(完整)考研高等数学知识点总结,推荐文档

1、导数公式：(tgx) = sec2 x(ctgx) = -csc2 x(sec x) = sec x tgx(csc x) = -csc x ctgx高等数学知识点总结(arcsin x) =1 1- x21- x 2 (arccos x) = -1 =113 / 13(ax ) = ax ln a(arctgx)1+ x2(logax) =1x ln a(arcctgx) = -11+ x2基本积分表：三角函数的有理式积分： tgxdx = -ln cos x + c ctgxdx = ln sin x + c dx = sec2 xdx = tgx + ccos2 xdxsec xdx =

2、 ln sec x + tgx + c sin 2 x = csc2 xdx = -ctgx + c cscdxx = 1ln csc x -x ctgx + csec x tgxdx = sec x + c=arctg+ccsc x ctgxdx = -csc x + cx + a a2 + x2adx= 1ln x -a aaxdx = ax + c x2 - a2 dxa2 - x2+ cln a2a= 1 ln a + x + c2aa - x shxdx = chx + cchxdx = shx + cx2 a 2a2 - x2 dx= arcsin x + cadx= ln(x +

3、x2 a 2 ) + ca2in = sin0an2xdx = cos0n xdx =n -1nin-2x2 + a2dx =+ a2x2xx2 + a2x2 - a22x2 + a2x2 - a2- a2ln(x +) + cx2 - a2 dx =x 2 a2 - x22 ln x + ca2x a2 - x2 dx = 22u1- u2+u = tg x，arcsin+ c2a2dusin x =1+ u2，cosx =，1+ u 2dx =21+ u 2一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦: shx = ex - e- xlim sin x = 12x0x双曲余弦: chx = ex

4、+ e- xlim(1+ 1 )x = e = 2.718281828459045.双曲正切: thx =2shx = ex - e- xxxchxex + e- xarshx = ln(x +archx = ln(x +arthx = 1 ln 1+ x21- x三角函数公式：诱导公式：x2 +1）x2 -1)函数角 asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg

5、-ctg360+sincostgctg和差角公式：和差化积公式：sin(aa)= sinacosacosasina cos(aa)= cosacosam sinasinatg(a a) = tga tgasina+sin a= 2sina+a2sina-sina= 2cosa+a2cos a- a2sin a- a21m tga tgaa+ aa- actg(a a)= ctga ctgam 1cosa+cosa= 2coscos22ctga ctgacosa-cosa= 2sina+a 2sin a- a2倍角公式：sin 2a= 2 sinacosacos2a=2cos2a-1 =1- 2

6、sin2a= cos2a-sin2actg 2a-1sin3a=3sina- 4sin3a cos3a=4cos3a-3cosactg2a=tg2a=2ctga 2tga 1- tg 2atg3a= 3tga-tg3a1- 3tg2a半角公式：sina1- cosaa1+cosa = cos = 2tga21- cosa1- cosasina2ctga21+ cosa1+ cosasina = = =21+cosasina1+ cosa21- cosasina1- cosa正弦定理：asin a=bsin b=csin c= 2r余弦定理： c2 = a 2 + b2 - 2ab cosc反三

7、角函数性质： arcsin x = a- arccos x2aarctgx =- arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（leibniz）公式：(uv)n(n)=cn uk (n-k ) v(k )k =0= u (n) v + nu (n-1) v + n(n -1) u (n-2) v +l+ n(n -1)l(n - k +1) u (n-k ) v(k ) +l+ uv(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) - f (a) = f (a)(b - a)f (b) - f (a)f (a)柯西中值定理：= f (b) - f (a)f (a)当f(x) = x时，柯

8、西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds = 1+ y2 dx,其中y = tga da da: 从m点到m点，切线斜率的倾角变化量；ds：mm 弧长。平均曲率k =ds .m点的曲率：k = lim da =ds0 dsda =.y (1+ y2 )3ds直线：k = 0;半径为a的圆：k = 1 .a定积分的近似计算：b矩形法： f (x) a b梯形法： f (x) ab - a nb - a n( y0 + y1 +l+ yn-1 ) 1 2 ( y0 + yn ) + y1 +l+ yn-1 b抛物线法 f (x) ab - a ( y + y ) + 2( y + y

9、 +l+ y) + 4( y + y +l+ y) 3n0n24n-213n-1定积分应用相关公式：功：w = f s水压力：f = p a引力：f = k m1m2 , k为引力系数r 2函数的平均值：y = b - f (x)dxa1bab均方根： 1 f 2 (t)dtb - a a空间解析几何和向量代数：(x - x ) + ( y - y ) + (z - z )222212121ab空间2点的距离：d = m1m 2 =向量在轴上的投影pr ju ab = cosa,a是ab与u轴的夹角。vvvvpr vju (a + av2 ) = pr ja 1 + pr ja 2v1va b

10、 = a b cosa= axbx + ayby + azbz ,是一个数量,a 2 + a 2 + a 2 b 2 + b 2 + b 2xyzxyz两向量之间的夹角cosa=axbx + ayby + azbzv= v va ijkv=v va.例：线速度：v = v vca=baa , caxyzbxbybzb sinvw r.v vvvvvaxayazvvv向量的混合积abc = (a b ) c = bxbycxcybz = a b c cosa,a为锐角时cz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：a(x - x ) + b( y - y ) + c(z - z ) = 0，

11、其中v = a, b,c, m (x , y , z )000n2、一般方程：ax + by + cz + d = 00000+=3、截距世方程： xyz1abcax0 + by0 + cz0 + da2 + b2 + c 2平面外任意一点到该平面的距离：d =x - x0y - y0z - z0vx = x0 + mt空间直线的方程： m二次曲面：= n=0= t,其中s = m, n, p;参数方程 y = y + nt p z = z0 + ptx 2y 2z 21、椭球面： += 1a 22x2b2c2y 2、抛物面： + = z（, p, q同号）2 p2q3、双曲面：x2 + y

12、2 - z 2单叶双曲面：a2b2c2 = 12 + 2双叶双曲面：x2 - y2z2a2bc =（1 马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz = z dx + z dydu = u dx + u dy + u dzxyxyz全微分的近似计算：dz dz = f x (x, y)dx + f y (x, y)dy多元复合函数的求导法：z = f u(t),v(t)dz = z u + z vdtu tv tz = f u(x, y),v(x, y)z = z u + z v xu xv x当u = u(x, y)，v = v(x, y)时，du = u dx + u dydv = v dx

13、+ v dyxyxy隐函数的求导公式：dyfxd 2 yfxfdy隐函数f (x, y) = 0，= -，= (-)(-x ) dxfydx2xfyyfydx隐函数f (x, y, z) = 0， z = - fx ， z = - fyxfzyfzfugufvgvuvf (x, y,u, v) = 0(f ,g)ff隐函数方程组：j =g(x, y,u, v) = 0(u, v)gugvu = - 1 (f ,g)v = - 1 (f ,g)xj(x, v)xj(u, x)u = - 1 (f ,g)v = - 1 (f ,g)yj( y, v)yj(u, y)微分法在几何上的应用： x =a

14、(t)a(t空间曲线 y =a(t)在点m (x , y , z )x - x0 = y - y0 = z - z0z =a(t)000 处的切线方程： 0 )a(t0 )a(t0 )在点m处的法平面方程：a(t0 )(x - x0 ) +a(t0 )( y - y0 ) +a(t0 )(z - z0 ) = 0f (x, y, z) = 0vfyfzfzfxfxfyyxxgy若空间曲线方程为 g(x, y, z) = 0,则切向量t = g曲面f (x, y, z) = 0上一点m (x0 , y0 , z0 )，则：,gz gzg , gn1、过此点的法向量： v = f (x , y ,

15、 z ), f (x , y , z), f (x , y , z )x000y000z0002、过此点的切平面方程：fx (x0 , y0 , z0 )(x - x0 ) + fy (x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + fz (x0 , y0 , z0 )(z - z0 ) = 03、过此点的法线方程： x - x0=y - y0=z - z0fx (x0 , y0 , z0 )fy (x0 , y0 , z0 )fz (x0 , y0 , z0 )方向导数与梯度：fff函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为 ： = cosa+sina其中

16、a为x轴到方向l的转角。函数z = f (x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf (x, y) = f vlxyi +f vjfvxyvvv它与方向导数的关系是：l= grad f (x, y) e，其中e = cosa i + sina j，为l方向上的单位向量。 f 是gradf (x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设fx (x0 , y0 ) = f y (x0 , y0 ) = 0，令：f xx (x0 , y0 ) = a,f xy (x0 , y0 ) = b,f yy (x0 , y0 ) = c ac - b2 0 a 0,(x , y )为极小值00

17、则： ac - b2 0)的引力：f = fx , fy , fz ，其中fx = f a(x, y)xda ，3fy = f a(x, y) yda，3fz = - faa(x, y)xda3d (x2 + y 2 + a 2 ) 2柱面坐标和球面坐标：x = r cosa柱面坐标 y = r sina,d (x2 + y 2 + a 2 ) 2 f (x, y, z)dxdydz = f (r,a, z)rdrdadz,d (x2 + y 2 + a 2 ) 2z = zww其中：f (r,a, z) = f (r cosa, r sina, z)x = r sinacosa球面坐标 y

18、= r sinasina，dv = rda r sina da dr = r 2z = r cosasinadrdada2aar (a,a) f (x, y, z)dxdydz = f (r,a,a)r 2 sinadrdada=da da f (r,a,a)r 2 sinadrww000重心：x = 1 xadv,y = 1 yadv,z = 1 zadv，其中m = x = adv m wm wm www转动惯量：ix = ( y 2 + z 2 )adv，i y = (x2 + z 2 )adv，i z = (x2 + y 2 )advww曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

19、x =a(t)设f (x, y)在l上连续，l的参数方程为,(a t a),则： y =a(t)a x = t f (x, y)ds = f a(t),a(t) a2 (t) +a2 (t)dt(a a)特殊情况la y =a(t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x =a(t)设l的参数方程为 y =a ，则：(t)a p(x, y)dx + q(x, y)dy = pa(t),a(t)a(t) + qa(t),a(t)a(t)dtla两类曲线积分之间的关系：pdx + qdy = (p cosa+ q cosa)ds，其中a和a分别为lll上积分起止点处切向量的方向角。格林公式( q

20、- p )dxdy = pdx + qdy格林公式( q - p )dxdy = pdx + qdyldxyq当p = - y,q = x，即：- pldxy= 2时，得到d的面积：a = dxdy =1 xdy - ydxxy平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、g是一个单连通区域；d2 l2、p(x, y)，q(x, y)在g内具有一阶连续偏导数，且qp。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：xyqp在xy时，pdx + qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中：u(x, y) =( x, y ) p(x, y)dx + q(x, y)dy

21、，通常设x0 = y0 = 0。( x0 , y0 )曲面积分：xy对面积的曲面积分：f (x, y, z)ds =dxyf x, y, z(x, y) 1+ z 2 (x, y) + z 2 (x, y)dxdy对坐标的曲面积分： p(x, y, z)dydz + q(x, y, z)dzdx + r(x, y, z)dxdy，其中： r(x, y, z)dxdy = rx, y, z(x, y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；dxy p(x, y, z)dydz = px( y, z), y, zdydz，取曲面的前侧时取正号；dyzq(x, y, z)dzdx = qx, y(z, x)

22、, zdzdx，取曲面的右侧时取正号。dzx两类曲面积分之间的关系 pdydz + qdzdx + rdxdy = (p cosa+ q cosa+ r cosa)ds高斯公式：( p + q + r )dv = pdydz + qdzdx + rdxdy = (p cosa+ q cosa+ r cosa)dswxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：vpqrvdiv =+ ,即：单位体积内所产生的流体质量，若div 0,则为消失.v v通量：xyza nds =a ds =(p cosa+ q cosa+ r cosa)ds， nv因此，高斯公式又可写成： divadv =a ds n

23、w斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( r - q )dydz + ( p - r )dzdx + ( q - p )dxdy = pdx + qdy + rdz yzzxdydzdzdxxdxdyycosagcosacosa上式左端又可写成： = xypqzxrpyzqr：与路径无关的条件r = q ， p = r ， q = p空间曲线积分ijkvyzzxxy旋度：rota =vxyzpqrv v向量场a沿有向闭曲线g的环流量 pdx + qdy + rdz = a t dsgg常数项级数：等比数列1+ q + q 2 +l+n-1 = 1- qnq1- q等差数列1+ 2 + 3 +

24、 l+ n = (n +1)n2调和级数：1+ 1 + 1 +l+ 1 是发散的23n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）a 1时，级数发散nn a= 1时，不确定2、比值审敛法：a 1时，级数发散n un3、定义法： a= 1时，不确定nsn = u1 + u2 +l+ un ; lim sn存在，则收敛；否则发散。交错级数u1 - u2 + u3 - u4 +l(或- u1 +u 2 -u3 +l,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理： un un+1lim un=如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝对值rn un+1 。绝对收敛与条件收敛：n0(

25、1) u1 + u2 +l+ un +l，其中un为任意实数；(2) u1 + u2 + u3 +l+ un +l如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。n调和级数 1 发散，而级数： 1 收敛；n2(-1)n 收敛；np级数： 1n p时发散p 1时收敛幂级数：11 + x + x2 + x3 +l+ xn +lx 1时，收敛于1- xx 1时，发散对于级数(3)a + a x + a x2 +l+ a xn +l，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全012n数轴上都收敛，则必存在r，使x r时发散，其中r称为收敛半径。x =

26、 r时不定a 0时，r = 1an +1ana求收敛半径的方法：设limn= a，其中a ，a是(3)的系数，则nn +1a= 0时，r = +a= +时，r = 0函数展开成幂级数：f (x )2f (n) (x )n函数展开成泰勒级数：f (x) = f (x0 )(x - x0 ) +0 (x - x0 )2!+l + 0 (x - x 0) + ln!余项：rn=f (n+1) (a)(n +1)!(x -x0 )n+1 , f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是lim r = 0n nx0 = 0时即为麦克劳林公式：f (x) = f (0) + f一些函数展开成幂级数：(0)x +f (0) x22!+l+f (n) (0)n!xn +l(1+ x)m = 1+ mx + m(m -1) x2 +l+ m(m -1)l(m - n +1) xn +l(-1 x 1)2!x3x5n-1sin x = x -+-l+ (-1)3!5!x2n-1n!+l(- x 0)y = c er1x + c er2 x12两个相等实根( p 2 - 4q = 0)y = (c + c x)er1x12一对共轭复根(