采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题

1、采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解， 但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程 度。对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统 要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程， 且求解一些典型问题。5、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式； 2、双调和方程的极坐 标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形 体和圆孔等典型问题1平面问题极坐标解的基本方程学习思路：选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及

2、 边界条件通过极坐标形式描述和表达。本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式； 并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下 的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标 表达；6极坐标系的Lap lace算符；7、应力函数。1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量， 从考察的平面物体中分割出微分单元体

3、ABCD，其由两个相距d，的圆柱面和互成d的两个径向面构成，如图所示*在极坐标系中，用;二表示径向正应力,用表示环向正应力, 1，和彎J分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，“：!：=疗:,首先推导平衡微分方程的极坐标形式。考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设 AB面上的应力分量为二:和二 则CD面上的应力分量为片+鲁卯+窮dp如果AD面上的应力分量为和.二:，则BC面上的应力分量为同时，体力分量在极坐标径向和环向-：方向的分量分别为Fb和Fb - :o2、极坐标平衡微分方程设单元体的厚度为1,如图所示考察其平衡首先讨论径向的平衡，注意到 儿一 Zr I ,可以得到da(b#

4、+ dp)(p + dp)d -dpde)dp -d/2 + Fbfpdpd = 0简化上式，并且略去三阶微量，则些+丄耳宀方 =0dp p dtppQ同理，考虑微分单元体切向平衡，可得dcrdr（牛务 dp +（坯 +-1伊）9 + 1夕） $朋闵卩 +（% +罷妙“字+ “P 叽阴呦=0简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即3、极坐标下的应变分量以下推导极坐标系统的几何方程。在极坐标系中，位移分量为 u：, u ,分别为径向位移和环向位移。极坐标对应的应变分量为：径向线应变 二，即径向微分线段的正应变；环向 线应变鳥为环向微分线段的正应变；切应变 壮为径向和环向微分线段之间的直 角

5、改变量。首先讨论线应变与位移分量的关系，分别考虑径向位移环向位移u :, u所引起的应变。如果只有径向位移u:，如图所示借助于与直角坐标同样的推导，可以得到径向微分线段AD的线应变如果只有环向位移u时，径向微分线段线没有变形，如图所示环向微分线段的相对伸长为06将上述结果相加，可以得到正应变分量% 莎4、几何方程的极坐标表达下面考察切应变与位移之间的关系。 设微分单元体1 du.；因此切应变为;而:角应等于上式中 表示环向微分线段AB向方向转过的角度，即 H f i. 表示径向微分线段AD向方向转过的角度，因此， u Bp A点的环向位移除以该点的径向坐标 6即&- P将上述结果回代，则一点的

6、切应变为10综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为5、本构方程的极坐标表达由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本构方程与直角坐标的表达形式是相同的，只要将其中的坐标x和y换成和就可以了。对于平面应力问题，有二仇叫)_ 2(1 +叭$卩曹GE i w对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数E，、分别换为1-v2Eie ，： 1 .就可以。6、极坐标系的Laplace算符平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中 为/ 2 I：i。由于二x+；y=二耳二为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的Laplace算符”转换为极坐标的形式。dx2 dy2因为，x=c

7、os , y=sin，即-二和分别对x和y求偏导数，可得些二y 二z二迹 力 3+护p根据上述关系式，可得以下运算符号3 dp d d31 .9-+ com 炉_ sin p 8x ftc dp Bx dp bp p 两2二妲2+空2dy dy dp 8y 3p.aia=sin 7+ cosp dp p刚z 3i.3 w a i . e、a?(cosp-sm(p -) (cos - sin $) dp pd 卩3p p3 爭_】 d2 _2sincos 52 + sin2 p 9 + 2sin pcosp 9 + sin2 32CS g p 3虚申 p dp p1 询 pA 3 沪313 v-

8、91仁VT =+ -cos)(sin+cosp)oydppdtp dppsincosp 3.S2 cos2(p-sm3 0 32=sin COs -+p3 拠cosJ sin2 (p 8 sincos 沪 p2 B p2 场Laplace 算符。1 61 S2+a2将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的护二兰十兰二邑十&2 餌 dp2 p dp p2 歸另外，注意到应力不变量:- a，因此在极坐标系下，平面问题的由应力表达的变形协调方程变换为卩仏+讣（务諾+7、应力函数如果弹性体体力为零，则可以采用应力函数解法求解。不难证明下列应力表达式是满足平衡微分方程的二丄独L +丄上邑 p dp p1

9、如这里仃（，）是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。将 上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得显然这是极坐标形式的双调和方程。总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都归结 为在给定的边界条件下求解双调和方程。1珈在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式+ 1 白伦二 _ 91pp2 3 dp p &护求解应力，然后通过物理方程匂二*（吋“）2(1+ v)和几何方程求解应变分量和位移分量 7.2轴对称问题的应力和相应的位移 学习思路：如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时， 称为轴对称结构。轴对称结构的应力分量与 无关，称为轴对称

10、应力。如果位移 也与无关，称为轴对称位移问题。本节首先根据应力分量与:无关的条件，推导轴对称应力表达式。这个公式 有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。因此讨论轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后代入 胡克定理第三式，确定待定函数。轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解 答。应该注意的问题是如何确定轴对称问题。学习要点：1轴对称应力分量；2、轴对称位移；3、轴对称位移函数推导；4、轴对称位移和应力表达式1、轴对称应力分量考察弹性体的应力与无关的特殊情况，如图所示。即应力函数仅为坐标 T的函数。这样，变形协调方程1

11、 gii（二丄（勢卫=0Ap p dp Ap p17=这是欧拉方程, 微分方程，有对于这类方程，只要引入变换?=ef，则方程可以变换为常系数的密一為+瞬=。胪即双调和方程成为常微分方程如将上式展开并在等号两边乘以汛，可得其通解为卩(t) - At即 + CJ + Q注意到t = In，则方程的通解为5 (p)二并 In p + Bp2 lnp + Cp + D将上式代入应力表达式1 9 _ 护例耳_p &成0 p2 3爭 dp3则轴对称应力分量为A= -_ + Bp+2hp) + 2CP &P Pu & = = 4 + B(1 +2Inp) + 2C31上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称

12、分布的，因此称为轴对称应 力。2、轴对称位移现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程厂朋 _2(l + y)k芦=r可得应变分量1 21E. - 一-(1 + 卩)一 + (3 - y)B + 2(1- y)BIn p+ 2(1 -r)C根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。将上式代入几何方程可得位移关系式1A_(1 + v) + Q-3p)B+ 20.-p)Blnp + 2(L-v)CEP1 Sue 1A_； = -0. + v)- + (3 -v)B + 2(1 -1/)3kip +2(1- v)C p p dip Ep1 du du_+-丄二 0

13、pdp p对上述公式的第一式3% 1 rA、.=(1 + v) + (1 -3v)B+ 2(1 -v) 51n p + 2(1 - V)C 3p Ep积分，可得1A就厂曰-a 3) + 2(L L v)BpQn p -1) + (1 - 3“)阳 + 2(1- v)Cp + fe ILA+p1其中f （为的任意函数。将上式代入公式的第二式(3 -v)S + 2(l-p)Bln/? + 2(l- v)C积分后可得% 二警j y(p)d + (p)这里g（。为的任意函数。3、轴对称位移函数推导将径向位移1A5 = C1 + ) + 2(Lv)Bp(n p -1) + (1 - 31/)% + 2(

14、1- v)Cp + f(p) 也D和环向位移y（e）d毋+&（p）的结果代入公式的第三式丄 W2 + （）_（）+ 丄 |了（刖厂0 p dp dp p或者写作血字L学屮9）如dpJ上式等号左边为的函数，而右边为的函数。显然若使上式对所有的和都成立，只有号宦+打如）曲=F其中F为任意常数。以上方程第一式的通解为g(p)= F这里H为任意常数。为了求出f（），将方程的第二式对:求一次导数，可得W) +/() = 0其通解为 11 itl .：i - l.0另外I f (罗)A7 +Jsin + JTcos?中的A, B, C, H , I, K都是待定常数，其取决于边界条件和约束条件。上述公 式

15、表明应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但是在轴对称应力中，假如物体的几何形状和外力，包括几何约束都是轴对 称的，贝U位移也应该是轴对称的。这时，物体内各点的环向位移均应为零，即不 论和取什么值，都应有u = 0。因此,B = H = I = K = 0。所以，轴对称应力表达式可以简化为而位移表达式简化为上述公式当然也可以用于平面应变问题，只要将E，分别换为E1-v即可7.3圆筒受均匀分布压力的作用学习思路:本节介绍典型的轴对称问题，厚壁圆筒作用均匀压力的求解。问题的主要工作是通过边界条件确定轴对称应力公式中的待定系数。除了厚壁圆筒作用内外压力，还分析了作用内压力的圆筒应力分布。这个解答工程上

16、称为拉梅（Lame）解答，是厚壁圆筒等工程问题的经典解答。 学习要点：1、厚壁圆筒内外作用均匀压力；2、厚壁圆筒受内压力1、厚壁圆筒内外作用均匀压力设有圆筒或圆环，如图所示内半径为a,外半径为b,受内压力qi及外压力q2的作用。显然，问题的应力是轴对称的，如果不计刚体位移，贝U其位移也是轴对称的。将 轴对称应力公式代入本问题的边界条件求解可得別兀=_?2+ 20 = -q2联立求解上述公式，可得(如-51)(32&2b2-a2qa2 -2(b2-a2)将上述所得的A，C回代轴对称应力公式叮+2C叮乡+ 2C可得Lame解答2、厚壁圆筒受内压力当外壁压力q2为零时，即圆筒仅受内壁压力的作用，则圆

17、筒应力为根据上述分析，容易看到径向应力小于零，为压应力；而环向应力大于零, 为拉应力。最大应力为发生在内壁的拉应力，其值为7.4曲梁纯弯曲 学习思路：本节介绍曲梁纯弯曲问题。对于曲梁，其几何形状并不具有轴对称性质，但 是对于纯弯曲问题，其任意横截面的内力具有轴对称性质。 因此这是一个典型的 轴对称应力问题。由于问题属于轴对称应力，但是却不是轴对称位移，因此应该注意选取的应 力和位移表达式。问题性质确定后，主要工作仍然是通过边界条件确定轴对称应力表达式的待 定系数。除了曲梁纯弯曲应力分布分析，本节还讨论了曲梁的变形和位移。根据分析, 曲梁纯弯曲的横截面是保持平面的，但是弯曲应力 -沿横截面高度按

18、双曲线分 布，这与直梁的弯曲应力是不同的。因此，平面假设用于曲梁是不准确的。学习要点：1、曲梁纯弯曲边界条件；2、曲梁弯曲应力；3、曲梁纯弯曲位移与平面假设1、曲梁纯弯曲边界条件设有矩形截面的曲梁，如图所示M其内半径为a,外半径为b,两端受弯矩作用，设单位宽度的弯矩为取曲率中心为坐标原点0,从梁的一端量取：o由于梁的所有径向截面上的弯矩均相同，因此可以认为各个截面的应力分布是相同的，也就是说应力分布是轴对称的。其应力分量满足轴对称应力公式a- = jL + B(1 +21np) + 2CP dp pA=-+ B(3+21np) + 2C根据边界条件可以确定待定常数 A, B, Co本问题的边界

19、条件为将轴对称应力分量代入上述边界条件，可以得到+ 2 Slii d + B + 2C = 0 a2+ 251ni + B + 2C = 0b( + 2Bln dz + B + 2C)- a( + 2Blnb + B+2C) = 0 bj41n + B(b2 In6 一 a In ) + C(b2 - cz1) - Ma2、曲梁弯曲应力上述公式+ 2Bliid + S + 2C* = 0 a2+ 2Plni + B + 2C = 0A( + 2B111 tz + B + 2C)- a(齐 + 2Blnb + B+2C) = 0/In + B(b2 In 6 - de2 In a) + C(62

20、 - cz2) - MCl的第三式是第-得到，第二式线性组合的必然结果。将其余三个方程联立求解。可以A= 2ln-NaE (b )NC=-b2-a22(b2lnb-a2lna)N其中N=2/乎+ 4护沪a将上述系数代入应力分量表达式，不难看出1 d偽(T =:P ApA=_ + B(l+21n/7)+ 2CPA= -_ + Bp+2hp) + 2CP则AM，a2b2, b , ba vJ n =-(In +6ln+/ln)N p2app4Af ( 0绐1 b , 2121 l2 2j = (- In _ + b In + In + Q _仪)N p app上述应力分量表达式称为克洛文解 应力分

21、布如图所示弯曲虑力挤圧虑力在内边界，即=a,弯曲应力二最大。中性轴，即二=0处，在靠近内边 界一侧。挤压应力；二的最大值较中性轴更靠近内边界一侧。3、曲梁纯弯曲位移与平面假设对于曲梁的弯曲位移，可将系数A, B, C代入轴对称应力的位移表达式u 二-(1 + y)+ 2(1 -/?1) + (1-3/)3/? +2(1-7)Q? +Tsin EP二 4? + Hp- hin 甲 + Kcos钗而其余待定常数H，K，I将由梁的约束条件来确定 假设1Qu和 c ，.厂1即认为P点的位移为零，而且该点的径向微分线段沿 方向的转角也为零, 如图所示将轴对称位移据表达式代入上述位移边界条件，则H 二 I

22、二01aK 二壬Q3) - 2(lp)0Qln必 +5(1 + y)pv2C(l-v) EA将上述待定系数回代轴对称应力的位移表达式1ju = -(L + 甘)_ + 2Q - v) S/7(ln /? -1) + (1 - 3) B/7 + 2(1 - v)Cp + Tsiii + iT cos p Ep-AE叮+砌-Kin谭+疋迹则可得曲梁的位移。以下讨论平面截面的假设，为此考虑曲梁的环向位移曲梁横截面上的任一径向微分线段的转角:为对于曲梁的任一横截面，:为常数，因此横截面上的所有微分线段的转角 : 均相等。这也就是说，曲梁的横截面保持平面。这与材料力学关于梁的弯曲变形 平面假设是一致的。

23、但是，弯曲应力；h按双曲线分布显然与直梁的弯曲应力是不同的， 而且假设 径向应力二=0和疗=0，就是认为纵向纤维仅受简单的环向拉压的假设对于曲梁是不成立的。但是，由于平面假定的正确，所以对于曲率不大的曲梁，这个 误差并不是特别显著。因此，材料力学弯曲应力匚的计算公式在工程中广泛应用。7.5曲梁受径向集中力学习思路：本节讨论曲梁作用径向集中力问题。曲梁在集中力作用下，已经不是轴对称 应力问题。对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。对于曲梁作 用径向集中力，借助于边界弯矩与应力函数的关系，找到应力函数的基本形式， 然后根据变形协调方程得到应力函数。 对于应力函数中的待定系数，则根

24、据边界 条件确定。学习要点：1、曲梁径向集中力问题的应力函数；2、边界条件；3、曲梁应力1、曲梁径向集中力问题的应力函数设有矩形截面的曲梁，如图所示F作用，设其为单其内半径为a,外半径为b, 端固定而另一端受径向力 位宽度。取曲率中心为坐标原点 0,从梁的一端量取 o根据曲梁受力分析，任一横截面的内力，弯矩与si成正比。因此根据应力函数的性质，假设问题的应力函数也与si成正比，即将上式代入变形协调方程可以得到f( -)所需要满足的方程这个方程可以转换为常系数的常微分方程，其通解为f(p) - Ap + B + Cp Dpln p将其代入应力函数表达式丿(，小山，则3 1 .卩二(Ap + B

25、+ Cp + D/?ln/?)sin pP2、边界条件根据极坐标应力分量表达式b二丄鱼*丄吃* p Bp p1 却_ 11 8 _ _ 3 (1pp2 3爭 dp p 加现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数A, B和D。本问题的面力边界 条件为(7 ,=0,書呻丹1 =0,靂嗣尸6 bp|(p=O=0,将曲梁应力分量代入面力边界条件，可得=0 a2Ab - + = 0b3 b-A(b2 - 72) + B(3、曲梁应力求解上述方程，可以得到A = - 2N”加皆B =2ND=02 + h2)N其中N = a2 -b2 + (a2 +dJ)ta a将上述计算所得的待定常数代入应力分量表达式_

26、 1 9pf x 1 93pf _2丑丄-CF +2 -(2Hq+ )sin(Pp up pp p琢 一 2B D.,% =(6Ap + + )sm%p pcos甲 P兽L)(2血一马两P则曲梁的应力分量为士 +啤炉PF f 川十方戈 怙二云9 厂7.6带圆孔平板的均匀拉伸学习思路：平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对 应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力， 也远大于距孔口稍 远处的应力。这种现象称为应力集中。孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部 分是沿外圆周作

27、用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向 力。对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为 3。学习要点：1带圆孔平板拉伸问题；2、厚壁圆筒应力函数；3、应力与边界条件；4、孔口应力。1、带圆孔平板拉伸问题设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。圆孔的 存在，必然对应力分布产生影响，如图所示。孔口附近的应力将远大于无孔时的 应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离 增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。根据上述分析，

28、假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的 分布应该是相同的。因此2 q cos =-(l+cos2?)qT悶疔厂一壬m2。上述公式表明在与小圆孔同心的， 半径为b的圆周上，应力可以分为两部分：一 部分是沿外圆周作用的不变的正应力， 其数值为；另一部分是随变化的法 向力cos2和切向力sin2。对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为。由此产生的应力 可用轴对称应力计算公式计算。则这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为 的外圆周处。使得问题成为一个典型的轴对称应力。a,外径为b的厚壁圆筒2、厚壁圆筒应力函数对于厚壁圆筒的外径作用随sin2 ，如图所示2变化的法向外力co

29、s2和切向外力根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是 2的函数。由应力函数与应 力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即将上述应力函数表达式代入变形协调方程可得f （。所要满足的方程上述方程是欧拉(Euler)方程，通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为炖)二亦 TR + d+DP因此，将其代入公式Ly-ICI-：,.，可得应力函数为. 4 1例（p,）二（Ap + Bp + C + P）cos23、应力与边界条件因此，应力分量为1 dpf x 1心 6C4D、。=-+ - = -（2J1 +）cos2p dp p o（pp p尺二日何二（2?4 +12B/

30、?J 十 9）cm2缈P弹）=（2A-6Bp2-与-当）血2钗时P P应力分量表达式中的待定常数 A，B，C，D可用边界条件确定，本问题的面力 边界条件为将应力分量代入上述边界条件，则财+竺丝一一戻 b2 2如与尊=0(2* 圧2Z+ 6前-卑-器二-2扩 b2 22比+ 6加_竺_冬二.7联立求解上述方程，并且注意到对于本问题， a/b-0可得血呼一討，就4、孔口应力将计算所得到系数代入应力分量公式）cos2P丄临*4法一（2屮呼. p dp p2 如pA-2丐二二 S + 12励+ 与）cos2sP単）二（2A6Bp2 -与-当）sin 2时P Pg3卅 4把6 二：（1+）22pQq4b

31、厂一迪+ 3-）2卩2 Pg3口4 la2 .tn/n = - -CL+ ） sin202 Vp4p2）少叹q/将随变化的法向力- cos2和切向力 sin2的计算所得结果与沿外圆y周作用的不变的正应力.结果相叠加，则q 代 / q 厲 3/4j空務-訶垮Q+歹-戸皿2% = （1 + 务）一号（1+ 斗）SS2 炉P+ 才）sin Z（p P上述应力分量表达式表明，如果 力状态相同。对于孔口应力，即二a时，有相当大时，上述应力分量与均匀拉伸的应r _ 7ri 北 * 怙一尹-戸严立=七十 =0，=q-2q co呂2卩最大环向应力发生在小圆孔的边界上的=12和=32处，其值为这表明，当板很大而

32、孔很小时，贝U圆孔的孔口将有应力集中现象。通常把最 大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度。即K称为应力集中因子。对于平板受均匀拉伸问题，K=3。7.7楔形体顶端受集中力或集中力偶学习思路：本节将推导有关楔形体的几个有实用价值的解答。对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。由于楔形体 几何形状的特殊性，本身没有任何描述长度的几何参数， 借助于几何特性，可以 找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。楔形体弹性力学解答可以推广为半无限平面应力的解答，这对于工程问题的求解具有指导意义。学习要点:1楔形体作用集中力问题的应力函数；2、楔形体边界条件；3、楔形体

33、应力；4、半无限平面作用集中力；5、楔形体受集中力偶作用；6、楔形 体受集中力偶作用的应力。1、楔形体作用集中力问题的应力函数设有一楔形体，其中心角为：，下端可以认为是伸向无穷远处。首先讨论楔形体在其顶端受集中力作用，集中力与楔形体的中心线成1角设楔形体为单位厚度，单位厚度所受的力为F，极坐标系选取如图所示通过量纲分析可以确定本问题应力函数的形式。由于楔形体内任一点的应力分量将与F成正比，并与:-，和，有关。由于F的量纲为MT-2, ：的量纲 为L-1,而，1和是无量纲的，因此各个应力分量的表达式只能取的负一次幕。而根据应力函数表达式1 3斜.1鉀仰其的幕次应比各应力分量的幕次高两次。因此可以

34、假设应力函数为:的某个函数乘以的一次幕。有将上述应力函数表达式代入变形协调方程可得f （）所要满足的方程。即甦+ 2与狩伽）二0求解上式，可得/(p) = Zcos+ Bsin + 炉(C cosj+ Dsm 炉)其中A, B, C和D为待定常数，将上式代入应力函数表达式可得爭f (/A屛)=/pcos + By?sin 呼 + p(Ccos+ Dsin 诃)由于过且过n丨.八:J . .-. 为线性项，不影响应力分量的计算，因此 可以删去。因此应力函数为卩f (卩，诃)=/?(Ccos+ Dsiii 卩)2、楔形体边界条件由应力分量表达式，可得楔形体的应力分量11沪2 _小.、b二一-卩)p

35、 uppp=0现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数。 为楔形体左右两边的面力边界条件已经自然满足。此外还有一个应力边界条件：在楔形体顶端附近的一小部分边界上有一组面力，它的分布没有给出，但已知它在单位宽度上的合力为F。如果取任意一个截面，例如圆柱面 ab，如图所示则该截面的应力分量必然和上述面力合成为平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。于是得出由应力边界条件转换而来的平衡条件Jcos 0x1 屛 + F cos3 = 02IJb# sin(ppA(p + F sin 0 二 03、楔形体应力将应力分量表达式代入上式，则2j(D -Csiii ?cos)dp + Fcos/? = 0

36、aI2 J (Deos3 p-Csin cos + F sin 0=0a_T积分可得D(sin zz + ) + J7 cos 0 = 0C*(sin z-a) + Fsin/?=0fsin 0a - sin aF qos 0 sin a +将常数C和D代入应力分量表达式2 .=(Dcosp- Csin 护)=0则本问题的解答为p sin er + a er - sin a_ _2F( cos p cospsin sin 缎)“上述楔形体应力在匸等于0时，将趋于无限大。即在载荷作用点的应力无限 大，解答是不适用的。但是如果外力不是作用于一点，而是按照上述应力分布作 用于一个小圆弧区域，上述解答则为精确解。根据圣维南原理，除了力的作用点附近，解答是有足够精度的。4、半无限平面作用集中力在上述楔形体问题中，如果令=二，1 = 0，则转化为弹性半无限平面作用集 中力问题。将=：， = 0代入楔形体应力表达式2F zcos 5cosp sinb 二一（一产+ J）p sin cr + or or - sin a5=则弹性半无限平面作用集中力作用的应力表达式为IFb弹性半无限平面作用集中力作用的应力场1 O具有以