(完整版)人教版初三数学二次函数知识点及难点总结(2),推荐文档

1、初三数学 二次函数 知识点总结二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小.当 a0 时,二次函数图像向上开口；当 a0 时,抛物线向下开口.|a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置.当 a 与 b 同号时（即 ab0）,对称轴在 y 轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于 0,也就是- b/2a0,所以 b/2a 要小于 0,所以 a、b 要异号可简单记忆为左同右异,即当 a 与 b 同号时（即 ab0）,对称轴在 y 轴左；当 a与 b 异号时（即 ab 0 ）,对称轴在 y 轴右.事实上,b 有其自身的几何意义

2、：二次函数图像与 y 轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率 k 的值.可通过对二次函数求导得到.2、决定二次函数图像与 y 轴交点的因素常数项 c 决定二次函数图像与 y 轴交点. 二次函数图像与 y 轴交于（0，c)一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax2 + bx + c （ a 何何b c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ， 而b 何 c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二

3、次式， x 的最高次数是 2 a 何何b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项第 10 页 共 18 页二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(0 何 0)y 轴x 0 时， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 随x 的增大而减小；x = 0 时， y 有最小值0 a 0 时， y 随x 的增大而减小； x 0向上(0 何 c)y 轴x 0 时， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 随x 的增大而减小；x = 0 时， y 有最小值c

4、 a 0 时， y 随x 的增大而减小；x 0向上(h 何 0)x=hx h 时， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 随x 的增大而减小；x = h 时， y 有最小值0 a h 时， y 随x 的增大而减小； x 0向上(h 何 k )x=hx h 时， y 随x 的增大而增大； x h 时， y 随x 的增大而减小；x = h 时， y 有最小值k a h 时， y 随x 的增大而减小； x 0)【(k0)【( h0)【( h0)【( k0)【(k0)【( h 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x = - ，顶点坐标为- 何 4a2a 2a当x - b2a时，4ac - b2y 有

5、最小值4a时， y 随x 的增大而增大；2. 当bb4ac - b2 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x = - ，顶点坐标为- 何 4a2a 2a当x - b2a时，4ac - b2y 有最大值4a时， y 随x 的增大而减小；七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）；2. 顶点式： y = a(x - h)2 + k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3. 两根式： y = a(x - x1)(x - x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函

6、数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 - 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当a 0 的前提下，当b 0 时， - b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 ，即抛物线

7、对称轴在 y 轴的右侧2a 在a 0 时， - b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b = 0 时， - b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b 0 时， - b 0 ，在 y 轴的右侧则ab 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c 0 时，图象与x 轴交于两点 a(x ，0，) ，b (x0) (x x ) ，其中的x ，x 是121212b2 - 4ac a一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a 0)的两根这两点间

8、的距离 ab = x - x =.21 当d = 0 时，图象与x 轴只有一个交点； 当d 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0 ；2 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 y 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次d 0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根d = 0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根d 0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.方程之间的内在联系：y=2 x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3第 9 页

9、共 18 页 x2y= -2y= -x2y=-2x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2二次函数图像参考：y=3 (x+4)2y=3 x2y=3 (x-2)2十一、函数的应用何何何何第 18 页 共 18 页二次函数应用何何何何何何何何何何何何何何何二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m2 - m - 2 的图像经过原点，则m 的值是 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，

10、如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx - 1的图像大致是（）y0yyxo-1x0yx0 -1xabcd1、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x = 5，求这条抛物线的解析式。32、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线 y = ax2 + bx + c （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标3是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是2（1） 确定抛物线的解析式；（2）用配方

11、法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5. 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c 的图像如图 1，则点 m (b, c ) 在（ ）aa. 第一象限b第二象限c第三象限d第四象限（2） 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示， 则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ ）a1 个b2 个c3 个d4 个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关

12、系，是解决问题的关键 例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，o)、(x1，0)，且1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(o，2)的下方下列结论：abo；4a+co，其中正确结论的个数为()a 1 个b. 2 个 c. 3 个d4 个会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为( )a(2，-3)b.(2，1)c(2，3)d(3，2)答案：c例 4、如图（单位：m），等腰三角形 abc 以 2 米/秒的速度沿直线

13、l 向正方形移动，直到 ab 与 cd 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1） 写出 y 与x 的关系式；（2） 当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3） 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= 1 x2+x- 5 22（1） 用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2） 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 a、b，求线段 ab 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6、 “已知函数 y = 1 x 2 + bx + c 的图象经过点

14、a（c，2），2求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1） 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能， 请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2） 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 a（c，2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）

15、小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答（1）根据 y = 1 x 2 + bx + c 的图象经过点 a（c，2），图象的对称轴是2b = -3,1 c 2 + bc + c = -2, 2-x=3，得b2 12= 3,解得c = 2.所以所求二次函数解析式为 y = 1 x 2 - 3x + 2. 图象如图所示。（2） 在解析式中令 y=0，得 12x 2 - 3x + 2 = 0 ，解得x = 3 +5, x = 3 -

16、5.212所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ 5,0) ”或“抛物线与 x轴的一个交点的坐标是(3 -5,0). 令 x=3 代入解析式，得 y = - 5 ,2所以抛物线 y = 1 x 2 - 3x + 2 的顶点坐标为(3,- 5 ),22所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,- 5 ) 等等。2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数 与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 abcde（如图）

17、，其中 af=2，bf=1试在 ab 上求一点 p，使矩形 pndm 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间x（元）152030y（件）252010例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元） 与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1） 求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2） 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数

18、表达式为 y=kx+b则15k + b = 25,2k + b = 20解得 k=-1，b=40， 即一次函数表达式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2） 问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程二次函数对应练习试题一

19、、选择题1. 二次函数 y = x2 - 4x - 7 的顶点坐标是()a.(2,11) b.（2，7） c.（2，11） d. （2，3）2. 把抛物线 y = -2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）a. y = -2(x +1)2b. y = -2(x -1)2c. y = -2x2 +1d. y = -2x2 -13. 函数 y = kx2 - k 和 y = k (k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;当x = 1 和x = 3 时,函数值相等; 4a +

20、 b = 0 当 y = -2 时,正确的个数是()x 的值只能取 0.其中a.1 个b.2 个c. 3 个d. 4 个5. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的两个根分别是x = 1.3和x = （）12.b.-2.3c.-0.3d.-3.36. 已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限7. 方程2x - x2 = 2 的正根的个数为（ ）xa.0 个b.1 个c.

21、2 个.3 个8. 已知抛物线过点 a(2,0),b(-1,0),与 y 轴交于点 c,且 oc=2.则这条抛物线的解析式为a. y = x2 - x - 2b. y = -x2 + x + 2c. y = x2 - x - 2 或 y = -x2 + x + 2d. y = -x2 - x - 2 或 y = x2 + x + 2二、填空题9. 二次函数 y = x2 + bx + 3 的对称轴是x = 2 ，则b =。10. 已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是.11. 一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当x 0 时，函数值 y

22、 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。12. 抛物线 y = 2(x - 2)2 - 6 的顶点为 c，已知直线 y = -kx + 3 过点 c，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数 y = 2x2 - 4x -1的图象是由 y = 2x2 + bx + c 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到的,则 b=,c=。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 ab 上离中心 m 处 5 米的地方，桥的高度是( 取 3.14).三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是x

23、+ 3 = 0 ,图象经过(1,-6),且与 y 轴的交点为(0,- 5 ).2(1) 求这个二次函数的解析式;(2) 当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?第 15 题图(3) 当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大?16. 某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 h = v t - 1 gt 202（0t2），其中重力加速度 g 以 10 米/秒 2 计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1） 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2） 在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹

24、是上升，或是下降，并说明理由.17. 如图，抛物线 y = x2 + bx - c 经过直线 y = x - 3 与坐标轴的两个交点 a、b，此抛物线与x 轴的另一个交点为 c，抛物线顶点为 d.（1） 求此抛物线的解析式；（2） 点 p 为抛物线上的一个动点，求使sdapc ： sdacd = 5 ：4 的点 p 的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量

25、就会增加 7. 5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元）（1） 当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2） 求出 y 与x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（3） 该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4） 小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由练习试题答案一，选择题、1a 2c 3a 4b 5d 6b 7c 8c二、填空题、9 b = -4 10 x -3 11如 y = -2x2 + 4, y = 2x + 4 等（答案不唯一）12113

26、-871415三、解答题15(1)设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c ,由题意可得- b = -32aa + b + c = -6c = -52解得 a = -1 , b = -3, c = - 522所以 y = -1 x2 - 3x - 522(2) x = -1 或-5(2) x -316（1）由已知得，15 = 20t - 1 10 t 2 ，解得t = 3, t = 1 当t = 3 时不合题意，舍去。212所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米（2）由题意得， h = -5t 2 + 20t -5(t - 2)2 + 20 ， 可知顶点的横坐标t = 2 ，又抛物

27、线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升17（1）直线 y = x - 3 与坐标轴的交点 a（3，0），b（0，3）则9 + 3b - c = 0 解得-c = -3b = -2c = 3所以此抛物线解析式为 y = x2 - 2x - 3 （2）抛物线的顶点 d（1，4），与x 轴的另一个交点 c（1，0）.设 p(a, a2 - 2a - 3) ，则( 1 4 a2 - 2a - 3 ) : ( 1 4 4) = 5 : 4 .22化简得 a2 - 2a - 3 = 5当a2 - 2a - 3 0 时， a2 - 2a - 3 = 5 得a = 4,

28、 a = -2p（4，5） 或 p（2，5） 当a2 - 2a - 3 0 时， -a2 + 2a + 3 = 5 即a2 + 2a + 2 = 0 ，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（2，5）18（1） 45 + 260 - 240 7.5 =60（吨）（2） y = (x - 100)(45 + 260 - x 7.5) ，化简得：1010y = - 3 x2 + 315x - 24000 （3） y = - 3 x 2 + 315x - 24000 = - 3 (x - 210)2 + 9075 444红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元（4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最