，cfae，dcbddcbaec90daec又dbceca90，且 bcca，dbceca（aas）aecd（2）解：由（1）得

7、 aecd，acbc，cdbaec（hl）bdec 1 bc 1 ac，且 ac1222bd6 cm (点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法， 看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心. 三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：abc 的内心为 p1，旁心为 p2,

8、p3, p4，这四个点到abc 三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定1、如图，ad 是bac 的平分线，deab，交 ab 的延长线于点 e，dfac 于点 f，且dbdc.求证：becf.(答案）证明：deae，dfac，ad 是bac 的平分线，dedf，beddfc90在 rtbde 与 rtcdf 中，db = dcde =，rtbdertcdf（hl） becfdf2、如图，ac=db，pac 与pbd 的面积相等求证：op 平分aob(答案与解析）证明：作 pmoa 于 m，pnob 于 ns= 1 acapm ， s= 1 bdapn ，且s= spac2pbd2pacp

9、bd 1 ac pam2= 1 bd apn2又acbdpmpn又pmoa，pnobop 平分aob(点评）观察已知条件中提到的三角形pac 与pbd，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，dcab，bad 和adc 的平分线相交于 e，过 e 的直线分别交 dc、ab 于 c、b 两点. 求证：adabdc.(答案） 证明：在线段 ad 上取 afab，连接 ef，ae 是bad 的角平分线，12，afab aeae，abeafe，bafe由 cdab 又可得c

10、b180，afec180， 又dfeafe180，cdfe，de 是adc 的平分线，34，又dede，cdefde，dfdc，addfaf，adabdc类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：aeab，adac，abac，bc， 求证：bdce.(答案)证明：aeab，adac， eabdac90eabdaedacdae ，即dabeac.dab = eac在dab 与eac 中， ab = acb = cdabeac （sas）bdce.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1). 作公共边可构造全等三角形：1、在 abc 中，abac.求证：bc ad = ad(答案)证明：过点 a 作

11、adbc 在 rtabd 与 rtacd 中 ab = acrtabdrtacd（hl） bc.(2). 倍长中线法：1、已知：如图所示，ce、cb 分别是abc 与adc 的中线，且acbabc 求证：cd2ce(答案）证明： 延长 ce 至 f 使 efce，连接 bfec 为中线，aebe ae = be,在aec 与bef 中， aec = bef , aecbef（sasce = ef ,acbf，afbe（全等三角形对应边、角相等）又acbabc，dbcacba，fbcabcaacab，dbcfbcabbf又bc 为adc 的中线，abbd即 bfbdbf = bd,在fcb 与d

12、cb 中， fbc = dbc, fcbdcb（sascfcd即bc = bc,cd2ce2、若三角形的两边长分别为 5 和 7, 则第三边的中线长 x 的取值范围是( )a.1 x 6b.5 x 7c.2 x 12 d. 无 法 确 定(答案)a ；提示：倍长中线构造全等三角形，75 2x 75，所以选 a 选项. (3). 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，ad 是dabc 的角平分线，h，g 分别在 ac，ab 上，且 hdbd. (1)求证：b 与ahd 互补；(2)若b2dga180，请探究线段 ag 与线段 ah、hd 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明

13、：（1）在 ab 上取一点 m, 使得 amah, 连接 dm. cadbad, adad, ahdamd. hdmd, ahdamd. hddb, db md. dmbb.c amddmb 180, ahdb180. 即 b 与 ahd 互 补.hd（2）由（1）ahdamd, hdmd, ahdb180. b2dga 180, ahd2dga. amd2dgm. amddgmgdm. 2dgmdgmgdm. dgmgdm. mdmg. hd mg. ag ammg, ag ahhd.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，ad 是abc 的角平分线，abac,求证：abac

14、bddc(答案）amg bea8bdc证明：在 ab 上截取 aeac,连结 dead 是abc 的角平分线，badcadae = ac在aed 与acd 中bad = cadad = adaedadc（sas）dedc在bed 中，bebddc即 abaebddcabacbddc2、如图所示，已知abc 中 abac，ad 是bac 的平分线，m 是 ad 上任意一点，求证： mbmcabac(答案与解析)证明：abac，则在 ab 上截取 aeac，连接 me在mbe 中， mbmebe（三角形两边之差小于第三边 ac = ae(所作)，在amc 和ame 中， cam = eam (角平

15、分线的定义)， am = am (公共边，)amcame（sasmcme（全等三角形的对应边相等又beabae，beabac，mbmcabac(点评)因为 abac，所以可在 ab 上截取线段 aeac，这时 beabac，如果连接em，在bme 中，显然有 mbmebe这表明只要证明 memc，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.13（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知 e 为正方形 abcd 的边 cd 的中点，点 f 在 bc 上，且daefae 求证：afadcf(答案与解析）证明： 作 meaf 于 m，连接 ef四边形 abcd 为正方

16、形，cdema90又daefae，ae 为fad 的平分线，mede ae = ae(公用边，)在 rtame 与 rtade 中，de = me(已证)，rtamertade(hl)adam(全等三角形对应边相等) 又e 为 cd 中点，deecmeecme = ce(已证)，在 rtemf 与 rtecf 中，ef = ef (公用边)rtemfrtecf(hl)mffc(全等三角形对应边相等) 由图可知：afammf，afadfc(等量代换)(点评）与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.四边形 abcd 为正方形，则d9

17、0而daefae 说明 ae 为fad 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 e 到 ad 的距离已有，只需作 e 到 af 的距离 em 即可，由角平分线性质可知 medeaeaertame 与 rtade 全等有 adam而题中要证afadcf根据图知 afammf只需证 mffc 即可从而证afadcf 转化为证两条线段相等的问题2、如图所示，在abc 中，ac=bc，acb=90，d 是 ac 上一点，ae = 1 bd且 ae 垂直 bd 的延长线于 e，线2，求证：bd 是abc 的平分(答案与解析）证明：延长 ae 和 bc，交于点 f，acbc，beae，ad

18、e=bdc（对顶角相等），ead+ade=cbd+bdc即ead=cbd在 rtacf 和 rtbcd 中所以 rtacfrtbcd（asa）则 af=bd（全等三角形对应边相等）ae= bd，ae= af，即 ae=ef在 rtbea 和 rtbef 中，则 rtbeartbef（sas）所以abe=fbe（全等三角形对应角相等），即 bd 是abc 的平分线(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程

19、对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程， 其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在abc 中，bac90，abac，点 d 为射线 bc 上一动点，连结 ad，以ad 为一边且在 ad 的右侧作正方形 adef（1（ 当点 d 在线段 bc 上时（与点 b 不重合，如图 1，求证： cfbd（2（ 当点 d 运动到线段 bc 的延长线上时，如图 2， 第（1）问中的结论是否仍然成立

20、，并说明理由.(答案）证明：（1）正方形 adef adaf，daf90dafdacbacdac，即badcaf ab = ac在abd 和acf 中，bad = caf abdacf（sas） bdcf ad = af（2）当点 d 运动到线段 bc 的延长线上时，仍有 bdcf此时dafdacbacdac，即badcaf ab = ac在abd 和acf 中， bad = caf ad = af2、如图(1)，abc 中，bcac，cde 中，cecd，现两个三角形的 c 点重合，且使bcaecd，连接 be，ad求证：bead若abdacf（sas）bdcf将dec 绕点 c 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，be 与 ad 还相等吗?为什么?(答案)证明：bcaecd， bcaecaecdeca，即bceacd ac = bc在adc 与bec 中acd=bce adcbec(sas) beadcd = ce若将dec 绕点 c 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，be 与 ad 还相等， 因为还是可以通过 sas 证明adcbec.“”“”at the end, x