(完整版)平行四边形知识点总结及对应例题(值得你拥有),推荐文档

1、第十八章 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的性质：（1） ：平行四边形对边相等 (即：ab=cd,ad=bc)；（2） ：平行四边形对边平行 (即：ab/cd,ad/bc)；（3） ：平行四边形对角相等 (即：a=c,b=d)；（4） ：平行四边形对角线互相平分 (即：oa=oc，ob=od)；判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；考点 1 特殊的平行四边形的性

2、质与判定1. 矩形的定义、性质与判定（1） 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2） 矩形的性质：矩形的对角线；矩形的四个角都是角。矩形具有的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有条，矩形也是中心对称图形，对称中心为的交点。矩形被对角线分成了个等腰三角形。（3） 矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是的四边形是矩形；对角线的平行四边形是矩形。温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为 60 度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易

3、忽视这个问题。2. 菱形的定义、性质与判定（1） 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2） 菱形的性质菱形的都相等；菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有条。（3） 菱形的面积1菱形的面积=底高，菱形的面积= ab，其中 a，b 分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了 4 个全等2的直角三角形。4（4） 菱形的判定：都相等的四边形是菱形；对角线的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证 明它是平行四边形

4、，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。3. 正方形的性质及判定方法（1） 正方形的性质：正方形的四个角都是，四条边都；正方形的两条对角线，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（2） 正方形的判定方法：有一组邻边相等的是正方形；对角线互相的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线的菱形是正方形。温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定

5、正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。考点 2 梯形的概念及判定方法1. 梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。（1） 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2） 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。2. 等腰梯形的性质与判定性质：（1）等腰梯形中，同一底上的两个角相等；（2）等腰梯形的对角线相等；判定：（1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形；（3）有两个腰相等的梯形是等腰梯形。3. 梯形中常用的辅助线：梯形的辅助线分割后的图形图形示意

6、1.平移一腰将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形2.平移两腰将梯形分割成两个平行四边形和一个三角形3.平移对角线将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形4.作双高将梯形分割成一个矩形形和一个三角形5.延长两腰将梯形分割成两个三角形6.连接一顶点和一腰中点将梯形分割成一个三角形温馨提示：在涉及梯形的题目中，通常要添加辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形题，然后再利用这两种图形的性质解题，所以掌握常用的辅助线对解决梯形问题，至关重要，所以平时要注意搜集或留意辅助线的作法，使它们变成自己的东西。中考热点难点突破例 1：如图，菱形 abcd 中，b60，ab2，e、f 分别是 bc、cd 的中点

7、，连接 ae、ef、af， 则aef 的周长为（）333a. 2b. 3c. 4d3例 2：如图，把矩形 abcd 沿 ef 对折后使两部分重合，若1 = 50o ，则aef =（）a110b115c120d130一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1(09 年河北)如图，在菱形 abcd 中，ab = 5，bcd = 120，则对角线 ac 等于（）aa20b15c 10d5bdcd2（09 年广西南宁）如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）a.0cm2b.20cm2c.40cm2d.80cm

8、2acb3（09 年宁波市）如图，菱形 abcd 中，对角线 ac、bd 相交于点 o，m、n 分别是边 ab、ad 的中点，连接 om、on、mn，则下列叙述正确的是（）aaom 和aon 都是等边三角形b四边形 mbon 和四边形 modn 都是菱形c四边形 amon 与四边形 abcd 是位似图形d四边形 mbco 和四边形 ndco 都是等腰梯形fadmnocodcdfcabdepcabaeb第 3 题图b第 4 题图第 5 题图4.（09 年杭州）如图，在菱形 abcd 中，a=110，e，f 分别是边 ab 和 bc 的中点，epcd 于点 p，则fpc=（）a35b45c50d5

9、55. 将矩形纸片 abcd 按如图所示的方式折叠，得到菱形 aecf若 ab3，则 bc 的长为()23a1b2cd7. 正方形 abcd 的边长为 8，m 在 dc 上，且 dm=2，n 是 ac 上一动点，则 dn+mn 的最小值为（）adobca8b8 2c2 17d10第 8 题图第 9 题图8. 已知等腰梯形 abcd 的中位线 ef 的长为 6，腰 ab 的长为 5，则等腰梯形的周长为（）a11b16c17d229. 如图，abcd 的周长是 28， abc 的周长是 22，则 ac 的长为() a6b 12c4d 8 11（09 年甘肃庆阳）如图，菱形 abcd 的边长为 10

10、cm，deab，de=6，则这个菱形的面积= cm2第 11 题bcad第 13 题图第 12、1412(09 年南充)如图，等腰梯形 abcd 中， ad bc ， b = 60，ad = 4bc = 7 则梯形 abcd 的周长是.13（09 白银市）如图，四边形 abcd 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 14（09 年济宁市）在等腰梯形 abcd 中，adbc,ad3cm,ab4cm,b60,则下底 bc 的长为 cm .三、解答题（共 60 分）21(本题 6 分)（09 肇庆）如图 ，abcd 是菱形，对角线 ac 与 bd 相交于 o， acd = 30，bd = 6 o b

11、（1） 求证：abd 是正三角形；d（2） 求 ac 的长（结果可保留根号）acaebmfdc第 22 题图22.（09 年宜宾）已知：如图，四边形 abcd 是菱形，过 ab 的中点 e 作 ac 的垂线 ef，交 ad 于点 m，交 cd 的延长线于点 f.（1） 求证：am=dm；（2） 若 df=2，求菱形 abcd 的周长24. 如图：已知在abc 中， ab = ac ， d 为 bc 边的中点，过点 d 作 de ，ab dfac ，垂足分别为e，f .（1） 求证： bedcfd ；（2） 若a = 90 ，求证：四边形 dfae 是正方形.ae fbc d第 24 题图25(

12、本题 8 分)（09 年杭州市）如图，在等腰梯形 abcd 中，c=60，adbc，且 ad=dc，e、f 分别在 ad、dcadepc第 25 题图的延长线上，且 de=cf，af、be 交于点 p（1） 求证：af=be；（2） 请你猜测bpf 的度数，并证明你的结论bfdca 60b第 26 题图26如图，在梯形 abcd 中，abcd，bdad，bc=cd，a=60，cd=2cm. (1)求cbd 的度数；(2)求下底 ab 的长.527(本题 10 分) 如图， abm 为直角，点c 为线段 ba 的中点，点 d 是射线 bm 上的一个动点（不与点 b 重合），连结 ad ，作 be

13、 ad ，垂足为 e ，连结ce ，过点 e 作 ef ce ，交 bd 于 f 求证： bf = fd ；eacbfdm28（2010 年宁德市）（本题满分 13 分）如图，四边形 abcd 是正方形，abe 是等边三角形，m 为对角线 bd（不含 bnm点）上任意一点，将 bm 绕点 b 逆时针旋转 60得到 bn，连接 en、am、cm.ad 求证：ambenb； 当 m 点在何处时，amcm 的值最小；e当 m 点在何处时，ambmcm 的值最小，并说明理由；3 当 ambmcm 的最小值为+ 1时，求正方形的边长.bc8【答案】解：abe 是等边三角形，babe，abe60.mbn6

14、0，mbnabnabeabn.即bmanbe. 又mbnb，ambenb（sas）.当 m 点落在 bd 的中点时，amcm 的值最小.如图，连接 ce，当 m 点位于 bd 与 ce 的交点处时， ambmcm 的值最小9 分理由如下：连接 mn.由知，ambenb，amen.adenmf bcmbn60，mbnb，bmn 是等边三角形.bmmn.ambmcmenmncm. 根据“两点之间线段最短”，得 enmncmec 最短当 m 点位于 bd 与 ce 的交点处时，ambmcm 的值最小，即等于 ec 的长.过 e 点作 efbc 交 cb 的延长线于 f，ebf906030.设正方形的

15、边长为 x，则 bf 3 x，ef x .22在 rtefc 中，22ef2fc2ec2，（ x ）2（ 3 xx）2 ( 3 + 1)2 . 解得，x （舍去负值）.正方形的边长为.221、在平行四边形 abcd 中，过点 c 的直线 ceab，垂足为 e，若ead=53，则bce 的度数为（）a.53b.37c.47d.1272、（2011 江苏省无锡市，21，8）如图，在 abcd 中，点 e 在边 bc 上，点 f 在 bc 的延长线上，且be=cf。求证：bae=cdf.3、 （2012 浙江省湖州市，20，8 分）已知，如图，在abcd 中，点 f 在 ab 的延长线上，且 bf=

16、ab，连接 fd 交bc 于点 e。（1） 说明dcefbe 的理由；（2） 若 ec=3，求 ad 的长。4、如图，四边形 abcd 的对角线 ac、bd 相交于点 o，且 bd 平分 ac，若 bd=8，ac=6，boc=120，则四边形 abcd 的面积为.（结果保留根号）aohgcdb5、(2013 河南省)如图，在等边三角形 abc 中， bc = 6cm ,射线 agbc ，点 e 从点 a 出发沿射线 ag 以1cm / s 的速度运动，同时点 f 从点 b 出发沿射线 bc 以2cm / s 的速度运动，设运动时间为t(s)（1） 连接 ef ，当 ef 经过 ac 边的中点

17、d 时，求证： a ade acdf证明：（2） 填空：当为s 时，四边形 acfe 是菱形；6、（2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1） 如图，在梯形 abcd 中，adbc，bad=120，c=75，bd 平分abc证：bd 是梯形 abcd 的和谐线；（2） 四边形 abcd 中，ab=ad=bc，bad=90，ac 是四边形 abcd 的和谐线，求bcd 的度数解答： （3）ac 是四边形 abcd 的和谐线，acd 是等腰三角形ab=ad=bc，如图 4，当 ad=ac

18、 时，ab=ac=bc，acd=adcabc 是正三角形，bac=bca=60bad=90，cad=30，acd=adc=75，bcd=60+75=135如图 5，当 ad=cd 时，ab=ad=bc=cdbad=90，四边形 abcd 是正方形，bcd=90如图 6，当 ac=cd 时，过点 c 作 cead 于 e，过点 b 作 bfce 于 f，ac=cdcead，ae=ad，ace=dcebad=aef=bfe=90，四边形 abfe 是矩形bf=aeab=ad=bc，bf=bc，bcf=30ab=bc，acb=bacabce，bac=aceacb=ace=bcf=15，bcd=153=45“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are v