教学设计新部编版】《不等式的证明》(上教版

1、精品教学教案设计| Excellent teaching plan教师学科教案20- 20学年度第学期任教学科：任教年级：任教老师：xx市实验学校精品教学教案设计| Excellent teaching planQ s * w *高中一年级第一学期不等式的证明教学目标【知识与能力目标】1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用【过程与方法目标】1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明3、在证明的过程中，加强不等式性质及

2、基本不等式的应用【情感态度价值观目标】代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。教学重难点【教学重点】利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明【教学难点】分析法的基本思路及其表达教学过程一、比较法比较法有两种:（1）比差法：求差与 0比（2）比商法：求商与1比，要注意讨论分母的符号例 1 求证：（1） x x 2 x 1育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰（2）x2 2x2 .证明：（1）因为2x x 2 x 1所以,xx 22x 1（2）因为2 x2x 2x2 2x所以,2 x2x2.x2 2x x2 2x 11 0，211x111 0，说明本例的几何意义（1）y x x 2的

3、图像在y x图所示（A点比B点低1个单位）(2) y x2的图像在y2x2的图像上方，如图所示(A点比B点高)立,求证:ab2证明:因为a所以,另证:a3 b3 ab2 ab2 .2a b2aa bb2a2b2 2 2 2a b ba b0，又,a b 2a2b2当且仅当a b 0时等号成aa2b2当且仅当a b 0时等号成立故ab2因为0，所以ab0，则ab aa b 0时等号成立.说明a2 b2 ababab2ab ,1 ab1.当且仅当ab21丄当且仅当b0时等号成立此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”、综合法从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算

4、性质作为依据，推导出要证的结论这种证明方法称为综合法例3已知a、b、c均为正数，求证：ab a bbc b c ca c a 6abc.证明:aba b bc bc ca caa2b2 2 2 2 2ab b c bc c a caa2b bc2 2 2 2 2b c cac a ab ，因为a、b、c均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：a2bbc22 abc22abcb2cca22 bca 22abca2b bc2b2c ca2c2a ab2 6abc2 c aab22 cab 22abc即，ab ab bc bc ca c a6abc.当且仅当a2b bc2 b2c ca22 . 2

5、2abca bc 0时等号成立.2 2c a ab所以，不等式ab(a b)bc(b c) ca(c a)6abc成立.证明:已知a、b R，求证：2 a2b2b 2.2.2 22 a b a2 b2b2 a22ab b22a b .当且仅当a b时等号成立所以不等式2(a2b2)2(a b)成立.例5求证:x2_2 .x212.证明：因为x211由基本不等式得,x211x2一厂 12.当且仅当x 0时等号成立.x2 2所以，不等式2成立说明此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法例 6 求证：a b .a21 b21- a2 b21 .2证明：一方面，.a21,b21.a21b21.

6、a2ab 212b2Va22abb2 aa b a b.当且仅当ab 1时等号成立.a b 0. 2 2 ,/a2 1. b2 11另一方面，.a2 1 . b2 1- a2 b2 1当且仅当2 2- a b时等号成立 ab 1所以，a b 、a2 1 . b2 1 1 a2 b2 1,当且仅当 a b 0 a b 12 a b等号同时成立说明利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用三、分析法从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转 化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结 论成立这种证明方法称为 分析法分析法也可以如

7、下叙述为：欲证结论Q，需先证得p，欲要证得P1，需先证得F2，欲要证得P2，需先证得F3，欲要证得Pn 1，需先证得Pn.当Pn成立时，若以上步步可逆，则结论 Q成立用数学语言表述，必须保证下述过程 成立：Q P1F2R Pn 1Pn，因为Pn成立，所以结论Q成立说明分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程由于分析法要求的是步步逆向成立,所以需慎重使用例7求证：1.3,7 .证明：因为1,30, ,70,则要证1 J ,7成立，即证 1.3 2（、.7）2 7 成立，即证42.37成立.即证2、33成立，即证 2 .3 232成立，即证12 9成立.因为129成立，且以上步步可逆，所以， 1

8、.3. 7 .例8 已知:adbc，求证：（a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2.证明：要证d22ac bd 成立,b2d22ac bd即证2 2 a ca2d22 2 2 2 b c b d2 2 a c2acbdb2d2成立即证22a d2 ad2 2bc b c0成立，即证adbc 20成立，由adbcad bc 0(adbc)20成立,且以上步步可逆，故有R，求证:b，并指出等号成立的条件证：先证a b a b ” .注意到 a b 0, a b 0，则对于任意a、b R，要证a b a b成立,2 2即证a b a b 成立，即证 a2 2ab b2 a2 2 ab b2 成

9、立，即证ab ab成立，由绝对值定义知，任意 a、b R，都有ab ab，且以上步步可逆，因而a b a b，且等号成立ab 0.再证;“|a| 冋 |a b ” .由|a b 0， a b 0，则对于任意a、b R，要证| a b a b成立，2 2即证| a b a b成立，2 2即证 a b a b 成立，即证 a22 a b b a2 2ab b2成立，即证abab成立，由绝对值定义知，任意 a、b R，都有abab，且以上步步可逆，因而a b a b，且等号成立ab 0 ；综上可得，任意a、b R，不等式|a b| a b a |b成立例9证明的不等式对任意的实数 a、b成立，以 b

10、换b得到的不等式a baba b，即| a b a b a b也成立，此时，右端等号成立a b 0 ab 0，左端等号成立a b 0 ab 0.以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为三角不等式对于任意a、b R，（1）| a b a b|b，左端等号成立ab 0，右端等号成立ab 0.(2)| aa b a b，左端等号成立ab 0，右端等号成立ab 0.说明有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可适学生的具体情况而定教学反思有关不等式的证明可分为两个课时进行第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上需严格控制，只对不等式的