(完整版)圆锥曲线、导数2018全国高考数学分类真题[含答案解析],推荐文档

1、word 格式整理圆锥曲线、导数 2018 年全国高考数学分类真题（含答案）一选择题（共 7 小题）1双曲线y2=1 的焦点坐标是（）a（，0），（，0） b（2，0），（2，0） c（0，），（0，）d（0，2），（0，2）2已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 a，b 两点设 a，b 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（）a=1 b=1 c=1 d=13. 设 f1，f2 是双曲线 c：=1（a0b0）的左，右焦点，o 是坐标原点过 f2 作 c 的一条渐近线的垂线，垂足为 p，若|pf1

2、|=|op|，则 c 的离心率为（ ）a b2 c d 4. 已知 f1，f2 是椭圆 c：=1（ab0）的左、右焦点，a 是 c 的左顶点，点p 在过a 且斜率为的直线上，pf1f2 为等腰三角形，f1f2p=120， 则 c 的离心率为（ ）da b c 5. 双曲线=1（a0，b0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（）a. y= x by= x cy=x dy=x6. 已知双曲线 c： y2=1，o 为坐标原点，f 为 c 的右焦点，过 f 的直线与专业技术参考资料c 的两条渐近线的交点分别为 m，n若omn 为直角三角形，则|mn|=（）a b3c2d47. 设函数 f（x）=x3+（a

3、1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x） 在点（0，0）处的切线方程为（ ）a. y=2x by=x cy=2xdy=x二填空题（共 6 小题）8. 在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点f（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 9已知椭圆 m：+=1（ab0），双曲线 n：=1若双曲线 n 的 两条渐近线与椭圆 m 的四个交点及椭圆 m 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭圆 m 的离心率为；双曲线 n 的离心率为10. 已知点 p（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点 a，b 满足 =2 ，则当m=时，点 b 横坐标的绝对值最大1

4、1. 已知点 m（1，1）和抛物线 c：y2=4x，过 c 的焦点且斜率为 k 的直线与c 交于 a，b 两点若amb=90，则 k= 12. 曲线 y=（ax+1）ex 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a=13. 曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为三解答题（共 13 小题）14设函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） 处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围15. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c 过点（），焦点f1（，0），f2（，0），圆 o 的

5、直径为 f1f2（1） 求椭圆 c 及圆 o 的方程；（2） 设直线 l 与圆 o 相切于第一象限内的点 p若直线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点，求点 p 的坐标；直线 l 与椭圆 c 交于 a，b 两点若oab 的面积为，求直线 l 的方程16. 如图，已知点 p 是y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 c：y2=4x 上存在不同的两点 a，b 满足 pa，pb 的中点均在 c 上（）设 ab 中点为 m，证明：pm 垂直于 y 轴；（）若 p 是半椭圆 x2+=1（x0）上的动点，求pab 面积的取值范围17. 设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 f，上顶点为 b已知椭圆的离心率为，

6、点 a 的坐标为（b，0），且|fb|ab|=6 （）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 p，且 l 与直线 ab交于点 q若=sinaoq（o 为原点），求 k 的值18. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 c：+=1 交于 a，b 两点，线段 ab 的中点为 m（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 f 为 c 的右焦点，p 为 c 上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差19. 设抛物线 c：y2=4x 的焦点为 f，过 f 且斜率为 k（k0）的直线 l 与c 交于 a，b 两点，|ab|=8（1） 求 l 的方程；（2） 求

7、过点 a，b 且与 c 的准线相切的圆的方程20. 设椭圆 c：+y2=1 的右焦点为 f，过 f 的直线 l 与 c 交于 a，b 两点，点m 的坐标为（2，0）（1） 当 l 与x 轴垂直时，求直线 am 的方程；（2） 设 o 为坐标原点，证明：oma=omb21. 记 f（x），g（x）分别为函数 f（x），g（x）的导函数若存在x0r，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0），则称 x0 为函数 f（x）与 g（x）的一个“s 点”（1） 证明：函数 f（x）=x 与g（x）=x2+2x2 不存在“s 点”；（2） 若函数 f（x）=ax21 与g（x）=lnx 存在“

8、s 点”，求实数 a 的值；（3） 已知函数 f（x）=x2+a，g（x）=对任意 a0，判断是否存在b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“s 点”，并说明理由22. 已知函数 f（x）=lnx（）若 f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点23. 已知函数 f（x）=ax，g（x）=logax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） 处的切线与曲线 y=g（x

9、）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明 x1+g（x2）=；（）证明当 ae 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线24已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是f（x）的极大值点，求 a 25已知函数 f（x）=exax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a 26已知函数 f（x）=x+alnx（1） 讨论 f（x）的单调性；（2） 若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证

10、明：a2圆锥曲线、导数 2018 年全国高考数学分类真题（含答案）参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1双曲线y2=1 的焦点坐标是（）a（，0），（，0） b（2，0），（2，0） c（0，），（0，）d（0，2），（0，2）【解答】解：双曲线方程可得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2=3，b2=1， 由此可得 c=2，该双曲线的焦点坐标为（2，0）故选：b2已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 a，b 两点设 a，b 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（）a=1 b=1 c=1 d=

11、1【解答】解：由题意可得图象如图，cd 是双曲线的一条渐近线y=，即 bxay=0，f（c，0）， accd，bdcd，fecd，acdb 是梯形， f 是 ab 的中点，ef=3，ef=b，所以 b=3，双曲线=1（a0，b0）的离心率为 2，可得，可得：，解得 a=则双曲线的方程为：=1 故选：c3. 设 f1，f2 是双曲线 c：=1（a0b0）的左，右焦点，o 是坐标原点过 f2 作 c 的一条渐近线的垂线，垂足为 p，若|pf1|=|op|，则 c 的离心率为（ ）a b2 c d 【解答】解：双曲线 c：=1（a0b0）的一条渐近线方程为y=x，点 f2 到渐近线的距离 d=b，即

12、|pf2|=b，|op|=a，cospf2o= ，|pf1|= |op|，|pf1|= a，在三角形 f1pf2 中，由余弦定理可得|pf1|2=|pf2|2+|f1f2|22|pf2|f1f2|cospf2o，6a2=b2+4c22b2c=4c23b2=4c23（c2a2），即 3a2=c2，即a=c，e=， 故选：c4. 已知 f1，f2 是椭圆 c：=1（ab0）的左、右焦点，a 是 c 的左顶点，点p 在过a 且斜率为的直线上，pf1f2 为等腰三角形，f1f2p=120， 则 c 的离心率为（ ）a b c d【解答】解：由题意可知：a（a，0），f1（c，0），f2（c，0），直线

13、 ap 的方程为：y=（x+a），由f1f2p=120，|pf2|=|f1f2|=2c，则 p（2c，c），代入直线 ap： c=（2c+a），整理得：a=4c，题意的离心率 e= 故选：d5双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（）ay= x by= x cy=x dy=x= ，【解答】解：双曲线的离心率为 e=， 则=即双曲线的渐近线方程为 y=x= x， 故选：a6. 已知双曲线 c：y2=1，o 为坐标原点，f 为 c 的右焦点，过 f 的直线与c 的两条渐近线的交点分别为 m，n若omn 为直角三角形，则|mn|=（）a b3c2d4【解答】解：双曲线 c：y2=1 的

14、渐近线方程为：y= ，渐近线的夹角为：60，不妨设过 f（2，0）的直线为：y=，（则：解得 m，解得：n（），则|mn|=故选：b=3），7. 设函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x） 在点（0，0）处的切线方程为（ ）ay=2x by=x cy=2xdy=x【解答】解：函数 f（x）=x3+（a1）x2+ax，若 f（x）为奇函数， 可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f（x）=3x2+1，曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x 故选：d二填空题（共 6 小题

15、）8. 在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点f（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的右焦点 f（c，0）到一条渐近线 y=x 的距离为c，可得：=b=，可得，即 c=2a，所以双曲线的离心率为：e= 故答案为：29. 已知椭圆 m：+=1（ab0），双曲线 n：=1若双曲线 n 的 两条渐近线与椭圆 m 的四个交点及椭圆 m 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭圆 m 的离心率为；双曲线 n 的离心率为 2【解答】解：椭圆 m： + =1（ab0），双曲线 n：=1若双曲线 n 的两条渐近线与椭圆 m 的四

16、个交点及椭圆 m 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（ ，），可得：，可得，可得 e48e2+4=0，e（0，1），解得 e=同时，双曲线的渐近线的斜率为，即， 可得：，即，可得双曲线的离心率为 e=2 故答案为：；210. 已知点 p（0，1），椭圆+y2=m（m1）上两点 a，b 满足 =2 ，则当m= 5 时，点 b 横坐标的绝对值最大【解答】解：设 a（x1，y1），b（x2，y2），由 p（0，1），=2，可得x1=2x2，1y1=2（y21），即有 x1=2x2，y1+2y2=3，又 x1 2+41y 2=4m，21即为 x 2+y

17、2=m，x 2+4y 2=4m， 22得（y12y2）（y1+2y2）=3m，可得 y12y2=m，解得y1= ，y2=，2 则 m=x2+（）2，即有x22=m（ ）2= =， 即有 m=5 时，x22 有最大值16， 即点 b 横坐标的绝对值最大 故答案为：511. 已知点 m（1，1）和抛物线 c：y2=4x，过 c 的焦点且斜率为 k 的直线与c 交于 a，b 两点若amb=90，则 k= 2 【解答】解：抛物线 c：y2=4x 的焦点 f（1，0），过 a，b 两点的直线方程为 y=k（x1），联立可 得 ，k2x22（2+k2） x+k2=0， 设 a（x1，y1），b（x2，y2

18、），则 x1+x2=，x1x2=1，y1+y2=k（x1+x22）=，y1y2=k2（x11）（x21）=k2x1x2（x1+x2）+1=4，m（1，1），=（x1+1，y11），=（x2+1，y21），amb=90=0，=0（x1+1）（x2+1）+（y11）（y21）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2（y1+y2）+2=0，1+2+4+2=0， 即 k24k+4=0，k=2故答案为：212. 曲线 y=（ax+1）ex 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 3【解答】解：曲线 y=（ax+1）ex，可得 y=aex+（ax+1）ex， 曲线 y=（ax+1）ex 在点

19、（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得 a=3 故答案为：313. 曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当 x=0 时，y=2，曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x 故答案为：y=2x三解答题（共 13 小题）14设函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） 处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex 的导数为f（x）=

20、ax2（2a+1）x+2ex由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1） 处的切线斜率为 0， 可得（a2a1+2）e=0，解得 a=1；（）f（x）的导数为 f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若 a=0 则x2 时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2 处 f（x）取得极大值，不符题意；若 a0，且 a=，则 f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若 a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得 f（x）在 x=2 处取得极小值；若 0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得 f

21、（x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；若 a0，则 2，f（x）在（ ，2）递增；在（2，+），（， ）递减，可得 f（x）在 x=2 处取得极大值，不符题意 综上可得，a 的范围是（，+）15. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c 过点（），焦点f1（，0），f2（，0），圆 o 的直径为 f1f2（1） 求椭圆 c 及圆 o 的方程；（2） 设直线 l 与圆 o 相切于第一象限内的点 p若直线 l 与椭圆 c 有且只有一个公共点，求点 p 的坐标；直线 l 与椭圆 c 交于 a，b 两点若oab 的面积为，求直线 l 的方程【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为 ，焦点 f1

22、（，0），f2（，0）， ，又a2+b2=c2=3， 解得 a=2，b=1椭圆 c 的方程为：，圆 o 的方程为：x2+y2=3（2）可知直线 l 与圆 o 相切，也与椭圆 c，且切点在第一象限，可设直线 l 的方程为 y=kx+m，（k0，m0）由圆心（0，0）到直线 l 的距离等于圆半径，可得由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，=（8km）24（4k2+1）（4m24）=0，可得 m2=4k2+1，3k2+3=4k2+1，结合 k0，m0，解得k=，m=3 将k=，m=3 代入 可得，解得 x=，y=1，故点 p 的坐标为（设 a（x1，y1），b（x2，y2），由k 联立

23、直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，|x2x1|=，o 到直线 l 的距离 d=，|ab|=|x2x1|=，oab 的面积为 s=，解得 k=，（正值舍去），m=3y=为所求16. 如图，已知点 p 是y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 c：y2=4x 上存在不同的两点 a，b 满足 pa，pb 的中点均在 c 上（）设 ab 中点为 m，证明：pm 垂直于 y 轴；（）若 p 是半椭圆 x2+=1（x0）上的动点，求pab 面积的取值范围【解答】解：（）证明：可设 p（m，n），a（，y1），b（，y2），ab 中点为 m 的坐标为（，），抛物线 c：y2=4x

24、上存在不同的两点 a，b 满足 pa，pb 的中点均在 c 上，可得（）2=4 ，（）2=4 ，化简可得 y1，y2 为关于 y 的方程 y22ny+8mn2=0 的两根， 可得 y1+y2=2n，y1y2=8mn2，可得 n=， 则 pm 垂直于 y 轴；（）若 p 是半椭圆 x2+=1（x0）上的动点，可得 m2+=1，1m0，2n2， 由（）可得 y1+y2=2n，y1y2=8mn2，由 pm 垂直于 y 轴，可得pab 面积为 s=|pm|y1y2|= （m）= （4n216m+2n2） m=（n24m）， 可令 t=，可得 m=时，t 取得最大值 ； m=1 时，t 取得最小值 2，

25、即 2t，则 s=t3 在 2t递增，可得 s6 ，pab 面积的取值范围为6，17. 设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 f，上顶点为 b已知椭圆的离心率为，点 a 的坐标为（b，0），且|fb|ab|=6 （）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆在第一象限的交点为 p，且 l 与直线 ab交于点 q若=sinaoq（o 为原点），求 k 的值【解答】解：（）设椭圆+=1（ab0）的焦距为 2c， 由椭圆的离心率为 e=，= ； 又 a2=b2+c2，2a=3b，由|fb|=a，|ab|=b，且|fb|ab|=6； 可得 ab=6，从而解得 a=3，b=2，椭圆的方程为+=1；

26、（）设点 p 的坐标为（x1，y1），点 q 的坐标为（x2，y2），由已知 y1y20；|pq|sinaoq=y1y2；又|aq|=，且oab=，|aq|=y，由=sinaoq，可得 5y1=9y2；由方程组，消去 x，可得 y1=，直线 ab 的方程为 x+y2=0；由方程组，消去 x，可得 y2=； 由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=3，两边平方，整理得 56k250k+11=0， 解得 k=或 k=；k 的值为或18. 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 c：+=1 交于 a，b 两点，线段 ab 的中点为 m（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 f 为 c 的右焦点，p

27、为 c 上一点，且+=证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差【解答】解：（1）设 a（x1，y1），b（x2，y2），线段 ab 的中点为 m（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m将 a，b 代入椭圆 c：+=1 中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点 m（1，m）在椭圆内，即 ， 解得 0m （2）证明：设 a（x1，y1），b（x2，y2），p（x3，y3），可得 x1+x2=2，+=，f（1，0），x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0，x3=1，m0，可得 p 在第一

28、象限，故，m=，k=1 由椭圆的焦半径公式得则|fa|=aex1=2 x1，|fb|=2 x2，|fp|=2 x3= 则|fa|+|fb|=4，|fa|+|fb|=2|fp|，=联立，可得|x1x2|所以该数列的公差 d 满足 2d= |x1x2|=，该数列的公差为19. 设抛物线 c：y2=4x 的焦点为 f，过 f 且斜率为 k（k0）的直线 l 与c 交于 a，b 两点，|ab|=8（1） 求 l 的方程；（2） 求过点 a，b 且与 c 的准线相切的圆的方程【解答】解：（1）方法一：抛物线 c：y2=4x 的焦点为 f（1，0），当直线的斜率不存在时，|ab|=4，不满足；设直线 ab

29、 的方程为：y=k（x1），设 a（x1，y1），b（x2，y2），则 ，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，则 x1+x2= ，x1x2=1， 由|ab|=x1+x2+p= +2=8，解得：k2=1，则k=1，直线 l 的方程 y=x1；方法二：抛物线 c：y2=4x 的焦点为 f（1，0），设直线 ab 的倾斜角为 ，由抛物线的弦长公式|ab|=8，解得：sin2= ，=，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x1；（2）过 a，b 分别向准线 x=1 作垂线，垂足分别为 a1，b1，设 ab 的中点为d，过d 作dd1准线l，垂足为d，则|dd1|=（|aa1|+|bb1|

30、） 由抛物线的定义可知：|aa1|=|af|，|bb1|=|bf|，则 r=|dd1|=4， 以 ab 为直径的圆与 x=1 相切，且该圆的圆心为 ab 的中点 d， 由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x22=4，则 d（3，2），过点 a，b 且与 c 的准线相切的圆的方程（x3）2+（y2）2=1620. 设椭圆 c：+y2=1 的右焦点为 f，过 f 的直线 l 与 c 交于 a，b 两点，点m 的坐标为（2，0）（1） 当 l 与x 轴垂直时，求直线 am 的方程；（2） 设 o 为坐标原点，证明：oma=omb【解答】解：（1）c=1，f（1，0），l 与 x 轴垂直，

31、x=1，由，解得或，a（1.），或（1，），直线 am 的方程为 y=x+ ，y=x ， 证明：（2）当 l 与x 轴重合时，oma=omb=0，当 l 与 x 轴垂直时，om 为 ab 的垂直平分线，oma=omb，当 l 与x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k（x1），k0， a（x1，y1）， b（x2，y2）， 则 x1 ，x2 ，直线 ma，mb 的斜率之和为 kma，kmb 之和为 kma+kmb=+ ， 由 y1=kx1k，y2=kx2k 得 kma+kmb=，将 y=k（x1）代入+y2=1 可得（2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2= ，x1x2=

32、，2kx1x23k（x1+x2）+4k= （4k24k12k2+8k2+4k）=0 从而 kma+kmb=0，故 ma，mb 的倾斜角互补，oma=omb， 综上oma=omb21. 记 f（x），g（x）分别为函数 f（x），g（x）的导函数若存在x0r，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0），则称 x0 为函数 f（x）与 g（x）的一个“s 点”（1） 证明：函数 f（x）=x 与g（x）=x2+2x2 不存在“s 点”；（2） 若函数 f（x）=ax21 与g（x）=lnx 存在“s 点”，求实数 a 的值；（3） 已知函数 f（x）=x2+a，g（x）=对任意 a0，

33、判断是否存在b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“s 点”，并说明理由【解答】解：（1）证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“s 点”；（2）f（x）=2ax，g（x）= ，x0， 由 f（x）=g（x）得 =2ax，得 x=，f（）=g（）=lna2，得 a=；（3）f（x）=2x，g（x）=，（x0），由 f（x0）=g（x0），得 b=0，得 0x01，由 f（x0）=g（x0），得x0 2+a=，得 a=x02，令 h（x）=x2a=，（a0，0x1），设 m（x）=x3+3x2+axa

34、，（a0，0x1），则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0， 又 m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则 m（x）在（0，1）上有零点， 则 h（x）在（0，1）上有零点，则 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“s”点22. 已知函数 f（x）=lnx（）若 f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点【解答】证明：（）函数 f（x）=lnx，x0，f（x）=，f（x）在 x=x1，x2（x1x2）处导数相等，=，x1x2，

35、 +=，由基本不等式得：=，x1x2，x1x2256，由题意得 f（x1）+f（x2）=ln（x1x2），设 g（x）= ，则，列表讨论：x（0，16）16（16，+）g（x）0+g（x）24ln2g（x）在256，+）上单调递增，g（x1x2）g（256）=88ln2，f（x1）+f（x2）88ln2（） 令 m=e（|a|+k），n=（ ）2+1， 则 f（m）kma|a|+kka0，f（n）knan（k）n（ k）0，存在 x0（m，n），使 f（x0）=kx0+a，对于任意的 ar 及k（0，+），直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点，由 f（x）=kx+a，得 k=，设

36、h（x）=，则 h（x）= ，其中 g（x）=lnx，由（1）知 g（x）g（16），又 a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，h（x）0，即函数 h（x）在（0，+）上单调递减，方程 f（x）kxa=0 至多有一个实根，综上，a34ln2 时，对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点23. 已知函数 f（x）=ax，g（x）=logax，其中 a1（）求函数 h（x）=f（x）xlna 的单调区间；（）若曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） 处的切线与曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明 x1+g（x2）=；（

37、）证明当 ae 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线【解答】（）解：由已知，h（x）=axxlna，有 h（x）=axlnalna， 令 h（x）=0，解得 x=0由 a1，可知当 x 变化时，h（x），h（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，+）h（x）0+h（x）极小值函数 h（x）的单调减区间为（，0），单调递增区间为（0，+）；（）证明：由 f（x）=axlna，可得曲线 y=f（x）在点（x1，f（x1） 处的切线的斜率为lna由 g（x）=，可得曲线 y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线的斜率为这两条切线平行，故有，即， 两边取

38、以 a 为底数的对数，得 logax2+x1+2logalna=0，x1+g（x2）= ；（）证明：曲线 y=f（x）在点（ ）处的切线 l1： ，曲线 y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线 l2：要证明当 a 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当 a 时，存在 x1（，+），x2（0，+）使得 l1 与 l2 重合，即只需证明当 a 时，方程组由得，代入得： ，因此，只需证明当 a 时，关于 x1 的方程存在实数解设函数 u（x）=，既要证明当 a 时，函数y=u（x）存在零点u（x）=1（lna）2xax，可知 x（，0）时

39、，u（x）0；x（0，+）时，u（x）单调递减，又 u（0）=10，u= 0，故存在唯一的 x0，且 x00，使得 u（x0）=0，即 由此可得，u（x）在（，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减， u（x）在 x=x0 处取得极大值 u（x0） ，故 lnlna1 =下面证明存在实数 t，使得 u（t）0， 由（）可得 ax1+xlna，当时，有u（x） = 存在实数 t，使得 u（t）0因此，当 a 时，存在 x1（，+），使得 u（x1）=0当 a 时，存在直线 l，使 l 是曲线 y=f（x）的切线，也是曲线 y=g（x） 的切线24已知函数 f（x）=（2+x+ax2）ln（1

40、+x）2x（1）若 a=0，证明：当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0；（2）若 x=0 是 f（x）的极大值点，求 a【解答】（1）证明：当 a=0 时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1）， ，可得 x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x 在（1，+）上单调递增，又 f（0）=0当1x0 时，f（x）0；当 x0 时，f（x）0（2）解：由 f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax） ln（1+x）+2=， 令 h

41、（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当 a0，x0 时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，故 x=0 不是 f（x）的极大值点，不符合题意当 a0 时，h（x）=8a+4aln（x+1）+， 显然 h（x）单调递减，令 h（0）=0，解得 a= 当1x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）0，h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递减，又 h（0）=0，当1x0 时，h（x）0，即 f（x）0， 当

42、x0 时，h（x）0，即 f（x）0，f（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，x=0 是 f（x）的极大值点，符合题意；若 a0，则 h（0）=1+6a0，h（e 1）=（2a1）（1e）0，h（x）=0 在（0，+）上有唯一一个零点，设为 x0，当 0xx0 时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；若 a，则 h（0）=1+6a0，h（1）=（12a）e20，h（x）=0 在（1，0）上有唯一一个零点，设为 x1，当 x1x0 时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）h（0）=0，h（x）单调递增

43、，h（x）h（0）=0，即 f（x）0，f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意 综上，a=25. 已知函数 f（x）=exax2（1）若 a=1，证明：当 x0 时，f（x）1；（2）若 f（x）在（0，+）只有一个零点，求 a【解答】证明：（1）当 a=1 时，函数 f（x）=exx2 则 f（x）=ex2x，令 g（x）=ex2x，则 g（x）=ex2， 令 g（x）=0，得 x=ln2当 x（0，ln2）时，g（x）0，当 x（ln2，+）时，g（x）0，g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一个零点方程 exax2=0 在（0，+）只有