矩阵中的基础解系解法

1、有解判定定理,4 线性方程组的解的结构,有无穷多解,一、齐次线性方程组解的结构,系数矩阵,未知矩阵,满足齐次线性方程组,方程组的解向量,称 是齐次线性方程组的一个解,成立,1、解的性质,性质1 齐次线性方程组的两个解的和,仍是方程组的解,即,证,性质2,k为实常数,证,齐次线性方程组的解的线性组合仍是方程组的解,2、基础解系,回顾方程组（2）的求解过程及解的表示,不妨设A的前r个列向量线性无关,2）的同解方程组,2）的通解,否则，可调换 未知量先后顺序,2）的通解,2）的任意一个解可由,无穷多个向量的组,R（A）=n时， 组（2）没有基础解系,自由未知量的个数,求出方程组(2)的通解, 可求出

2、其一个基础解系,A,行最简形,3、求解方法,要求方程组(2)的全部解, 只需求出其一个基础解系,A,行最简形,3、求解方法,求基础解系,令自由未知量取n-r维 基本单位向量的分量， 得n-r维基本单位向量组,得出相应的非自由未知量 值，构成方程组的解向量,通解为,为任意常数,解,同解方程组为,得基础解系,例1(P.99例12)求方程组的 基础解系和通解,令,先求基础解系再写出通解,得通解为,同解方程组为,得基础解系,通解为,令,先求基础解系再写出通解,先求基础解系，再写出通解,i) 写出系数矩阵并将其化为行最简形 I ； (ii) 由 I 确定出 nr 个自由未知量，并写出同解方程组; (ii

3、i) 令这 nr 个自由未知量分别为基本单位向量,可得相应的 （nr 个解）基础解系,iv) 写出通解,当然，基础解系并不惟一,比如本题同解组,得基础解系,通解为,但解集合惟一,基础解系不惟一,只要自由未知量取为n-r维的线性无关向量组,再解,得基础解系,通解为,自由未知量取法也不唯一,只要确定A的秩，确定自由未知量， 自由未知量确定n-r维的无关组， 得基础解系，写出通解。即可行,倒行最简形,例13(P. 100,矩阵的性质（8,分析,只证,例13(P. 100,证,此即,P109.24证明,证,R(AE) = R(EA),故只需证,R(A)+ R(EA) n,又 E = A +(E A,R

4、A +(E A,P100. 例13,R(A) + R(E A),n = R(E),R(A)+ R(EA) n,且 R(A)+ R(EA) n,Ax= 与Bx= 同解,例14(P. 100,此处利用齐次线性方程组解集合的秩的结论证明,证,则S的秩,解集合设为S,该结论说明,同理 Bx=b 与Ax=b 同解 Bx=b 与Ax=b 等价,Bx=与Ax= 同解 Bx=与Ax= 等价 （ A 的行组与 B 的行组等价,证明秩相同的一个方法,Bx=与Ax= 等价必有,Bx=与Ax= 同解,反之，Bx=与Ax= 同解,必有R(A)=R(B,及A的行向量组可由B的行向量组线性表示,必有Bx=与Ax= 等价,Bx=与Ax= 同解,与,同解,A与B1同秩,显然前者行向量组可由后者行向量组线性表示,从而两矩阵的行向量组等价,可由A的行向量组线性表示,即有两者的行向量组同秩,同理B的每一行都可由A的行向量组线性表示,A的每一行也都可由B的行向量组线性表示,A与B的行向量组等价,Bx=与Ax= 等价,本章第一节第二次课最后一屏,同理 Bx=b 与Ax=b 同解 Bx=b 与Ax=b 等价,非齐次组同解，必有导出组同解,系数矩阵同秩,增广矩阵同秩,A的增广矩阵的行组可由B的增广矩阵的行组表示,反之亦然,例15(P. 100 )证明,证,设A为 矩阵,反之,由例14(P.