(完整)椭圆题型归纳大全,推荐文档

1、题型一. 定义及其应用椭圆典型题型归纳第 13 页例 1.已知一个动圆与圆c : (x + 4)2 + y2 = 100 相内切，且过点 a(4, 0) ，求这个动圆圆心m 的轨迹方程； 例 2. 方程3(x -1)2 + ( y -1)2= x +2 y + 2 所表示的曲线是 练习：(x - 3)2 + y2(x + 3)2 + y21. 方程+= 6 对应的图形是（）a. 直线b. 线段c. 椭圆d. 圆(x - 3)2 + y2(x + 3)2 + y22. 方程+= 10 对应的图形是（）a. 直线b. 线段c. 椭圆d. 圆x2 + ( y - 3)2x2 + ( y + 3)2

2、+3. 方程+= 10 成立的充要条件是（）a.x2y2+= 1b. x2y222xyc.+= 122xyd.+= 1+1=25162591625925x2 + ( y - m)2x2 + ( y + m)2 +4. 如果方程+= m +1表示椭圆，则 m 的取值范围是 5. 过椭圆9x2 + 4 y2 = 1的一个焦点 f1 的直线与椭圆相交于 a, b 两点，则 a, b 两点与椭圆的另一个焦点 f2 构成的dabf2 的周长等于；6. 设圆(x +1)2 + y2 = 25 的圆心为c ， a(1,0) 是圆内一定点， q 为圆周上任意一点，线段aq 的垂直平分线与cq 的连线交于点 m

3、 ，则点 m 的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例 1.方程x2 + y21625点的轨迹；= 1的曲线是到定点和的距离之和等于的（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 p(3, 0) ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 p1( 6,1) 、p2(- 3, - 2) ，求椭圆的方程；例 4.求经过点(2, -3) 且与椭圆9x2 + 4 y2 = 36 有共同焦点的椭圆方程；y注：一般地，与椭圆 x2 + 2= 1共焦点的椭圆可设其方程为x2+ y2= 1(k

4、 - 2a2b2a2 + kb2 + kb ) ；（四）定义法求轨迹方程；例 5.在dabc 中， a, b, c 所对的三边分别为 a, b, c ，且 b(-1, 0), c(1, 0) ，求满足b a c 且b, a, c 成等差数列时顶点 a 的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例 6.已知 x 轴上一定点 a(1,0) ， q 为椭圆方程；x2 + 2y4= 1上任一点，求 aq 的中点 m 的轨迹（六）直接法求轨迹方程；例 7.设动直线l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x2 + 2 y2 = 4 交于 a, b 两点，点 p 是直线l 上满足pa apb = 1的点，求点 p 的轨迹方程

5、；（七）列方程组求方程例 8.中心在原点，一焦点为 f (0, 50) 的椭圆被直线 y = 3x - 2 截得的弦的中点的横坐标1为 ，求此椭圆的方程；2题型三.焦点三角形问题例 1.已知椭圆 x2 + y2 = 1上一点 p 的纵坐标为 5，椭圆的上下两个焦点分别为 f 、 f ，2116253求 pf1 、 pf2 及cos f1pf2 ；题型四.椭圆的几何性质例 1.已知 p 是椭圆 x2 + y2 = 15ffa2b2上的点，的纵坐标为，、312 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则 pf1 apf2的最大值与最小值之差为 x2y2a2例 2.椭圆+b2=1 (a b 0)

6、的四个顶点为 a, b, c, d ，若四边形 abcd 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例 3.若椭圆 x2 + y2 = 1 的离心率为 1 ，则 k =；k +142xy22例 4.若 p 为椭圆 a2 + b2 = 1(a b 0) 上一点， f1 、 f2 为其两个焦点，且pf1f2 = 150 ， pf2 f1 = 750 ，则椭圆的离心率为 题型五.求范围例 1.方程 表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；x2 +y2= 1xmm2(m -1)2题型六.椭圆的第二定义的应用(x -1)2 + ( y -1)2例 1. 方程2= x + y + 2 所表示的曲线是 1例

7、2.求经过点 m (1, 2) ，以 y 轴为准线，离心率为 的椭圆的左顶点的轨迹方程；2例 3.椭圆 x2 + y2 = 1 上有一点 p ，它到左准线的距离等于 ，5 那么 p 到右焦点的距离为2592x2y 2例 4已知椭圆+= 1，能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 m ，使它到43左准线的距离为它到两焦点 f1, f2 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。xy22例 5已知椭圆+= 1内有一点 a(1 ,1) ， f1、 f2 分别是椭圆的左、右焦点，点 p 是95椭圆上一点求 pa + 3 pf的最小值及对应的点 p 的坐标22题型七.求离心

8、率xy22例 1. 椭圆 a2 + b2 = 1 (a b 0) 的左焦点为 f1(-c, 0) ， a(-a, 0) ， b(0, b) 是两个顶点，7b如果 f1到直线 ab 的距离为，则椭圆的离心率 e = xy22例 2.若 p 为椭圆 a2 + b2 = 1(a b 0) 上一点， f1、 f2 为其两个焦点，且pf1f2 =a，pf2f1 = 2a，则椭圆的离心率为 例 3.f1、 f2 为椭圆的两个焦点，过 f2 的直线交椭圆于 p, q 两点， pf1 pq ，且pf1 =pq ，则椭圆的离心率为；题型八.椭圆参数方程的应用例 1. 椭 圆 x2 + y243= 1上的点 p

9、到直线 x- 2 y + 7 = 0 的距离最大时，点 p 的坐标例2.方程 x2 sina- y2 cosa= 1 ( 0 a 0 ）与连结 a(-1,1) ， b(2, 3) 的线段没有公共点，求 a 的取值范围。xobayp例 3.过点 p(- 3, 0) 作直线l 与椭圆3x2 + 4 y2 = 12 相交于 a, b 两点， o 为坐标原点， 求doab 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设l 的方程为 y - 0 = k( x + 3) ，则要求l 的斜率一定要存在，但在这里l 的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l

10、的方3程为 x = my -，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设 a(x1 , y1 ), b(x2 , y2 ) ， l ： x = my -3s= 1 | op | | y | + 1 | op | | y |=3(| y | + | y |) =3( y - y )22daob1212123把 x = my -代入椭圆方程得： 3(m2 y 2 - 2 3my + 3) + 4 y 2 - 12 = 0 ，即6 3m3(3m2 + 4) y 2 - 6 3my - 3 = 0 ， y + y =， y y = -| y1- y2 |=123m2 + 41 2108m

11、212(3m2 + 4)23m2 + 4+13m2 + 4144x2 + 48=3m2 + 4= 4 9m2 + 3 = 4 3 3m2 + 1 = 4 3 3m2 + 13m2 + 44 3m=3m2 + 1+3m2 + 43m2 + 14 32 33(3m2 + 1) + 3= 2 s 2 =32，此时=m = 6 33m2 + 136333m2 + 1令直线的倾角为a，则 tana= = 623即doab 面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为6 。2例 4.求直线 x cosa+ y sina= 2 和椭圆 x2 + 3y2 = 6 有公共点时，a的取值范围(0 aa)。 （二）弦长

12、问题例 1.已知椭圆 x2 + 2 y2 = 12 ， a 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 a ，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为 4 133，求点 a 的坐标。分析：若直线 y = kx + b 与圆锥曲线 f (x, y) = 0 相交于两点 p(x1 , y1 ) 、q(x2 , y2 ) ，1 + k 2则弦 pq 的长度的计算公式为| pq |=| x1- x2|=| y1- y2 | ，1 + 1k 2( x1 + x 2)2 - 4x x1 2而| x1 - x2 |=，因此只要把直线 y = kx + b 的方程代入圆锥曲线f (x, y) = 0 方程，消去 y （或

13、 x ），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设 a(x0 , 0) （ x0 0 ），则直线l 的方程为 y = x - x0 ，设直线l 与椭圆相交于p(x , y ) 、q(x , y ) ，由11224xy = x - x0，可得3x2 - 4x x + 2x 2 -12 = 0 ，x2 + 2y2 = 12002x 2 - 12x1 + x2 =0 ， x1 x2 =0，则33( x1 + x 2)2 - 4x x1 216x 28x 2 - 4890-032336 - 2x 20| x1 - x2 |=4 14=1 + x2 | x - x| ，即 4 14 = 2 2

14、36 - 2x 2031233 x 2 = 4 ，又 x 0 ， x = 2 ， a(2, 0) ；000例 2.椭圆 ax2 + by2 = 1与直线 x + y = 1相交于 a, b 两点， c 是 ab 的中点，2若| ab |= 2， o 为坐标原点， oc 的斜率为2 ，求 a, b 的值。2例 3.椭圆x2y 2+= 1的焦点分别是 f1 和 f2 ，过中心o 作直线与椭圆交于 a, b 两点，若4520dabf2 的面积是 20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例 1.已知椭圆x2 + y2164= 1，过点 p(2, 0) 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 p ；例

15、 2.已知一直线与椭圆4x2 + 9 y2 = 36 相交于 a, b 两点，弦 ab 的中点坐标为 m (1,1) ， 求直线 ab 的方程；23例 3. 椭圆 e 中心在原点o ，焦点在 x 轴上，其离心率e =,过点c(-1, 0) 的直线l 与椭圆 e 相交于 a, b 两点，且 c 分有向线段 ab 的比为 2.（1） 用直线l 的斜率 k (k 0) 表示doab 的面积；（2） 当doab 的面积最大时，求椭圆 e 的方程23x 2 + y 2c解：（1）设椭圆 e 的方程为a 2b2 = 1，由e =a，a2=3b2故椭圆方程 x2 + 3y2 = 3b2 ；设 a(x1 ,

16、y1 ), b(x2 , y2 ) ，由于点c(-1, 0) 分有向线段 ab 的比为 2x1 + 2x2 = -13x1 +1 = -2(x2 +1)y + y 2 y， 即= -2 y 12 = 0 123x2 + 3y 2 = 3b2由 y = k (x +1)消去 y 整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直线 l 与椭圆 e 相交于 a(x1 , y1 ), b(x2 , y2 ) 两点 = 36k 4 - 4(3k 2 + 1)(3k 2 - 2b 2 ) 0x + x = - 126k 23k 2 + 1x1 x2 =3k 2 - 3b 23k 2 + 1而

17、 s= 1 | y - y |= 1 | -2 y- y |= 3 | y|= 3 | k (x +1) |= 3 | k | x +1|doab21222222222223| k |由得: x2 +1 = - 3k 2 +1 ，代入得： sdoab = 3k 2 +1 (k 0) .（2）因 sdoab= 3 |k |33k 2 +13 | k | + 1 =32 332,| k |当且仅当 k = 33 , sdoab 取得最大值此时 x + x = -1，又 x1 + 2x2 = -1， x = -1, x= -2 ；12312将x , x 及 k 2 = 1 代入得 3b2=5，椭圆方

18、程 x2 + 3y2 = 5 123x2y2 =例 4.已知 a(x1 , y1 ), b(1, y0 ), c(x2 , y2 ) 是椭圆 4 + 31上的三点， f 为椭圆的左焦点，且 af , bf , cf 成等差数列，则 ac 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆x2 + y243y = 4x + m 对称；= 1，试确定 m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线例 2.已知中心在原点，焦点在 y 轴上，长轴长等于 6，离心率e =2 2 ，试问是否存在直31线l ，使l 与椭圆交于不同两点 a, b ，且线段 ab 恰被直线 x =

19、 -2平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十.最值问题x 2y 2m1f1f2m2o例 1若 p(-2, 3) ， f2 为椭圆 25 + 16 = 1 的右焦点，点 m 在椭圆上移动，求mp + mf2 的最大值和最小值。分析：欲求 mp + mf2 的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义mf2 = 2a - mf1 , f1 为椭圆的左焦点。解 ： mp + mf2 = mp + 2a - mf1 ，连接 pf1，延长 pf1交椭圆于点 m1,延长 f1p 交椭圆于点 m 2 由三角形三边关系知- pf1 mp - mf1 pf1当且仅当

20、 m 与 m1 重合时取右等号、 m 与 m 2 重合时取左等号。因为2a = 10, pf1 = 2 ，所以( mp + mf2 )max = 12 , ( mp + mf2 )min = 8 ；+结论x 2y 21：设椭圆 a 2b 2 = 1的左右焦点分别为 f1 , f2 , p(x0 , y0 ) 为椭圆内一点，m (x, y) 为椭圆上任意一点，则 mp + mf2 的最大值为 2a + pf1 ,最小值为 2a - pf1 ；x 2y 2例 2 p(-2, 6) , f2 为椭圆 25 + 16最大值和最小值。= 1 的右焦点，点 m 在椭圆上移动，求 mp+ mf2 的分析：点

21、 p 在椭圆外， pf2 交椭圆于 m ，此点使 mp + mf2 值最小，求最大值方法同例1。解 ： mp + mf2 = mp + 2a - mf1 ，连接 pf1 并延长交椭圆于点 m1， 则 m 在 m1 处时 mp - mf1 取最大值 pf1 ；3741 mp + mf2 最大值是 10+，最小值是。结论x 2y 22 设椭圆a 2+ b 2 = 1的左右焦点分别为 f1 , f2 ， p(x0 , y0 ) 为椭圆外一点，m (x, y) 为椭圆上任意一点，则 mp + mf2 的最大值为 2a + pf1 ，最小值为 pf2 ;2. 二次函数法例 3求定点 a(a, 0) 到椭

22、圆 x 2a 2y 2+b 2 = 1上的点之间的最短距离。分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示pa ，转化为 x, y 的函数求最小值。解：设 p(x, y) 为椭圆上任意一点，pa 2 = (x - a)2 + y2 = (x - a)2 +1- 1 x2 = 1 (x - 2a)2 +1- a22221- a2=由椭圆方程知 x 的取值范围是- 2,（1） 若 a 2 ，则 x = 2a 时， pa222min（2） 若 a 2 ,则 x =2时 pamin= a -（3） 若 a -22 , 则 pamin= a +232+结论 ：椭圆 x 2ay 2b 2 = 1上的点 m

23、(x, y) 到定点 a(m,0)或 b(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示ma或mb，通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3. 三角函数法x 2例 4求椭圆42 +y 2 =1上的点 m (x, y) 到直线l : x +x 22 y =4 的距离的最值；x + 2 y - 45=+2 =x = 2 cosa()解：三角换元 d 42y1令y = sinaa r则 d =当sin(a+= 22 cosa+ 2sina- 455a4 ) = 1 时 dmin =52 sin(a+ a ) - 244 5 - 2 10a；当sin(a+4)

24、 = -1时,4 5 + 2 10+x 2y 2dmax =结论 4：若椭圆5a 2b2= 1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4. 判别式法例 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线 m : x + 2 y + c = 0 将 x = -2 y - c 代入椭圆方程整理得8 y2 + 4cy + c2 - 4 = 0 ，4 5 - 2 10222由=0 解得c = 2, c = -2时直线 m : x + 2 y - 2= 0 与椭圆切于点 p ， 则 p 到直线l

25、的距离为最小值，且最小值就是两平行直线 m 与l 的距离，所以 dmin =5；22c = 2时直线 m : x + 2 y + 2= 0 与椭圆切于点 q，则 q 到直线 l 的距离为最大值，且4 5 + 2 10最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离，所以 dmax =。5结论 5：椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线 m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。x2y2例 5.已知定点 a(-2, 3) ，点 f 为椭圆+= 1的右焦点，点 m 在该椭圆上移动时，1612求 am + 2 mf 的最小值，并求此时点

26、 m 的坐标；（第二定义的应用）例 3已知 f 、 fx2y21 的左、右焦点，椭圆内一点 m 的坐标为12 分别为椭圆 +=10064(2, -6) ， p 为椭圆上的一个动点，试分别求：53（1） pm +pf2 的最小值；（2） pm + pf2 的取值范围44解：（1），此时点 p 为过点 m 且垂直于l 的线段与椭圆的交点；3（2） 由椭圆的定义知 pf1 + pf2 = 20 ，故 pmpf2 = pm + 20 - pf1 ，+ pm - pf1 mf1 = 10 ，故 pmpf2 30+（当且仅当 p 为有向线段 mf1 的延长线与椭圆的交点时取“=”）； pf1 - pm mf1 = 10 ，故 pmpf2 = 20 - ( pf1 - pm ) 10 ;+（当且仅当 p 为有向线段 mf1 的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）综上可知， pm题型十一.轨迹问题pf2+的取值范围为10, 30;例 1到两定点(2,1) ， (-2, -2) 的距离之和为定值 5 的点的轨迹是()a椭圆双曲线直线线段例 2已知点 a(3, 0) ，点 p 在圆 x2 + y2 = 1的上半圆周上(即 y0)，aop 的平分线交pa 于 q，求点 q 的轨迹方程。例