工程试验设计 回归正交试验设计

1、第一节 一次回归正交设计一 正交设计和回归设计的特点1 正交设计的特点正交设计是一种很实用的试验设计方法，它利用较少的试验次数获得较好的试验结果；但是通过正交设计得到的优方案只是局限在确定的水平组合中，而不是一定试验范围内的最优方案。2 回归设计回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确定的回归方程，可对试验结果进行预测和控制；但是，它只能对试验数据进行被动的分析和处理，不涉及对试验设计的要求。如果把两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这就是回归正交设计方法。二 一次回归正交设计基本方法一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标y与m个

2、因素x1、x2、xm之间的一次回归方程：（k=1，2，m）如果不考虑交互作用，则一次回归方程为一次回归正交设计的基本步骤如下：1 确定因素的变化范围根据指标y，确定需要考察的m个因素xj（j=1，2，m），并确定每个因素的取值范围。设：xj的变化范围为xj1，xj2，分别称xj1和xj2为因素xj的下水平和上水平，并将其算术平均值称为零水平，即上水平与零水平之差或零水平与下水平之差称为xj的变化间距，即例如，某试验中温度的变化范围为30-90，则其上水平为xj2=90，xj1=30，零水平xj0=60，变化间距j=30。2 因素水平的编码编码（coding）就是将xj的各水平进行线性变换，即式

3、中，zjxj的编码。显然，xj1、xj0、xj2的编码分别为-1、0、+1，即zj1=-1，zj0=0，zj2=+1。一般，xj称为自变量，zj称为规范变量。因素水平的编码见表8-1。表8-1 因素水平编码表规范变量zj自然变量xjx1x2xm下水平（-1）零水平（0）上水平（+1）变化区间jx11x10x121x21x20x222xm1xm0xm2m对因素水平进行编码的目的，是为了使每个因素的每个水平在编码空间是“平等”的，即规范变量zj的取值范围在-1，+1内变化，不会受到自然变量xj的单位和取值大小的影响。所以编码能将试验结果y与因素xj各水平之间的回归问题，转换为试验结果y与因素zj之

4、间的回归问题，从而简化了回归计算量。3 一次回归正交设计编码表将二水平正交表中的“2”用“-1”代换，就可得到一次回归正交设计编码表。例如，L8(27)经过变换后得到的回归正交设计表如表8-2所示。代换后，正交表中的编码不仅表示因素的不同水平，也表示因素水平数值上的大小。从表8-2可看出回归正交设计表具有如下特点：（1）任意一列编码的和为零，即（2）任意两列编码的乘积之和为零，即这些特点说明了转换之后的正交表同样具有正交性。表8-2 一次回归正交设计编码表试验号列号1234567123456781111-1-1-1-111-1-111-1-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-

5、11-1-11-111-1-111-1-111-1-11-111-14 试验方案的确定在确定试验方案时，也要将规范变量zj安排在一次回归正交编码表相应的列中，即进行表头设计。例如，考察因素x1、x2和x3，可选用L8(27)，根据L8(27)的表头设计表，应将x1、x2和x3分别安排在第1、2和4列，即将z1、z2和z3安排在表8-2的第1、2和4列上。如果要考虑交互作用x1x2和x1x3，也可参考L8(27)的交互作用表，将z1z2和z1z3分别安排在表8-2的第3、5列上。表头设计结果见表8-3。表8-3 三因素一次回归正交表试验号12345z1z1z1z2z1z1z31234567891

6、01111-1-1-1-10011-1-111-1-10011-1-1-1-111001-11-11-11-1001-11-1-11-1100从表8-3中看出，第3列的编码等于第1列和第2列编码的乘积，即交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积。表8-3中的第9、10号试验成为零水平试验或中心试验。安排零水平试验的目的是为了进行更精确的统计分析，得到精度较高的回归方程。三 一次回归方程的建立建立回归方程，关键是确定回归系数。设总试验次数为n，其包括mc次二水平试验和m0次零水平试验，即如果试验结果为yi（i=1，2，n），根据最小二乘原理和回归正交表的两个特点，可得到一次回归系数的计算公

7、式：式中，zji表示zj列各水平的编码，（zkzj）i表示zkzj列各水平的编码。通过计算得到回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转换成标准回归系数。另外，回归系数的符号反应了因素对试验指标影响的正负。四 回归方程及偏回归系数的方差分析1 无零水平试验1.1 计算离差平方和（1）总平方和（2）回归平方和因素的偏回归平方和：交互作用的偏回归平方和：（3）残差平方和1.2 计算自由度（1）总自由度（2）回归自由度因素的自由度：交互作用的自由度（3）残差自由度1.3 计算均方1.4 F检验Fj服从自由度为(dfj，dfe)的F分布，对于给定的显著性水平

8、a，若FjFa(dfj，dfe)，说明因素zj对试验指标有显著影响；否则无显著影响。Fkj服从自由度为(dfkj，dfe)的F分布，对于给定的显著性水平a，若FkjFa(dfkj，dfe)，说明交互作用zkzj对试验指标有显著影响；否则无显著影响。2 有零水平试验如果零水平的试验次数m02，则可进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验。2.1 F检验的缺点对回归方程进行显著性检验，只能说明相对于残差平方和而言，各因素对试验结果的影响是否显著。即使所建立的回归方程是显著的，也只是反映了回归方程在试验点上与试验结果拟合得较好，不能说明在整个研究范围内的拟合情况，应安排零水平试验，进行回归

9、方程的失拟性检验，或称拟合度检验。2.2 失拟性检验方法设m0次零水平试验结果为y01、y02、y0m0，根据m0次重复试验，可计算重复试验的误差为试验误差的自由度为则，失拟平方和为或失拟的自由度为所以，有这时，有对于给定的显著性水平a（一般a=0.1），如果FLfFa(dfLf，dfe1)，说明失拟平方和中除误差外，还有其它因素的影响，需要进一步查明；如果FLfFa(dfLf，dfe1)，说名，失拟平方和基本是由误差引起的。这时可把失拟平方和与误差平方和合并，进行下一步的F2检验。对于给定的显著性水平a，如果F2Fa(dfR， dfe)，说明方程检验显著，即方程拟合得好；反之，说明方程拟合得

10、不好，这可能是由于误差过大，或没有什么因素对y有显著影响。例题8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度y越大越好。试验中，讨论了x1（灰化温度/）、x2（原子化温度/）和x3（灯电流/mA）三个因素对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2和x1x3。已知：x1=300-700，x2=1800-2400，x3=8-10mA。试通过一次回归正交试验确定吸光度与3个因素之间的函数关系式。解：（1）确定因素变化范围因为x1=300-700，所以其下水平x11=300，x12=700，则零水平，变化间距。同理，可确定其他因素的下水平、上水平、零水平及变化区间。（2）

11、因素水平编码根据公式，对各因素进行编码，编码结果如表8-5所示。表8-5 例8-1因素水平编码表因素xix1x2x3上水平（+1）下水平（-1）零水平（0）变化间距j70030050020024001800210030010891（3）正交表的选择和试验方案的确定依题意，可以选用正交表L8（27），经编码转换后，得到表8-2所示的回归正交表。入表8-6所示，将z1、z2、z3分别安排在第1，2和4列，则第3和第5列分别为交互作用z1 z2，z1 z3列。不进行零水平试验，故总试验次数n8，试验结果也列在表8-6中（注：本例的试验方案和试验结果与例6-5是完全一样的）。（4）回归方程的建立依题意

12、，m0=0，nmc=8。根据回归系数的计算公式，将有关计算列在表8-7中。表8-6例8-1三元一次回归正交设计试验方案及试验结果试验号z1z2z1z2z3z1z3x1/x2/x3/mAyi1111117002400100.5522111-1-1700240080.55431-1-1117001800100.48041-1-1-1-1700180080.4725-115166-11-1-11300240080.5327-14488-1-11-11300180080.484表8-7例8-1三元一次回归正交设计计算表试验号z1z2z1

13、z2z3z1z3yy2z1yz2yz3y(z1z2)y(z1z3)y1111110.5520.0.5520.5520.5520.5520.5522111-1-10.5540.0.5540.554-0.5540.554-0.55431-1-1110.4800.0.480-0.4800.480-0.4800.48041-1-1-1-10.4720.0.472-0.472-0.472-0.472-0.4725-11-11-10.5160.-0.5160.5160.516-0.516-0.5166-11-1-110.5320.-0.5320.532-0.532-0.5320.5327-1-111-10

14、.4480.-0.448-0.4480.4480.448-0.4488-1-11-110.4840.-0.484-0.484-0.4840.4840.4844.0382.0.0780.270-0.0460.0380.058由表8-7得：所以回归方程为y由该回归方程中偏回归系数的大小，可以得到各因素和交互作用的主次顺序为：x2x1x1x3x3x1x2，这与6-5中正交试验的分析结果一样的。（5）方差分析方差分析的结果见表8-8。由表8-8，对于显著性水平a=0.05，只有因素z2对试验指标y有非常显著的影响，其他因素和交互作用对试验指标都无显著影响，故可以将z1，z3，z1z3，z1z2的平方和

15、及自由度并入残差项，然后进行方差分析，这时的方差分析为一元方差分析，分析结果见表8-9。表8-8 例8-1方差分析表差异源SSdfMSF显著性z1z2z3z12z130.0.0.0.0.111110.0.0.0.0.12.27146.984.272.926.97* *回归残差e0.0.520.0.*总和0.7表8-9 例8-1第二次方差分析表差异源SSdfMSF显著性回归（z2）残差e0.0.160.0.31.21*总和0.7由表8-9，因素z2对试验指标y有非常显著的影响，因此原回归方程可以简化为：y=0.50475+0.03375z2可见，只有原子化温度x2对吸光度有显著影响，两者之间存在

16、显著的线性关系，而且原子化温度取上水平时试验结果最好。根据编码公式，将上述线性回归进行回代：整理后得到：例8-2 从某种植物中提取黄酮类物质，为了对提取的工艺进行优化，选取了三个相对重要的因素：乙醇浓度（x1）、液固比（x2）、和回流次数（x3）进行了回归正交试验，不考虑交互作用。已知x1=60%80%，x2=812，x3=13次。试通过回归正交试验确定黄酮提取率与三个因素之间的函数关系式。解：（1）因素水平编码及试验方案的确定由于不考虑交互作用，所以本例要求建立一个三元线性方程，因素水平编码如表8-10所示。选正交表L8(27)安排试验，将三个因素分别安排在回归正交表的第1，2，4列，试验方

17、案及试验结果见表8-11，表中的第9，10，11号试验为零水平试验。表8-10 例8-2因素水平编码表编码zj乙醇浓度x1（%）液固比x2回流次数x3-101j607080108101221231表8-11 例8-2试验方案及试验结果试验号z1z2z3x1x2x3y/%12345678910111111-1-1-1-100011-1-111-1-10001-11-11-11-10008080808060606060707070121288121288101010313131312228.07.36.96.46.96.56.05.16.66.56.6（2）回归方程的建立将有关计算过程列在表8-1

18、2中。表8-12 例8-2试验结果及计算表试验号z1z2z3y/%y2z1yZ2yZ3y12345678910111111-1-1-1-100011-1-111-1-10001-11-11-11-10008.07.36.96.46.96.56.05.16.66.56.664.0053.2947.6140.9647.6142.2536.0026.0143.5642.2543.568.07.36.96.4-6.9-6.5-6.0-5.10008.07.3-6.9-6.46.96.5-6.0-5.10008.0-7.36.9-6.46.9-6.56.0-5.100072.8487.14.14.32.

19、5由计算表8-12得：所以回归方程为由该回归方程偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素的主次顺序为：x2x1x3，即液固比乙醇浓度回流次数。又由于各偏回归系数都为正，所以这些影响因素取上水平时，试验指标最好。（3）回归方程显著性检验有关平方和的计算如下：方差分析结果见表8-13。表8-13 例8-2 方差分析表差异源SSdfMSF显著性z1z2z32.1012.3110.7811112.1012.3110.781142.9157.253.1*回归残差e5.1930.103371.7310.0147117.8*总和5.29610可见，三个因素对试验指标都有非常显著的影响，所建立的回归方程也非常显

20、著。（4）失拟性检验本例中，零水平试验次数m0=3，可以进行失拟行检验，有关计算如下： 这时，有 检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。（5）回归方程的回代根据编码公式：，带入上述回归方程得：整理后得：第二节 二次回归正交组合设计在实际生产和科学试验中，试验指标与试验因素之间的关系往往不宜用一次回归方程来描述，所以当所建立的一元回归方程经检验不显著时，就需用二次或更高次方程来拟合。一 二次回归正交组合设计表1 组合设计试验方案的确定假设有m个试验因素（自变量）xj(j=1，2，m)，试验指标为因变量y，则二次回归方程的一般形式为：其中a、bj、bkj、bjj为回归系数，可以看

21、出该方程共有1+m+m(m-1)/2+m=(m+1)(m+2)/2项，要使回归系数的估算成为可能，必要条件为试验次数；同时，为了计算出二次回归方程的系数，每个因素至少要取3个水平，所以用一元回归正交设计的方法来安排试验，往往不能满足这一条件。例如，当因素数m=3时，二次回归方程的项数为10，要求试验次数n10，如果用正交表L9(34)安排试验，则试验次数不符合要求，如果进行全面试验，则试验次数未33=27次，试验次数又偏多。为解决这一矛盾，可以在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案，即所谓的组合设计。例如，设有两个因素x1和x2，试验指标为y，则它们之

22、间的二次回归方程为：该方程共有3个回归系数，所以要求试验次数n6，而二水平全面试验数为22=4次，显然不能满足要求，于是在次基础上再增加5次试验，试验方案如表8-14和图8-1所示。可见，正交组合设计由三类试验点组成，即二水平试验点、星号试验点和零水平试验点。二水平试验是一次回归正交试验设计中的试验点，设二水平试验的次数为mc，若为全面试验（全实施），则mc=2m；1/2实施时，mc=2(m-1)；1/4实施时mc=2(m-2)。表8-14 二元二次回归正交组合设计试验方案试验号z1z2y说明123411-1-11-11-1y1y2y3y4二水平试验5678-0000-y5y6y7y8星号试验

23、900y9零水平试验由图8-1可以看出，58号试验点都在坐标轴上，用星号表示，所以被称作星号试验，它们与原点（中心点）的距离都为，称为星号臂或轴臂。星号试验次数m与试验因素数m有关，即m=2m。例如，对于二元二次回归正交组合设计，m=22=4。零水平试验点位于图8-1的中心点（原点），即各因素水平编码都为零时的试验，该试验可只做一次，也可重复多次，零水平试验次数记为m0。所以，二次回归正交组合设计的总试验次数为：n=mc+2m+m0类似的，如果有三个因素x1，x2和x3，则它们的三元二次回归方程为：三元二次回归正交组合设计的实验方案见表8-15和图8-2。表8-15 三元二次回归正交组合设计试

24、验方案试验号z1z2z3y说明123456781111-1-1-1-111-1-111-1-11-11-11-11-1y1y2y3y4y5y6y7y8二水平全面试验mc=23=891011121314-000000-000000-y9y10y11y12y13y14星号试验2m=615000y15零水平试验m0=1如果将交互项列入组合设计表中，则可得到表8-16和表8-17。其中交互列和二次项列中的编码可直接由对应一次项的编码写出。例如，交互列z1z2的编码是对应z1和z2的乘积，而z12的编码是z1列编码的平方。表8-16 二元二次回归正交组合设计试验号z1z2z1z2z12z22123411

25、-1-11-11-11-1-11111111115678-0000-000022000022900000表8-17 三元二次回归正交组合设计试验号z1z2z3z1z2z1z3z2z3z12Z22Z32123456781111-1-1-1-111-1-111-1-11-11-11-11-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-1-111-1-1111111111111111111111111191011121314-000000-000000-000000000000000000220000002200000022150000000002星号臂长度与二次项的中心化由表8-17和表8

26、-18可以看出，增加了星号试验和零水平试验之后，二次项失去了正交性，就应该确定合适的星号臂长度，并对二次项进行中心化处理。2.1 星号臂长度的确定根据正交性的要求，可以推导出星号臂长度必须满足如下关系式：可见，星号臂长度与因素m、零水平试验次数m0 及二水平试验mc次数有关。为了设计的方便，将由上述公式计算出来的一些常用的值列于表8-18。表8-18 二次回归正交组合设计值表m0因素数m234（1/2实施）45（1/2实施）5123456789101.0001.0781.1471.2101.2671.3201.3691.4141.4571.4981.2151.2871.3531.4141.47

27、11.5251.5751.6231.6681.7111.3531.4141.4711.5251.5751.6231.6681.7111.7521.7921.4141.4831.5471.6071.6641.7191.7711.8201.8681.9141.5471.6071.6641.7191.7711.8201.8681.9141.9582.0001.5961.6621.7241.7841.8411.8961.9492.0002.0492.097根据表8-18可知，对于二元二次回归正交组合设计，当零水平试验次数m0=1时，=1。2.2 二次项的中心化设二次回归方程中的二次项为zj2 (j=1

28、，2，m)，其对应的编码用zji2 (j=1，2，n)表示，可以用下式对二次项的每个编码进行中心化处理：式中zji是中心化之后的编码。这样组合设计表中的zj2列就变为zj列。表8-19是二次项中心化之后的二元二次回归正交组合设计编码表。表8-19 二元二次回归正交组合设计编码表（m0=1）试验号z1z2z1z2z12z22z1z212345678911-1-11-10001-11-1001-101-1-11000001111110001111001101/31/31/31/31/31/3-2/3-2/3-2/31/31/31/31/3-2/3-2/31/31/3-2/3显然，中心化之后的二次项

29、满足，也就是具有正交性。对于三元二次回归正交组合设计，也可用同样的方法得到具有正交性的组合设计编码表，见表8-20。表8-20 三元二次回归正交组合设计编码表（m0=1）试验号z1z2z3z1z2z1z3z2z3123456781111-1-1-1-111-1-111-1-11-11-11-11-111-1-1-1-1111-11-11-11-11-1-111-1-110.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.2700.27

30、00.270910111213141.215-1.2150000001.215-1.2150000001.215-1.2150000000000000000000.7470.747-0.730-0.730-0.730-0.730-0.730-0.7300.7470.747-0.730-0.730-0.730-0.730-0.730-0.7300.7470.74715000000-0.730-0.730-0.730二 二次回归正交组合设计的基本步骤二次回归正交组合设计的基本步骤如下：1因素水平编码确定因素xj(j=1，2，m)的变化范围和零水平试验的次数m0，再根据星号臂长的计算公式（8-33）

31、或表8-18确定的值，对因素水平进行编码，得到规范变量zj(j=1，2，m)。如果以xj2和xj1分别表示因素xj的上下水平，则它们的算术平均值就是因素xj的零水平，以xj0表示。假设：xj和x-j分别为因素xj的上下星号臂水平，则xj和x-j是xj的上下限，于是有所以，该因素的变化间距为然后对因素xj进行线性变换，得到各水平编码为这样，编码公式将因素的实际取值xj与编码值zj一一对应起来了，如表8-21所示。编码后，因素的水平分别为-、-1、0、1、。表8-21 因素水平的编码表规范变量zj自然变量xjx1x2xm上星号臂x1x2xm上水平1x12= x10+1x22= x20+2xm2=

32、xm0+m零水平0x10x20xm0下水平-1x11= x10-1x21= x20-2xm1= xm0-m下星号臂-x-1x-2x-m变化区间j12m2 确定合适的二次回归正交组合设计首先根据因素数m选择合适的正交表进行变换，明确二水平试验方案、二水平试验次数mc和星号实验次数m也能随之确定，可参考表8-22。表8-22 二次回归正交组合设计正交表的选用因素数m正交表表头设计mcm234（1/2实施）45（1/2实施）5L4(23)L8(27)L8(27)L16(215)L16(215)L32(231)1，2列1，2，4列1，2，4，7列1，2，4，8列1，2，4，8，15列1，2，4，8，1

33、6列22=423=824-1=824=1625-1=1625=32468810103 试验方案的实施根据二次回归正交组合设计表确定的试验方案，进行n次试验，得到n个试验结果。4 回归方程的建立计算回归系数，建立含规范变量的回归方程。回归系数的计算公式如下。5 回归方程的显著性检验5.1 平方和及其自由度（1）总平方和及总自由度（2）偏回归平方和及其自由度一次项偏回归平方和交互项偏回归平方和二次项偏回归平方和各项偏回归平方和的自由度均为1。则，回归平方和及其自由度分别为（5）残差平方和5.2 回归方程的F检验6 失拟性检验失拟性检验方法与一次回归正交设计相同。7 回归方程的回代根据编码公式或二次

34、项的中心化公式，将zj、与y之间的回归关系式转换成自然变量xj与y之间的回归关系式。8 最优试验方案的确定根据极值必要条件，或利用EXCEL进行规划求解，可以得到最优的试验条件。三 二次回归正交组合设计的应用例题3：为了提高某种淀粉类高吸水性树脂的吸水倍率，在其他合成条件一定的情况下，重点考察丙烯酸中和度和交联剂用量对试验指标的影响。已知丙烯酸中和度x1的变化范围为0.70.9，交联剂用量x2的变化范围为13ml，试用二次正交组合设计分析其与指标y之间的关系。解：（1）因素水平编码由于因素数m=2，如果取零水平试验次数m0=2，根据星号臂的计算公式或表8-18，得到=1.078。根据已知条件，x1=0.9，x-1=0.7，所以零水平x10=0.8，故变化区间1=（0.9-0.8）