2017上海一模数学几何证明题专项训练(含答案),推荐文档

1、2017 上海一模数学几何证明题专项训练（含答案）【例】如图 10，平行四边形 abcd 中，ab5，bc10，bc 边上的高 am=4，e 为 bc 边上的一个动点（不与 b、c 重合）过 e 作直线 ab 的垂线，垂足为 ffe 与 dc 的延长线相交于点 g，连结 de，df。（1） 求证：befceg（2） 当点 e 在线段 bc 上运动时，bef 和ceg 的周长之间有什么关系？并说明你的理由adfmbxecg图 10（3） 设bex，def 的面积为 y，请你求出 y 和x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？解析过程及每步分值（1） 因为四边形

2、abcd 是平行四边形， 所以 ab a dg1 分所以b = gce , g = bfe所以befceg3 分（2） 与befceg 的周长之和为定值4 分理由一：过点 c 作 fg 的平行线交直线 ab 于 h ，因为 gfab，所以四边形 fhcg 为矩形所以 fhcg，fgch因此， 与befceg 的周长之和等于 bcchbh由 bc10，ab5，am4，可得 ch8，bh6，所以bcchbh246 分理由二：由 ab5，am4，可知hd4343f在 rtbef 与 rtgce 中，有：aef =be,bf =be,ge =ec,gc =ce ，125555m所以，bef的周长是 b

3、e ， ecg12b的周长是 cexec55g又 bece10，因此a bef与aceg 的周长之和是 246 分（3）设 bex，则 ef = 4 x, gc = 3 (10 - x)所以 y = 1 ef adg = 1 4a253x (105- x)+ 5= - 6 x2 - 22 x8 分配方得： y = - 62 55255)25(x - 565 2 + 1261 所以，当 x = 55 时，y 有最大值9 分6最大值为121 10 分6【例】如图二次函数 yax2bxc(a0)与坐标轴交于点 a、b、c 且oa1 oboc3（1） 求此二次函数的解析式（2） 写出顶点坐标和对称轴方

4、程（3） 点 m、n 在yax2bxc 的图像上(点 n 在点 m 的右边)，且 mnx 轴， 求以 mn 为直径且与 x 轴相切的圆的半径解析过程及每步分值（1）依题意 a(-1，0)，b(，3 0，)c(0 - 3) 分别代入 y = ax2 + bx + c1 分解方程组得所求解析式为 y = x2 - 2x - 34 分（2） y = x2 - 2x - 3 = (x -1)2 - 45 分顶点坐标(1，- 4) ，对称轴 x = 17 分（3） 设圆半径为r ，当mn 在 x 轴下方时， n 点坐标为(1+ r，- r)8 分-1+ 17把 n 点代入 y = x2 - 2x - 3

5、 得r =9 分2同理可得另一种情形r = +1+ 172圆的半径为-1+2171+ 17或 210 分【例 3】已知两个关于 x 的二次函数 y1 与当 x = k 时， y2 = 17 ；且二次函数 y2 的图象的对称轴是直y ，= a(x - k )2 + 2(k 0)y + y = x2 + 6x +12 线 x = -1 2112（1） 求k 的值；（2） 求函数 y1，y2 的表达式；（3） 在同一直角坐标系内，问函数 y1 的图象与 y2 的图象是否有交点？请说明理由解析过程及每步分值（1）由 y = a(x - k )2 + 2，y + y = x2 + 6x +12112得

6、y = ( y + y ) - y = x2 + 6x +12 - a(x - k )2 - 2 = x2 + 6x +10 - a(x - k )2 2121又因为当 x = k 时， y2= 17 ，即k 2 + 6k +10 = 17 ， 解得k1 = 1 ，或k2 = -7 （舍去），故k 的值为1（2）由k = 1 ，得 2y = x2 + 6x +10 - a(x -1)2 = (1- a)x2 + (2a + 6)x +10 - a ，2a + 6 ， 所以函数 y2 的图象的对称轴为 x = - 2(1- a)于是，有- 2a + 62(1- a)= -1 ，解得a = -1

7、，所 以 y = -x2 + 2x +1，y = 2x2 + 4x +11 12（3） 由 y1 = -(x -1) 2+ 2 ，得函数 y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为1(1，2) ；由 y2 = 2x2 + 4x +11 = 2(x +1)2 + 9 ，得函数 y 2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(-1，9) ；故在同一直角坐标系内，函数 y1 的图象与 y2 的图象没有交点【例 4】如图,抛物线 y = x2 + 4x 与 x 轴分别相交于点 b、o,它的顶点为 a,连接ab,把 ab 所的直线沿 y 轴向上平移,使它经过原点 o,得到直线 l,设 p 是直线 l 上一

8、动点.（1） 求点 a 的坐标;（2） 以点 a、b、o、p 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点 p 的坐标;（3） 设以点 a、b、o、p 为顶点的四边形的面积为 s,点 p 的横坐标为 x,当224 +6 s 6 + 8时,求 x 的取值范围.解析过程及每步分值解 ：（1） y = x2 + 4x = (x + 2)2 - 4a(-2,-4)（2）四边形 abp1o 为菱形时，p1(-2,4) 四边形 abop2 为等腰梯形时，p1( 2 形- 4 )55形四边形 abp3o 为直角梯形时，p1( - 4 8 )5 5四边形 abop4 为直

9、角梯形时，p1( 6 形- 12 )55（3）由已知条件可求得 ab 所在直线的函数关系式是 y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是 y=-2x当点 p 在第二象限时，x0,pob 的面积sdpob= 1 4 (-2x) = -4x2aob 的面积sdaob= 1 4 4 = 8 ， 2 s = sdaob + sdpob = -4x + 8(x 0,过点 a、p 分别作 x 轴的垂线，垂足为 a、p则四边形 poaa 的面积s= s- s= 4 + 2x (x + 2) - 1 (2x) x = 4x + 4poaa形形p paadppo22aab 的面积sdaab= 1 4 2 = 4

10、2 s = spoaa + sdaab = 4x + 8(x 0)224 + 6 s 6 + 8，x 3 2 - 222s 4 + 62 s 6 + 84x + 8 4 + 6即4x + 8 6 + 822 4x 的取值范围是 3 2 - 2 x 422 - 12s 2 -12【例 5】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 y1 与投资量 x 成正比例关系，如图所示；种植花卉的利润 y2 与投资量 x 成二次函数关系，如图所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1） 分别求出利润 y1 与 y2 关于

11、投资量 x 的函数关系式；（2） 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解：（1）设 y1 = kx ,由图所示，函数 y1 = kx 的图像过（1，2），所以 2=k 1， k = 2故利润 y1 关于投资量 x 的函数关系式是 y1 = 2x ；因为该抛物线的顶点是原点，所以设 y 2= ax 2 ，由图 12-所示，函数 y 2=ax 2 的图像过（2，2），所以2 = a 22 ， a = 12故利润 y2关于投资量 x 的函数关系式是 y = 1 x 2 ；2（2）设这位专业户投入种植花卉 x 万元（ 0 x

12、 8 ），则投入种植树木（ 8 - x ）万元，他获得的利润是 z 万元，根据题意，得z = 2(8 - x) + 1 x 2 = 1 x 2 - 2x + 16 = 1 (x - 2)2 + 14222当 x = 2 时， z 的最小值是 14； 因为0 x 8 ，所以- 2 x - 2 6所以(x - 2)2 36所以 1 (x - 2)2 182所以 1 (x - 2)2 + 14 18 + 14 = 32 ，即 z 32 ，此时 x = 82当 x = 8 时， z 的最大值是 32.【例 6】如图，已知 a(-4, 0) ， b(0, 4) ，现以 a 点为位似中心，相似比为 9:4

13、， 将 ob 向右侧放大，b 点的对应点为 c（1） 求 c 点坐标及直线 bc 的解析式;（2） 一抛物线经过 b、c 两点，且顶点落在 x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;2（3） 现将直线 bc 绕b 点旋转与抛物线相交与另一点 p，请找出抛物线上所有满足到直线 ab 距离为3的点 p解析过程及每步分值解:（1）过 c 点向 x 轴作垂线，垂足为 d，由位似图形性质可知：aboacd， ao = bo = 4 adcd9由已知 a(-4, 0) ， b(0, 4) 可知： ao = 4, bo = 4 ad = cd = 9 c 点坐标为(5, 9) 直线 bc 的解析是为

14、： y - 4 = x -09 - 45 - 0化简得： y = x + 44 = c（2） 设抛物线解析式为 y = ax2 + bx + c(a 0) ，由题意得： 9 = 25a + 5b + c b2 - 4ac = 0，a2= 1 a = 1 25 1解得： b144 b2 = c = - 5 1 = 4 c2 = 4解得抛物线解析式为 y = x2 - 4x + 4 或 y = 1 x2 + 4 x + 4 又 y = 1 212255 x +4 x + 4 的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去2255满足条件的抛物线解析式为 y = x2 - 4x + 4（准确画出函数 y

15、 = x2 - 4x + 4 图象）（3） 将直线 bc 绕b 点旋转与抛物线相交与另一点 p，设 p 到 直线 ab 的距离为 h，22故 p 点应在与直线 ab 平行，且相距3的上下两条平行直线l1 和l2 上 由平行线的性质可得：两条平行直线与 y 轴的交点到直线 bc 的距离也为32如图，设l1 与 y 轴交于 e 点，过 e 作 efbc 于 f 点， 在 rtbef 中 ef = h = 3， ebf = abo = 45o ， be = 6 可以求得直线l1 与 y 轴交点坐标为(0,10)同理可求得直线l2 与 y 轴交点坐标为(0, -2)两直线解析式l1 : y = x +

16、10 ； l2 : y = x - 2 y = x2 - 4x + 4 y = x2 - 4x + 4根据题意列出方程组： y = x +10； y = x - 2解得： x1 = 6 ； x2 = -1； x3 = 2 ； x4 = 3y = 16y = 9y = 0y = 1 1 2 3 4满足条件的点 p 有四个，它们分别是 p1 (6,16) ， p2 (-1, 9) ， p3 (2, 0) ，p4 (3,1) .【例 7】如图，抛物线 1l : y = -x2 - 2x + 3 交 x 轴于 a、b 两点，交 y 轴于 m 点.抛物线 l1 向右平移 2 个单位后得到抛物线 l2 ，

17、 l2 交 x 轴于 c、d 两点.（1） 求抛物线 l2 对应的函数表达式；（2） 抛物线 l1 或 l2 在 x 轴上方的部分是否存在点 n，使以 a，c，m，n 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点 n 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 若点 p 是抛物线 l1 上的一个动点（p 不与点 a、b 重合），那么点 p 关于原点的对称点 q 是否在抛物线 l2 上，请说明理由.解析过程及每步分值3【例 8】如图，在矩形 abcd 中， ab = 9 ， ad = 3，点 p 是边 bc 上的动点（点 p 不与点 b ，点c 重合），过点 p 作直线 pq bd ，交cd 边于q 点

18、，再把pqc 沿着动直线 pq 对折，点c 的对应点是 r 点，设cp 的长度为 x ，pqr 与矩形 abcd 重叠部分的面积为 y （1） 求cqp 的度数；（2） 当 x 取何值时，点 r 落在矩形 abcd 的 ab 边上？（3） 求 y 与 x 之间的函数关系式；当 x 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的 7 ？27rdqcdcdcpabab（备用图ab（备用图解析过程及每步分值3解：（1）如图，q四边形 abcd 是矩形， ab = cd，ad = bc 又 ab = 9 ， ad = 3， c = 90o ，cd = 9 ， bc = 3tan cdb = bc =cd3 3

19、，cdb = 30o 3q pq bd ，cqp = cdb = 30o r（2） 如图 1，由轴对称的性质可知， rpqcpqd ， qcrpq = cpq ， rp = cp pa由（1）知cqp = 30o ，rpq = cpq = 60o ，b（图 1）rpb = 60o ， rp = 2bp 3qcp = x ， pr = x ， pb = 3在rpb 中，根据题意得： 2(3- x 3- x) = x ，3解这个方程得： x = 2（3） 当点 r 在矩形 abcd 的内部或 ab 边上时，330 x 2， s= 1 cp cq = 1 xa 3x =cpq222x2 ，3qrpq

20、cpq ，当0 x 2时， y = 3 x223当 r 在矩形 abcd 的外部时（如图 2）， 2在rtpfb 中，qrpb = 60o ，3 pf = 2bp = 2(3- x) ， x 3，efr3dqc3又q rp = cp = x ， rf = rp - pf = 3x - 6， 在rterf 中，qefr = pfb = 30o ， er =3x - 6 pab（图 2） serf= 1 er fr =3 322x2 -18x +18，3q y = srpq - s erf ，333当2 x 3时 ， y = - 3x2 +18x -18 综上所述， y 与 x 之间的函数解析式是：y = x2 (0 x 2 3)323-3x2 +18x -18 3(2 x 3 3)333矩形面积= 9 3= 27，当0 6，所以，当0 x 2时， y7 ； 2733当2 x 3，332322所以 x = 3+不合题意，舍去 所以 x = 3-综上所述，当 x = 3-时， pqr 与矩形 abcd 重叠部分的面积等于矩形面积的 7 27“”“”at the end, xia