2021年中考人教版数学一轮复习第2章 方程(组)与不等式(组)

1、第二章方程(组)与不等式(组)第一节一次方程(组)及其应用考 点 易错自纠易错点1移项时忘记变号1.解方程5x-3=2x+2,移项正确的是( A )A.5x-2x=3+2B.5x+2x=3+2C.5x-2x=2-3D.5x+2x=2-3易错点2去分母时漏乘常数项2.2020重庆A卷解一元一次方程12(x+1)=1-13x时,去分母后正确的是( D )A.3(x+1)=1-2xB.2(x+1)=1-3xC.2(x+1)=6-3xD.3(x+1)=6-2x方 法 命题角度1一次方程(组)的解法提分特训1.2020天津方程组2x+y=4,x-y=-1的解是( A )A.x=1,y=2B.x=-3,y

2、=-2C.x=2,y=0D.x=3,y=-12.2020江苏连云港解方程组2x+4y=5,x=1-y.解:2x+4y=5,x=1-y,将代入中,得2(1-y)+4y=5,解得y=32.将y=32代入,得x=-12,所以原方程组的解为x=-12,y=32.命题角度2一次方程(组)的实际应用提分特训3.2020石家庄一模现有两种礼包,甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具,乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具.某商店采购了若干件礼包,这些礼包正好含有37个毛绒玩具和18套文具,则采购甲种礼包的数量为( C )A.2件B.3件C.4件D.5件4.2020山东临沂孙子算经是中国古代重要的数学著作,成

3、书大约在一千五百年前.其中一道题,原文是:“今三人共车,两车空;二人共车,九人步.问人与车各几何.”意思是:现有若干人和车,若每辆车乘坐3人,则空余2辆车;若每辆车乘坐2人,则有9人步行.问人与车各多少.设有x人,y辆车,可列方程组为( B )A.x3=y+2,x2+9=yB.x3=y-2,x-92=yC.x3=y+2,x-92=yD.x3=y-2,x2-9=y5.2019广西百色一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6小时,逆流航行比顺流航行多用4小时.(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度;(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙

4、地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少千米.解:(1)设该轮船在静水中的速度是x千米/时,水流速度是y千米/时,依题意,得6(x+y)=90,(6+4)(x-y)=90,解得x=12,y=3.答:该轮船在静水中的速度是12千米/时,水流速度是3千米/时.(2)设甲、丙两地相距a千米,则乙、丙两地相距(90-a)千米,依题意,得a12+3=90-a12-3,解得a=2254.答:甲、丙两地相距2254千米.真 题 考法速览考法1等式的性质(10年1考)考法2解一次方程(组)(10年3考)考法3一次方程(组)的实际应用(10年1考)考法1等式的性质 1.2018河北,7有三种不同质量的物体“”

5、“”“”,其中,同一种物体的质量都相等,现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是( A )考法2解一次方程(组)2.2015河北,11利用加减消元法解方程组2x+5y=-10,5x-3y=6,下列做法正确的是( D )A.要消去y,可以将5+2B.要消去x,可以将3+(-5)C.要消去y,可以将5+3D.要消去x,可以将(-5)+23.2019河北,18如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.示例:即4+3=7.(1)用含x的式子表示m,m=3x;(2)当y=-2时,n的值为1.4.2011河北,19已知x=2,y=3 是关于x,y的二元

6、一次方程3x=y+a的解.求(a+1)(a-1)+7的值.解:将x=2,y=3代入3x=y+a中,得a=3.(a+1)(a-1)+7=a2-1+7=a2+6=(3)2+6=9.考法3一次方程(组)的实际应用5.2012河北,20如图,某市A,B两地之间有两条公路,一条是市区公路AB,另一条是外环公路ADDCCB.这两条公路围成等腰梯形ABCD,其中DCAB,ABADDC=1052.(1)求外环公路总长和市区公路长的比.(2)某人驾车从A地出发,沿市区公路去B地,平均速度是40 km/h.返回时沿外环公路行驶,平均速度是80 km/h,结果比去时少用了110 h,求市区公路的长.解:(1)设AB

7、=10x km,则AD=5x km,CD=2x km.四边形ABCD是等腰梯形,DCAB,BC=AD=5x km,AD+DC+CB=12x km,故外环公路总长和市区公路长的比为12x10x=65.(2)由(1)可知,市区公路的长为10x km,外环公路的总长为12x km.由题意,得10x40=12x80+110,解这个方程,得x=1,10x=10.故市区公路的长为10 km.第二节分式方程及其应用考 点 易错自纠易错点1解分式方程去分母时漏乘不含分母的项1.分式方程 x+1x+1x-2=1的解是( A )A.x=1B.x=-1C.x=3D.x=-3易错点2解分式方程时忽略分母不为0的条件2

8、.分式方程 x2-1x+1=0的解是( B )A.x=-1B.x=1C.x=1D.无解3.已知关于x的分式方程 m-2x+1=1的解是负数,则m的取值范围是( D )A.m3 B.m3且m2C.m3D.m3且m2方 法 命题角度1解分式方程提分特训1.2020黑龙江哈尔滨方程2x+5=1x-2的解为( D )A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=92.2020石家庄新华区一模若关于x的方程 2x-2+x+m2-x=2的解为正数,则m的取值范围是( D )A.m6C.m6且m8D.m6且m03.2020陕西解分式方程:x-2x-3x-2=1.解:由原方程,得(x-2)2-3x=x(x-2

9、).x2-4x+4-3x=x2-2x.-5x=-4.x=45.经检验,x=45是原方程的根. 命题角度2分式方程的实际应用提分特训4.2020湖南长沙随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型5G产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同.设更新技术前每天生产x万件产品,依题意得( B )A.400x-30=500xB.400x=500x+30C.400x=500x-30D.400x+30=500x5.2020唐山路北区一模某工程队承接了60万平方

10、米的绿化工程,由于情况有变设原计划每天绿化的面积为x万平方米,列方程为60(1-20%)x-60x=30,根据方程可知省略的部分是( C )A.实际每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成了这一任务B.实际每天的工作效率比原计划提高了20%,结果延误30天完成了这一任务C.实际每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成了这一任务D.实际每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成了这一任务真 题 考法 分式方程的实际应用(10年3考) 1.2016河北,12在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立

11、的是( B )A.13x=18x-5B.13x=18x+5C.13x=8x-5D.13x=8x+52.2013河北,7甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同,已知甲队比乙队每天多修10 m,设甲队每天修路x m.依题意,下面所列方程正确的是( A )A.120x=100x-10B.120x=100x+10C.120x-10=100xD.120x+10=100x第三节一元二次方程及其应用考 点 易错自纠易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不为0的条件 1.若关于x的一元二次方程(a-3)x2+x+a2-9=0的一个根是0,则a的值是( C )A.0B.3 C.-3 D.32.若关于x

12、的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是( C )A.k5 B.k5易错点2解一元二次方程时错误约分 3.解方程:2x(2x-3)=5(2x-3).解:2x(2x-3)-5(2x-3)=0,(2x-3)(2x-5)=0,2x-3=0或2x-5=0,x1=32,x2=52.易错点3方程ax2+bx+c=0有实数根时,未对a的值进行分类讨论 4.已知关于x的方程ax2+2x-3=0有实数根,则a的取值范围是a-13.方 法 命题角度1解一元二次方程提分特训1.2020石家庄新华区一模将一元二次方程x2-6x+5=0配方后,原方程变形为( B )A.(x-6)2=5B.(

13、x-3)2=4C.(x-6)2=4D.(x-3)2=52.2019江苏扬州一元二次方程x(x-2)=x-2的根是x1=1,x2=2.3.2019湖北十堰对于实数a,b,定义运算“”如下:ab=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)(m-3)=24,则m=-3或4.4.2020甘肃陇南中考改编已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根,则m的值为-1.命题角度2一元二次方程的判别式提分特训5.2020安徽下列方程中,有两个相等实数根的是( A )A.x2+1=2xB.x2+1=0C.x2-2x=3D.x2-2x=06.2020辽宁抚顺若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0

14、无实数根,则k的取值范围是k0的情况,她是这样做的:由于a0,方程ax2+bx+c=0变形为:x2+bax=-ca,第一步x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2, 第二步(x+b2a)2=b2-4ac4a2,第三步x+b2a=b2-4ac4a(b2-4ac0),第四步x=-b+b2-4ac2a.第五步(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是x=-bb2-4ac2a.(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.解:(1)四x=-bb2-4ac2a(2)x2-2x=24,x2-2x+1=24+1,(x-1)2=25,x

15、-1=5,x1=6,x2=-4.考法2一元二次方程根的判别式3.2015河北,12若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是( B )A.a1C.a1D.a14.2016河北,14a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是( B )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为05.2019河北,15小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( A )A.不存在实数根B.有两个不相等的

16、实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根第四节一元一次不等式(组)及其应用考 点 易错自纠易错点1对不等式的基本性质掌握不牢1.若mn,则下列不等式不正确的是( D )A.m-2n-2B.m4n4C.6m6nD.-8m-8n2.若ab,则下列结论不一定成立的是( D )A.a-1b-1 B.2a-b3 D.a2b2易错点2对不等式组无解理解错误3.若关于x的不等式组xa-4无解,则a的取值范围是( A )A.a-3B.a3D.a3易错点3列不等式解决实际问题时,未正确理解“至少”“最多”“不超过”4.某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用80

17、0元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本.(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?(2)如果该图书馆计划购买乙图书的数量比购买甲图书数量的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1 060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?解:(1)设乙图书每本价格为x元,则甲图书每本价格是2.5x元,根据题意可得800x-8002.5x=24,解得x=20,经检验,x=20是原方程的根,则2.5x=50,答:乙图书每本价格为20元,甲图书每本价格为50元.(2)设购买甲图书y本,则购买乙图书(2y+8)本,则50y+20(2y+8)1 060,解得y10,故2y+828.答:

18、该图书馆最多可以购买28本乙图书.方 法 命题角度1解一元一次不等式组提分特训1.2020广东不等式组2-3x-1,x-1-2(x+2)的解集为( D )A.无解 B.x1C.x-1D.-1x12.2020湖北襄阳不等式组x-42(x-1),12(x+3)x+1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是( A )命题角度2一元一次不等式的实际应用提分特训3.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,已知每本笔记本3元,每支钢笔5元,求小明最多能买几支钢笔.设小明买了x支钢笔,依题意可列不等式为( D )A.3x+5(30-x)100B.3(30-x)+5100C.5(30-x)100+3xD.5

19、x100-3(30-x)4.2020辽宁朝阳某品牌衬衫进价为120元/件,标价为240元/件,商家规定可以打折销售,但其利润率不能低于20%,则这种品牌衬衫最多可以打几折?( B )A.8 B.6C.7D.95.2020四川宜宾某单位为响应政府号召,需要购买分类垃圾桶6个,市场上有A型和B型两种分类垃圾桶,A型分类垃圾桶500元/个,B型分类垃圾桶550元/个,总费用不超过3 100元,则不同的购买方式有( B )A.2种B.3种C.4种D.5种6.2019内蒙古赤峰某校开展校园艺术节系列活动,派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个10元,请认真阅读结账时老板与小明的对话

20、:(1)结合两人的对话内容,求小明原计划购买文具袋多少个.(2)学校决定,再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品总支出不超过400元.其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通,这次老板给予8折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支?解:(1)设小明原计划购买文具袋x个,则实际购买了(x+1)个,依题意得,10(x+1)0.85=10x-17.解得x=17.答:小明原计划购买文具袋17个.(2)设小明购买钢笔y支,则购买签字笔(50-y)支,依题意得8y+6(50-y)80%400-1017+17,解得y4.375,故y最大值=4.答:小明最多可购买钢笔4支.真 题 考法速

21、览考法1解一元一次不等式(组)及其解集的表示(10年5考)考法2一元一次不等式的应用(10年5考)考法1解一元一次不等式(组)及其解集的表示 1.2012河北,4下列各数中,为不等式组2x-30,x-40的解的是( C )A.-1B.0C.2D.42.2013河北,21定义新运算:对于任意实数a,b,都有ab=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.比如: 25=2(2-5)+1=2(-3)+1=-6+1=-5.(1)求(-2)3的值;(2)若3x的值小于13,求x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出来.解:(1)(-2)3=-2(-2-3)+1=-2(-5)+1=10+1=

22、11.(2)3x13,3(3-x)+113,9-3x+113,-3x-1.在数轴上表示如图所示.考法2一元一次不等式的应用3.2019河北,4语句“x的18与x的和不超过5”可以表示为( A )A.x8+x5B.x8+x5C.8x+55D.8x+x=54.2011河北,22甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材.若甲单独整理需要40分钟;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理20分钟才能完工.(1)若乙单独整理需要多少分钟?(2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少需整理多少分钟才能完工?解:(1)设乙单独整理需要x分钟,根据题意,得2040+20+20x=1.解得x=80.

23、经检验,x=80是原分式方程的解.答:乙单独整理需要80分钟.(2)设甲需整理y分钟才能完工.根据题意,得3080+y401.解得y25.答:甲至少需整理25分钟才能完工.参考答案第一节一次方程(组)及其应用考点【易错自纠】1.A2.D等式两边同时乘6,得3(x+1)=6-2x.故选D.方法例11方法一:x+3y=-1,2x+y=3,由2-,得5y=-5,解得y=-1.把y=-1代入,得x+3(-1)=-1,解得x=2,x+y=2-1=1.方法二:x+3y=-1,2x+y=3,2+,得5x+5y=5,x+y=1.例2略提分特训1.A2x+y=4,x-y=-1,+,得3x=3,解得x=1.将x=

24、1代入,得21+y=4,解得y=2,所以方程组的解为x=1,y=2.2.略3.C设采购甲种礼包x件,乙种礼包y件,根据题意,得4x+3y=37,x+2y=18, 解得x=4,y=7. 故采购甲种礼包的数量为4件.4.B由“每辆车乘坐3人,则空余2辆车”列方程为x3=y-2;由“每辆车乘坐2人,则有9人步行”列方程为x-2y=9,即x-92=y.故选B.5.略真题1.A设“”“”“”的质量分别为x,y,z.假设选项A中两盘物体的质量相等,则2x=3y,x=32y;假设选项B中两盘物体的质量相等,则x+2z=2y+2z,x=2y;假设选项C中两盘物体的质量相等,则x+z=2y+z,x=2y;假设选

25、项D中两盘物体的质量相等,则2x=4y,x=2y.综上可知,只有选项A中的情况与其他不同,故选A.2.D(-5),得-10x-25y=50,2,得10x-6y=12,将所得两个方程相加,得-31y=62,从而消去x,故D正确.3.3x1(1)由题意,得x+2x=m,m=3x.(2)由题意,得n=2x+3,m+n=y,3x+(2x+3)=y.当y=-2时,3x+(2x+3)=-2,解得x=-1,n=2x+3=2(-1)+3=1.4.略5.略第二节分式方程及其应用考点【易错自纠】1.A方程两边同时乘x(x-2),得(x+1)(x-2)+x=x(x-2),整理得x2-x-2+x=x2-2x,解得x=

26、1,经检验,x=1是原分式方程的解,故选A.2.B两边都乘x+1,得x2-1=0,解得x=1或x=-1,检验:当x=1时,x+10,故x=1是原分式方程的解;当x=-1时,x+1=0,故 x=-1不是原分式方程的解.故原分式方程的解为x=1.3.D解方程 m-2x+1=1,得x=m-3.关于x的分式方程m-2x+1=1的解是负数,m-30,(m-3)+10,解得m0,且6-m3-20,m-13当a=0时,原方程为2x-3=0,该方程的根为x=32.当a0时,=b2-4ac=4+43a0,解得a-13.综上所述,a-13.方法例1略例2A将原方程化成一般式为x2+(k-3)x+1-k=0,由题可

27、知=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+40,原方程有两个不相等的实数根.故选A.例3(12-x)(8-x)=77或x2-20x+19=0分别将两条道路平移到如图所示的位置,因为道路的宽为x m,所以剩余部分的长为(12-x)m,宽为(8-x)m,面积为(12-x)(8-x)m2,根据题意可列方程(12-x)(8-x)=77,整理得x2-20x+19=0.提分特训1.B移项,得x2-6x=-5,配方,得x2-6x+9=-5+9,即(x-3)2=4.2.x1=1,x2=2x(x-2)=x-2,(x-1)(x-2)=0,故x1=1,x2=2.3.-3或4ab=(a+b)2-(a-b)2=4ab,(m+2)(m-3)=4(m+2)(m-3)=24,整理得m2-m-12=0,解得m1=-3,m2=4.4.-1把x=1代入(m-2)x2+4x-m2=0得m-2+4-m2=0,解得m1=2,m2=-1.(m-2)x2+4x-m2=0是一元二次方程,m-20,m2,m=-1.5.A逐项分析如下:选项分析根的情况A方程可转化为(x-1)2=0,故x1=x2=1.有两个相等的实数根.B方程可转化为x