一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题(最新整理)

1、一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的两种解法(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.例 1. 设函数 f (x) = ax2 - 2x + 2 ，对于满足 1x0，求实数 a 的取值范围.【解析】法一：当 a0 时， f (x) = a(x - 1 )2 + 2 - 1 ，由 x(1,4)，f(x)0 得a 1 1aa1 1 0a f (4) = 16a - 8 + 2 01 a 1a 1a 1 4411所以a 0 或1或，所以 a 1 或 a 。322a 2a 8 f (1

2、) = a - 2 + 2 0当 a。.2法二：由 f(x)0, 即 ax2 - 2x + 2 0 ,x(1,4)，则有 a - 2x2+ 2 在(1，4)上恒成立.1x令 g(x) = - 2 + 2 = -2( 1 - 1 )2 + 1 ， 1 1 g(x)= g(2) =，x2xx22( ,1)x41max21所以要使 f(x)0 在(1,4)上恒成立，只要 a 2针对性练习：1. 已知不等式 mx2 2xm1.2(2) 设不等式对于满足|m|2 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值范围 解析(1)不等式 mx2 2xm10 恒成立，即函数 f(x) mx2 2xm1 的图象全部在 x

3、 轴下方.（i)当 m0 时，12x0 不恒成立；（ii)当 m0 时，函数 f(x)mx22xm1 为二次函数，需满足图象开口向下且方程 mx22xm10 无解，即error!则 m 无解.综上，不存在这样的 m，使不等式恒成立.(2) 设 f(m)( x2 1)m(12x)，当 x2 10 时，即 x1 时，检验得 x1 时符合题意，当 x2 1 时，则 f(m)是以 m 为自变量的一次函数，其图象是一条直线，由题意知该直线当2m2 时的线段在 x 轴下方，1 32error!即error!1 721 72解，得 x， 解，得1 721 31 32x.由，得x2，且 x1.综上，x 的取值

4、范围为error!2. 已知函数 f (x) = x3 + bx2 + cx +1在区间(，2上单调递增，在区间2,2上单调递减，且 b0.(1)求 f(x)的表达式；(2)设 0m2，若对任意的 x1、x2m2，m不等式|f(x1)f(x2)|16m 恒成立，求实数 m 的最小值解析(1)由题意知 x2 是该函数的一个极值点.f(x)3x22bxc，f(2)0，即 124bc0.又 f(x)在2,2上单调递减， f(x)3x22bxc 在2,2上恒有 f(x)0.f(2)0，即 124bc0.124b4b120.b0，又 b0，b0，c12，f(x)x312x1. (2)f(x)3x2123

5、(x2)(x2)0m2，而当 m2xm 时，0mx2m2，m4x2m20，f(x)0，xm2，m.因此 f(x)为m2，m上的减函数，对任意 x1，x2m2，m都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)minf(m2)f(m)446m212m1616m， m ，即 mmin .33“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an e

6、ternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this document is also edited by my stud