(完整版)二项式定理(习题含答案),推荐文档

1、一、求展开式中特定项二项式定理3 xx1、在(+ 1 )30 的展开式中， x 的幂指数是整数的共有（ ）a 4 项b 5 项c 6 项d 7 项【答案】cr15r( )30-r 1 - 5【解析】tcx=r 3 xr +130 = c3r0 x6 ， r = 0,1,230 ，若要是幂指数是整数，所以 r = 0，6，12，18，24，30，所以共 6 项，故选 c3、若(x2 +【答案】101 )5 展开式中的常数项为 （用数字作答）x3【解】由题意得，令 x = 1 ，可得展示式中各项的系数的和为 32，所以 2n = 32 ，解得n = 5 ，所以(x2 + 1 )5 展开式的通项为

2、t= cr x10-5r ，当 r = 2 时，常数项为c 2 = 10 ，x3r +1554、二项式( 3 x - 2)8 的展开式中的常数项为x【答案】112【解析】由二项式通项可得， tr+1 = cr (3 x )8-r (- 2) )r = (-2 )r cr8-4r3 （r=0,1,8）, 显8x x8然当 r = 2 时， t3 = 112 ，故二项式展开式中的常数项为 112. 5、(2 - 1 )(1 - 3x)4 的展开式中常数项等于x【答案】 14 【解析】因为(2 - 1 )(1 - 3x)4 中 (1- 3x)4 的展开式通项为cr (-3x)r ，当第一项取 2 时

3、，x4c0 = 1 ，此时的展开式中常数为 2 ；当第一项取 - 1 时， c1 (-3x) = -12 ，此时的展开4x4式中常数为 12 ；所以原式的展开式中常数项等于 14 ，故应填 14 6、设 a = psin x -1+ 2 cos2 x dx ，则 a- 1 (x + 2)62的展开式中常数项是 xx0 2 【答案】 = -332p2 x pp20332 a = 0 sin x -1+ 2 cosdx = 0 (sin x + cos x)dx = (-cos x + sin x)= 2 ，xxx(a- 1 )6 = (2- 1 )6 的展开式的通项为xt= cr (2 x )6

4、-r (- 1 )r = (-1)r 26-r cr x3-r ，所以所求常数项为xr +16666t = (-1)3 26-3c3 2 + (-1)5 26-5 c5二、求特定项系数或系数和= -332 7、 (x -2 y)8 的展开式中 x6 y2 项的系数是（）a 56b -56【答案】ac 28d -288【解析】由通式 cr x8-r (- 2 y)r ，令 r = 2 ，则展开式中 x6 y2 项的系数是8c 2 (- 2)2 = 56 8、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是【答案】15【解】 (1+ x)6 的通项 t= cr xr ，令 r = 2 可得c 2 =

5、15 则 x (1+ x)6 中 x3 的系数为r +16615.9、在 (1- x)6 (2 - x) 的展开式中含 x3 的项的系数是【答案】-55【解析】 (1 - x)6 (2 - x) 的展开式中 x3 项由2c 3 (-x)3 和（- x）c 2 (-x)2 两部分组成，66所以 x3 的项的系数为- 2c 3 - c 2 = -55 6610、已知n = e6 1 dx ，那么（x - 3）n 展开式中含 x2 项的系数为1 xx【答案】135【解析】根据题意， n = e6 1 dx = ln x |e6 = 6 ，则（x - 3）n 中，由二项式定理的通项公1 x1x式 t=

6、 cr an-rbr ，可设含 x2 项的项是 t= cr x6-r (-3)r ，可知 r = 2 ，所以系数为r +1nr +166c 2 9 = 135 11、已知 (1+ x)10 = a + a (1- x)+ a (1- x)2 +l + a (1- x)10 ，则 a 等于（ ）012108a5b5c90d180【答案】d因为 (1+ x)10 = (-2 + 1 - x)10 ，所以 a8 等于c8 (-2)2 = 45 4 = 180. 选10 x)12、在二项式( 3 x2 - 1n2的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则n =；展开式中的第 4 项19【答案】 8

7、 ， -7x 3 12 (n-r )11 (2n+r )【解析】由二项式定理展开通项公式t= cr (-)r x 3 xr = cr (-)r x3，由r +1n2n2题意得，当且仅当 n = 4 时， cn r 取最大值， n = 8 ，第 4 项为8c3 (-11(16+3)3 x3219= -7x 3 13、如果 (1 - 2x)7 = a0 + a1x + a2x2 +l + a7 x7 ，那么 a + a +l + a 的值等于（）017（a）1（b）2（c）0（d）2【答案】a【解析】令 x = 1 ，代入二项式 (1 - 2x)7 = a + a x + a x2 +l + a

8、x7 ，得0127(1 - 2)7 = a0 + a1+ a +2 l + a =7 -1 ，令 x = 0 ，代入二项式(1 - 2x)7 = a0 + a1x + a2x2 +l + a7 x7 ，得 (1 - 0)7 = a = 1 ，所以 1 + a + a +l + a = -1 ，即0127a1 + a2 +l + a7 = -2 ，故选 a14、（ 2）7 展开式中所有项的系数的和为 【答案】-1解：把 x=1 代入二项式，可得（ 2）7 =1，15、（x2）（x1）5 的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0x解：在（x2）（x1）5 的展开式中，令 x=1，即（12）（11）

9、5=0，所以展开式中所有项的系数和等于 0.16、在( 1- 3)n (n n *) 的展开式中，所有项的系数和为 - 32 ，则 1 的系数等于x【答案】 - 270【解析】当 x = 1 时， (- 2)n = -32 ，解得 n = 5 ，那么含 1 的项就是x 1 2()31x5c2 - 3= -270，所以系数是-270.x17、设 k = p(sin x - cos x)dx ，若 (1 - kx)8 = a 0 + a1 x + a2 x 2 +k + a x8 ，则08a1 + a2 + a3 + + a8 =【答案】0.【解析】由 k = p (sin x - cos x)d

10、x = (-cos x - sin x) p0= (-cosp- sinp) - (-cos 0 - sin 0) = 2 ，令 x = 1 得： (1- 2 1)8 = a0 + a1+ a 2 +k+ a8 ，即 a0+ a + a +k+ a = 10128再令 x = 0 得： (1- 2 0)8 = a + a 0 + a 0 +k+ a 0 ，即 a = 101280所以 a1 + a2 + a3 + + a8 = 018、设（5x ）n 的展开式的各项系数和为 m，二项式系数和为 n，若 mn=240，则展开式中 x 的系数为.【答案】150解：由于（5x ）n 的展开式的各项系

11、数和 m 与变量 x 无关，故令 x=1，即可得到展开式的各项系数和 m=（51）n=4n再由二项式系数和为 n=2n，且 mn=240，可得 4n2n=240，即 22n2n240=0.解得 2n=16，或 2n=15（舍去），n=4.（5x ）n 的展开式的通项公式为 tr+1= ？（5x）4r？（1）r？ =（1）r？54r？ 令 4 =1，解得r=2，展开式中 x 的系数为（1）r？54r=1625=150，19、设 (1 - x)8 = a0 + a1 x + l + a7 x 7 + a8 x8 ，则 a +l + a + a=178【答案】 255【解析】 a1 +l+ a7 +

12、 a8 = - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8 ，所以令 x = -1 ，得到 28 = a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8 ， 所 以 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8 = 28 - a 0 = 256 - 1 = 255三、求参数问题x20、若 -1n 的展开式中第四项为常数项，则 n = （）23 xa 4b 5c 6d 7【答案】bx【解析】根据二项式展开公式有第四项为 t4 = c 3 ()n-3 ()3 = c 3 2-3 xn-52 ，第四1

13、23 xn - 5项为常数，则必有 2nn= 0 ，即 n = 5 ，所以正确选项为 b.21、二项式 (x +1)n (n n *) 的展开式中 x2 的系数为 15，则 n = （）a、5b、 6c、8d、10【答案】bn【解析】二项式 (x +1)n (n n *) 的展开式中的通项为 tk +1 = ck xn-k ，令 n - k = 2 ， 得 k = n - 2 ，所以 x2 的系数为cn-2 = c 2 = n(n -1) = 15 ，解得 n = 6 ；故选 bnn222、(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a【答案】2【解析】 tr+=1 cr a4 r x4-r

14、，当 4 - r = 3 ，即 r = 1 时，4t2=c1 ax3 = 4ax3 = 8x3, a = 2 23、若 (1+ x)(1+ ax)4 的展开式中 x2 的系数为 10，则实数 a = （）1010a或 1b - 5 或 1c2 或 - 5d 【答案】b33【解析】由题意得 (1+ ax)4 的一次性与二次项系数之和为 14，其二项展开通项公式t= cr ar xr ，r +14 c 2a2 + c1a = 10 a = 1 或 - 5 ，故选 b44324、设 (1+ x) + (1+ x)2 + (1+ x)3 + + (1+ x)n = a + a x + a x2 + +

15、 a xn ，当012na0 + a1 + a2 + + an = 254 时， n 等于（）a5b6c7d8【答案】c【解析】令 x = 1 ，则可得2 + 22 + 23 + + 2n = 2(2n -1) = 2n+1 - 2 = 254 n +1 = 8 n = 7 ，故选 c2 -1四、其他相关问题25、20152015 除以 8 的余数为()【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用 8 的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数试题解析：解：20152015=2015=？20162015？20162014+？20162013？20162012+？2016，故 201

16、52015 除以 8 的余数为=1，即 20152015 除以 8 的余数为 7，“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employ