(完整版)抛物线的性质归纳及证明,推荐文档

1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线 y22px（p0）焦点 f 的弦两端点为 a(x1 , y1 ) , b(x2 , y2 ) ,倾斜角为a,中点为c(x0,y0), 分别过 a、b、c 作抛物线准线的垂线，垂足为 a、b、c.pppp1.求证：焦半径| af |= x1 + 2 = 1- cosa；焦半径| bf |= x2 + 2 = 1+ cosa;112| = 2 p；特别地，当 x =x (af | bf |p； 弦长| ab |x x p12sin 2 a1 2a=90)时，

2、弦长|ab|最短，称为通径，长为 2p；aob 的面积 soabp22 sina.pp证明：根据抛物线的定义，| af | ad |x12，| bf | bc |x22，| ab | af | bf |x1x2p如图 2，过 a、b 引 x 轴的垂线 aa1、bb1，垂足为ya1、b1，那么| rf | ad | fa1 | af | afd|cos，a(x1，y1)| rf | af |1cosp1cosb1oarf a1x同理，| bf | rf | 1cosp1cosppcb(x2，y2)| ab | af | bf |1cos 2psin2 .1cos图 2111p soabsoafs

3、obf2| of | y1 |2| of | y1 |22(| y1 | y1 |)y1y2p2，则 y1、y2 异号，因此，| y1 | y1 | y1y2 |1 p2 2sin .pppp2soab4|y1y2|4 (y1y2)24y1y24 4m2p24p2 2 1m2112p2 ；2. 求证： x1x2 = 4； y1 y2 = -p2 | af | bf |p.当 abx 轴时，有af = bf = p 成 立 ；当 ab 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 ab 的方程为： y = k x - p .代入抛物线方程： 2k 2 2p x - 2 = 2 px .化简得： k 2 x2 -

4、 p (k2 + 2)x + p2 2 = 0 k4k 2(1)2方程（1）之二根为x1，x2， x x =.14afbfaa1bb11+1=1+1=x 1 p +1 p =x1 + x2 + p2+ x +pp 1222x1 x2 + 2 (x1 + x2 )+ 4yaacck o bf bx2=x1 + x2 + p= x1 + x2 + p= 2 .p2p+)+ pp (x + x + p)p4 + 2 (x1x242123. 求证： ac b = a fb = rt.yda(x1，y1)mnrfxcb(x2，y2)o先证明：ambrt【证法一】延长 am 交 bc 的延长线于 e，如图

5、3，则admecm，2e图 3| am | em |，| ec | ad | be | bc | ce | bc | ad | bf | af | ab |abe 为等腰三角形，又 m 是 ae 的中点，bmae，即ambrt【证法二】取 ab 的中点 n，连结 mn，则111| mn |2(| ad | bc |)2(| af | bf |)2| ab |，| mn | an | bn |abm 为直角三角形，ab 为斜边，故ambrt.pppy1y2【证法三】由已知得 c(2，y2)、d(2，y1)，由此得 m(2， 2 ).yy1y2y1y21 2 py2p(y1y2)p(y1f(p2,

6、y1)x11 py2p2y2p2pkampkbmy22 22p 11ppp2p2y1，同理ydamrofxcb图 44 321kamkbmy1y2y1y2p21bmae，即ambrt.pp【证法四】由已知得 c(2，y2)、d(2，y1)，由此得py1y2m(2， 2 ).map2 y12 y2mbp2 y22 y1 (x1 ， p)， (x3 ，)p(y1y2)(y2y1)ma mb224 (x1 )(x2 )pp2 (y1y2)2x1x22(x1x2) 4 4yy22p2 p 12 p2 y2y22y1y212 4 2(2p2p) 4 4p2 y1y2 p2 p2 2 2 2 2 03ma

7、mb ，故ambrt.【证法五】由下面证得dfc90，连结 fm，则 fmdm.又 adaf，故admafm，如图 4yda(x1，y1)rpf( ， 0)b(x2，y2)xc图 5o12，同理34123218090ambrt.接着证明：dfcrt【证法一】如图 5，由于| ad | af |，adrf， 故可设afdadfdfr ，ydd1a(x1，y1)mrxcfb(x2，y2)hg o同理，设bfcbcfcfr ， 而afddfrbfccfr1802()180，即90，故dfc90py1y2【证法二】取 cd 的中点 m，即 m(2， 2 ) y2pppy2p由前知 kamy1，kcf

8、22 p y1kamkcf，amcf，同理， bmdfdfcamb90.图 6dff【证法三】 (p，y1)， (p，y2)，dfcflm1ymfxn1n图 7o p2y1y20dfcf ，故dfc90.【证法四】由于| rf |2p2y1y2| dr | rc |，即| dr | | rf | rf | rc |，且drffrc90 drffrc4dfrrcf，而rcfrfc90dfrrfc90dfc904. ca、cb 是抛物线的切线y2ydd1a(x1，y1)mrfxcb(x2，y2)opp1【证法一】kamy1，am 的直线方程为 yy1y1(x2p)与抛物线方程 y22px 联立消去

9、 x 得p y2 y2 12yy1y1(2p2p)，整理得 y22y1yy10y2可见(2y1)24 10，故直线 am 与抛物线 y22px 相切，同理 bm 也是抛物线的切线，如图 8.图 8【证法二】由抛物线方程 y22px，两边对 x 求导，(y2) x (2px) x ，p得 2yy x 2p，y x y，故抛物线 y22px 在点 a(x1，y1)处的切线的斜率为 k 切pxy1y| yy1 .p又 kamy1，k 切kam，即 am 是抛物线在点 a 处的切线，同理 bm 也是抛物线的切线.py1y2【证法三】过点 a(x1，y1)的切线方程为 y1yp(xx1)，把 m(2，

10、左边2 ) 代 入y1y2y2y1y22px1p2p2y1 2 2p12px1 2 ，p2右边p(2x1) 2 px1，左边右边，可见，过点 a 的切线经过点 m，5即 am 是抛物线的切线，同理 bm 也是抛物线的切线.5. ca、cb 分别是aab 和bba 的平分线.【证法一】延长 am 交 bc 的延长线于 e，如图9，则admecm，有adbc，abbe，edamaebbam，即 am 平分dab，同理 bm 平分cba.yda(x1，y1)omnrfxcb(x2，y2)图 9【证法二】由图 9 可知只须证明直线 ab 的倾斜角 是直线 am 的倾斜角 的 2 倍即可，py1y2即

11、2. 且 m(2，2 )y2y1y2y1y2 y22p 2 1 tankabx2x12p2py1y2.yy1y2y1y21 2 2p(y1y2) p(y1f(p2,y1)12 pyp2yp2 py1x 22ptankam2tan2 2p 2p y1 1 2py112py1 2py1.tan 21tan2 1(f(p,y1)2y2p2y2y1y2 y1y2tan 2，即 am 平分dab，同理 bm 平分cba.6. ac、af、y 轴三线共点，bc、bf、y 轴三线共点【证法一】如图 10，设 am 与 df 相交于点 g1，ydd1a(x1，y1)mrxcfb(x2，y2)hg o由以上证明

12、知| ad | af |，am 平分daf，故 ag1也是 df 边上的中线，g1 是 df 的中点.设 ad 与 y 轴交于点 d1，df 与 y 轴相交于点 g2， 易知，| dd1 | of |，dd1of，6图 10故dd1g2fog2| dg2 | fg2 |，则 g2 也是 df 的中点.g1 与 g2 重合（设为点 g），则 am、df、y 轴三线共点， 同理 bm、cf、y 轴也三线共点.y2 p1【证法二】am 的直线方程为 yy1y1(x2p)，y1令 x0 得 am 与 y 轴交于点 g1(0， 2 )，y1py1又 df 的直线方程为 y p (x2)，令 x0 得 d

13、f 与 y 轴交于点 g2(0， 2 )y1am、df 与 y 轴的相交同一点 g(0， 2 )，则 am、df、y 轴三线共点，同理 bm、cf、y 轴也三线共点 h由以上证明还可以得四边形 mhfg 是矩形.7. a、o、b三点共线，b、o、a三点共线.yda(x1，y1)rxcfb(x2，y2)oy1yy2112p 【证法一】如图 11，koax12py1，y2p2y22py22py22p koc 2 p p2 y1y2y1koakoc，则 a、o、c 三点共线， 同理 d、o、b 三点也共线.【证法二】设 ac 与 x 轴交于点 o，adrfbc| ro| | co| | bf | |

14、 o f | | cb | | ad | | ca | | ab |， | af | | ab |，| ro| | o f |又| ad | af |，| bc | bf |， | af | | af |图 11| ro| of |，则 o与 o 重合，即 c、o、a 三点共线，同理 d、o、b 三点也共线.| o f | | af | 【证法三】设 ac 与 x 轴交于点 o，rfbc， | cb | | ab |，7| cb | af | | bf | af | 11 1p| of | ab | af | bf | af | | bf |2【见证】o与 o 重合，则即 c、o、a 三点共线

15、，同理 d、o、b 三点也共线.ocpa【证法四】 (2，y2)， (x1，y1)，y2pp1py1 y1y2y1py1 p2y12y1x1 y22y12p y2 2 2pocoa ，且都以 o 为端点a、o、c 三点共线，同理 b、o、d 三点共线. 2 2p 0【推广】过定点 p(m，0)的直线与抛物线 y22px（p0）相交于点 a、b，过 a、b 两点分别作直线 l：xm 的垂线，垂足分别为 m、n，则 a、o、n 三点共线，b、o、m 三点也共线，如下图：ymaopxnbymabnp oxmn8. 若| af |：| bf |m：n，点 a 在第一象限，为直线 ab 的倾斜角. 则

16、cosmn；【证明】如图 14，过 a、b 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 d，c，过 b 作 bead于 e，设| af |mt，| af |nt，则ydearcafbxl图 14o| ad | af |，| bc | bf |，| ae | ad | bc |(mn)t| ae | (mn)tmn 在 rtabe 中，cosbae| ab |(mn)tmnmncoscosbaemn.【例 6】设经过抛物线 y22px 的焦点 f 的直线与抛物线相交于两点 a、b，8且| af |：| bf |3：1，则直线 ab 的倾斜角的大小为.【答案】60或 120.yaacck o bf bx9

17、. 以 af 为直径的圆与 y 轴相切，以 bf 为直径的圆与 y 轴相切；以 ab 为直径的圆与准线相切; ab为直径的圆与焦点弦 ab 相切.yaammofxyaacck o bf bx【说明】如图 15，设 e 是 af 的中点，px12y1 则 e 的坐标为(2 ， 2 )，px121 则点 e 到 y 轴的距离为 d 22| af |故以 af 为直径的圆与 y 轴相切， 同理以 bf 为直径的圆与 y 轴相切.【说明】如图 15，设 m 是 ab 的中点，作 mn准线 l 于 n，则111| mn |2(| ad | bc |)2(| af | bf |)2| ab |1则圆心 m

18、 到 l 的距离| mn |2| ab |， 故以 ab 为直径的圆与准线相切.10. mn 交抛物线于点 q，则 q 是 mn 的中点.y2y212p【证明】设 a(2p，y1)，b(2p，y1)，则 c(2，y2)，pd(2，y1)，图 169py1y2y2y2 y1y212 m(2， 2)，n(4p，2 )，py2y2 12 24py1y2 设 mn 的中点为 q，则 q(2， 2 )py2y2 122222y1y2 2 24p2p2y1y2 2y1y2y1y2( 2 ) 28p8p2p点 q在抛物线 y22px 上，即 q 是 mn 的中点.10“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very