高三曲线地全参数方程(教案设计

1、直线的参数方程及应用目标点击：1. 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2 .熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3.利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题;基础知识点击：问题1 :（直线由点和方向确定）求经过点Po（xo,y。），倾斜角为 的直线I的参数方程 设点P（x , y）是直线I上任意一点，（规定向上的 方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过 Po作x轴的平行线，两条直线相交于 Q点.1）当P0P与直线I同方向或Po和P重合时，PoP= |PoP|贝U PoQ = PoPcosQ P = PoPsin2）当PP与直线I反方向

2、时，PoP、PoQ、Q P同时改变符号，八yPoP= |PoP| PoQ = PoPcosQ P = PoPsin仍成立设PoP = t， t为参数， 又.Po Q x Xq ，x x o tcos0Q P = y yo 二y y=t sin即x X。tcos是所求的直线I的参数方程y y。 tsinPoP = t，t为参数，t的几何意义是：有向直线I上从已知点Po（Xo,yo）到点P（x ,y）的有向线段的数量，且|PoP匚|t|当t0时，点? P在点Po的上方；当t = 0时，丿昌P与点Po重合；当t0时，点? P在点Po的右侧；IPqP(x ,y)当t = 0时，丿昌P与点Po重合；当t

3、0时，点? P在点Po的左侧；0 x问题2 :直线I上的点与对应的参数t是不是对应关系?我们把直线I看作是实数轴，以直线I向上的方向为正方向，以定点 Po 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实数轴上的点P建 立了 一一对应关系1、直线参数方程的标准式过点Po(Xo, y。)，倾斜角为的直线I的参数方程是x x0 tcos y yo tsi n(t为参数)t的几何意义：t表示有向线段P0P的数量，P( x , y )PoP=tIPoP l=t直线参数方程的一般式为直线上任意一点.过点Po(xo,yo)，斜率为k b的直线的参数方程是ax x0 at y yo bt(t为参数)

4、参数方程与普通方程的互化例1 :化直线l1的普通方程x .、3y 1二0为参数方程，并说明参数的几何意 义，说明It I的几何意义.解：令y=o,得x = 1，二直线h过定点(1,0). k设倾斜角为，tg1 = _ v 3、3 = T=_ 3 , sin2li的参数方程为=_ 3 , = 5 , cos362t2It20)到t对应的点M( x , y)的有向线段(t为参数)t是直线l1上定点M o量.由 x 1 ft (1)1 y 2tIt l= (x 1)2 y2段MoM的长.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角，注意参数的几何意义.3 t-(t为参数)为普通方程，并求倾斜角,1.

5、3 t(1，MoM的数(1)、两式平方相加，得(x 1)2 y2 t2It I是定点Mo (1，O)到t对应的点M( x ,y)的有向线例2 :化直线12的参数方程说明It I的几何意义.解：原方程组变形为y得 y 13(x 3)t3 t(点斜式)可见k= -3, tg = . 3，倾斜角(1)(1 )代入消去参数t，普通方程为3x y 3 3 1 0(1)、两式平方相加，得(x 3)2 (y 1)2 4t2 t 1=2It I是定点Mo （3，1 ）到t对应的点M（ x ,y）的有向线段MoM的长的一半. 点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线h的参数方程35为X 1 ft

6、即x 1 tcos6是直线方程的标准形式，1+ . 5y ty tsin2 6雪叫）2=的几何意义是有向线段M 0M的数量.直线12的参数方程为12 + （ .3）2=4工1 ,此时t的几何意义是有向线段你会区分直线参数方程的标准形式？x 3 tx 3 t是非标准的形式, y 1. 3 tMoM的数量的一半.1例3 :已知直线l过点Mo （1，3），倾斜角为，判断方程X 1才（t为参数）3品y 3 t2x 1 t和方程（t为参数）是否为直线l的参数方程？如果是直线l的参数方y 3 v3 t程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直

7、线.3x y 、-331x 1 t2_3y 3 t2cosl的的普通方程0 ,所以，以上两个方程都是直线l的参数方程，其中=-,sin =-，是标准形式，参数t是有向线段M0M的2 21 t1 t是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.y 3. 3 t点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式， 会利用参数t的几何意义解决有关问题.x 1 t厂能否化为标准形式？3、3 t数量.，而方程问题5 :直线的参数方程y只需作参数t的代换.（构造勾股数，实现标准化）1是可以的,x 1 ty 3.3 t12(3)2312(3)23(12(12( 3)2t) 令 t 二右2(J3)2t

8、(3)2t)2得到直线l参数方程的标准形式yIt2 t的几何意义是有向线段MoM的数量.2、直线非标准参数方程的标准化般地，对于倾斜角为、过点M o（ X。，y）直线I参数方程的一般式为,x x0 at y yo bt（t为参数），斜率为k tg（1）当a2 b2 = 1时，则t的几何意义是有向线段 MoM的数量. 当a2 b2工1时，则t不具有上述的几何意义.Xo at可化为yo btXo(a2yoaa2 b2b(.a2b2t)b2t)令 t = a2 b2tx Xo则可得到标准式y yoata2 b2t的几何意义是有向线段MoM的数量._ta2 b2例4 :写出经过点Mo （-2，3），倾

9、斜角为的直线1的标准参数方程，并且求出直线I上与点Mo相距为2的点的坐标.3解：直线I的标准参数方程为x2 tcos-3 y 3 tsin4（t为参数）(1 )3设直线I上与已知点Mo相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,则| MoM| = |t| =2,匸2 将t的值代入式当t=2时，M点在Mo点的上方，其坐标为（一2 、2，3 + , 2 ）; 当t=-2时，M点在 Mo点的下方，其坐标为（一2 + . 2，3 2 ）点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求 M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数 t的几何意义求M点的坐标较容易.例5 :直线X 3 2巾20（ t

10、为参数）的倾斜角y 4 t cos 20y 4解法 1 :消参数 t,的 x 3 = ctg20 tg110解法2 :化为标准形式:x 3 ( t)t cos110y 4( t)sin110（t为参数）此直线的倾斜角为110曲线的参数方程教学目标1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；2、通过对圆和直线的参数方程的研究， 了解某些参数的几何意义和物理意义；3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。教学重点曲线参数方程的概念。教学难点曲线参数方程的探求。教学过程1、圆的参数方程的推导问题一：圆心在（a,b

11、）、半径为r的圆的参数方程为？探究 1 】圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为r cos r sin（ 为参数）提示：可将圆心在原点、半径为r的圆圆心在（a,b ）、半径为r的圆的参数方程为a r cos(为参数)b r sinr cosrrsin （为参数）按向量v（吶平行移动后得到。（3）方程、是否是圆心在原点，半径为r的圆方程？为什么？由上述推导过程可知：对于O O上的每一个点P（x,y）都存在变数t （或）的值, 使 x r cos t , y r sin t （或 y rsin , x r cos ）都成立。对于变数t （或）的每一个允许值，由方程组所确定的点（1、对曲线的方程以

12、及方程的曲线的定义进行必要的复习； 的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数 t 方程是圆的方程；）若要表示一个完整的圆，则t与x r cos t2.+ t 0二 y r sin t圆的参数方程及参数的定义 我们把方程（或）叫做P（x,y）都在圆上;2、学生从曲线（或）建立起来的(4)(5)的最小的取值范围是什么呢?x r cosy r sin0,2 )O O的参数方程，变数t （或）叫做参数。, x 3 cos 0,2 )与 y 3sin（6）圆的参数方程的理解与认识0,2是否表x 3 cos（i）参数方程y 3si n示同一曲线？为什么？（ii）根据下列要求，分别写出圆心在原点、

13、半径为 r的圆的部分圆弧的参 数方程： 在y轴左侧的半圆（不包括y轴上的点）； 在第四象限的圆弧。（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的 取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分； 并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。)1、写出下列圆的参数方程(1)圆心在原点，半径为 J3 ； (2)圆心在(-2 , -3 ),半径为1.2、写出下列圆的圆心和半径x1 4cos , x2cos,(1) (2) y2 4sin; y2sin【设计意图：】得到圆的参数方程的结论后马上进行两个相应的练习，学生即学即用，有助于记忆方程。问题二：怎样把圆的普通方程和参数方程互化？2

14、2x y2 rxyr cosr sin222xar cos(x a)(y b)rybr si n例1、已知圆的一般方程 x2+y 2 6x 4y+12=0 ，将它化为参数方程x25cos2例2、已知圆的参数方程将它化为普通方程y15si n2 x5 cos1练习:1、已知圆的参数方程为y5si n，则其标准方程为？12、已知圆的一般方程为2 xy2 2x6y 60,则其参数方程为?三、简单应用1、已知 P (x,y )圆 C： x2+y 2 2x+4y=0 上的一动点。(1 )求x-1的最小值与最大值；(2) 求x y的最大值与最小值；(可调)(3) 求点P到直线x y 10的距离d的最值。(

15、可调)(i) 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C上任意一点的坐标x、y 都是某个变数t的函数X f(t) (t D) ，并且对于t的每一个允许值， y g(t)由方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线C上，那么方程组就叫做这条曲 线的参数方程。变数t叫做参变量或参变数，简称参数。(ii)相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标x、y间关系的方程F (x, y) 0叫做曲线的普通方程。(8 )曲线的参数方程的理解与认识(i) 参数方程的形式；(横、纵坐标x、y都是变量t的函数，给出一个t能唯一的求出对应的x、y的 值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标 x、y之间的关系并不一定是函数

16、关系。)(ii) 参数的取值范围；(在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同， 所表示的曲线也可能会有所不同。)(iii) 参数方程与普通方程的统一性；(普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量 x与y之间的间接联系；普通方 程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式； 参数方程可以与普通方程进行互 化。)(iv) 参数的作用；(参数作为间接地建立横、纵坐标 x、y之间的关系的中间变量，起到了桥 梁的作用。)(v) 参数的意义。(如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有 明确的物理意义

17、，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不 同的变数作为参数。)(2) 写出经过定点P(3,1)，且倾斜角为一的直线I的参数方程。6问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到 什么启示呢？(第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程； 第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取 有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。)例题2 :已知点A(x, y)在圆C : x2 y24上运动，求x y的最大值。（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的 作用与意义。）（1）若圆的一般方程

18、为（x a）2 （y b）2 r2，你能写出它的一个参数方程吗？例1（2011 广东高考已知两曲线参数方程分别为y = sin 05x = ； t2,（0 00， x =一乎变式练习：本例中条件“ 0 0 ,n），和4”若变为“ 0 R ,（t R），它们的交点坐标为 x21(y X),(0 0n)得 + y2 =55x十，5由 4(t R)得 x = _y2,A5y4 + 16y2 16 = 0 ,4得交点坐标为1 ,5y 二 t(t为参数)试判断两曲线的位置关系.x ；7.解：由条件知，+y2 = 1及y = 2(x +1)，因为直线经过定点(一1,0)，而(一1,0)5在椭圆的内部故直线

19、与椭圆相交，即两曲线必相交.X = 3COS a,（t为参数）被圆y = 3sin ax = 1 + 2t,1 . （2012 长春模拟求直线y = 1 2t(a为参数)截得的弦长.x = 1 + 2t,解：把直线方程y= 1 2t化为普通方程为x + y = 2.x = 3COS a,将圆化为普通方程为x2+ y2 = 9.y = 3sin a圆心O到直线的距离x = 1 + 2t,所以直线y = 1 2tx = 3COS a,被圆y = 3sin a截得的弦长为2- ;7.冲关锦囊消去参数的方法一般有三种(1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2) 利用三角恒等式消去

20、参数；(3) 根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.考点二：直线的参数方程x = 1 2t，例2（2012 西安模拟若直线li:（t为参数）与直线12 :y = 2 + ktx = s，（s为参数）垂直，则k=y = 1 2sk 4 + kk自主解答直线li的方程为y二+，斜率为；直线12k的方程为y = 2x+ 1，斜率为一2. Mi与12垂直，(一；)x( 2)n2 . (2012 南京调研已知直线I经过点P(1,1)，倾斜角a = 7，求直线6I的参数方程nx = 1 + tcos 6解