多边形数中的发现

1、多边形数中的发现一、问题情境和任务材料：如图1-44，把下图三角形中点的个数分别记作T1，T2，T3，T4，称这些数为三角形数把图1-45正方形中点的个数分别记作Q1，Q2，Q3，Q4，称这些数为正方形数任务1 根据三角形数和正方形数的定义，给出其他多边形数的定义及图示；任务2 根据这些图形，可以获得哪些结论?任务3 就这些图形(包括自己定义的)你能发现、提出哪些相关的问题?并对你的问题加以研究任务4 能否创造一些其他图形的图形数?若拓展为立体空间又会是怎样的?任务5 由前面的研究，可以感觉到图形语言足以激活视觉神经，使我们无师自通，能否借助几何直观性，计算多边形数的和呢?二、设计意图和说明

2、(一)古希腊毕达哥拉斯学派的学者们曾倾心玩赏过一些用离散的点阵所构成的特殊图形后来的一些大数学家，如欧拉、拉格朗日、勒让德、高斯等，都曾对此作过探讨我们知道，数与形向来是数学研究的两个重要的对象，而数与形的结合，是逻辑推理与直观形象的会聚点在启迪思维方面确有其独到之处，是其他东西所替代不了的这恐怕正是大家都对它另眼相看的一个重要原因在我们的数学教学中，给学生提供适当的问题场景，让学生发现、提出自己的问题的机会相对较少，这也是我国学生在发现、提出问题方面能力较弱的一个重要原因，本课题设计的意义及目的就在于引导学生发现、提出自己的问题并进行研究(二)实施建议1对学生的建议 可以组成学习探究小组，集

3、体讨论，互相启发，形成可行的探究方案，完成每个人的“成果报告”“成果报告”的书写建议成果报告可用表的形式呈现，如“多边形数中的发现”探究学习成果报告表2对教师的建议 学生很可能提不出什么有价值的问题，此时，一方面，教师要及时肯定、鼓励学生的发现，另一方面，要适当引导学生更进一步去发现一些相关问题根据学生情况，可指出研究的方向，如：就一个数列本身而言，经常研究的是哪些方面?就相关的多个数列又关心哪些方面?或较具体的问题，如：能否确定各种多边形数的通项?各种多边形数有何性质?各种多边形数间是否有确定的关系?多边形数的和是怎样的? 本课题内容涉及知识非常广泛，如：数列、级数、数列的差分、自然数的分解

4、、素数的分解、杨辉三角等教师可根据学生情况，作适当引申扩展，也可让学生阅读相关方面材料三、教学参考信息(一)主要可能结果1由四边形数的图示(如图1-46)，还可以从几何直观得到下列结论：2. 五边形数(如图1-47)3. 六边形数(如图1-48)4由图1-46至图1-49还可以发现下列关系：f5(n)=f3(n-1)+f4(n)，f6(n)=f3(n-1)+f3(n-1)+f5(n),fk(n)=f3(n-1)+fk-1 (n).5.相邻多边形数的差为等差数列（一阶差分数列）6星形数(图150)Sn=f4(n)+4f3(n-1)=n(3n-2)7四面体数V4(n)(如图1-51)：1，4，10

5、，20，35，四棱锥数V4(n)(如图1-52)：1，5，14，30，55，类似的还有五棱锥数，六棱锥数，它们之间有关系：V4(n)=V3(n-1)+V3(n)，一般地Vk(n)=V3(n-1)+Vk-l(n)8由图1-53可得三角形数的和(即三棱锥数)图1-53说明：V3(n)+2V3(n-1)=nf3(n)9同样也可以用几何直观来求正方体数：1，23，33，44，的和，不过，这时需把图示作些改变，因为我们无法直观地看到四维空间中的图形从正方形数图示考虑：把点改成数字，如图1-54所示可得1+23+33+43=(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+4(1+2+3+4)=(1+2+3+4)2一般地，有10既然可以把点变成数来考虑，不妨试试平方数的和能否从图形来求从不同角度看数阵(图1-55)，可得1+22+32+42=14+33+52+71一般地，有12+22+32+n2=1n+3(n-1)+5(n-2)+(2k-1)(n-k+1)+(2n-1)1但这并不太直观!可否用三角形数的示意图呢?如图1-56所示，注意到每一斜行都是等差数列，把该图顺时针旋转120可得到另一个三角，再顺时针旋转120，又得到一个三角(图1-57)把这三个三角重叠，重叠的每个数相加都等于11一般地，得2n+1，所以(二)评价方式学生自评、互评和教师评价相结合应善于发现别人工作中的