不等式推理与证明算法初步与复数考点测试33一元二次不等式及其解法

1、考点测试33 一元二次不等式及其解法咼考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1 会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3 会解一元二次不等式第7步匚狂刷小题：基础练、基础小题1. 不等式2x2 - X 3 0的解集是()3A. - 2， 13B. ( 8, 1) U 2，+m3c.- 1, 23D.8, 2 U (1 ,+8)答案 B23亠解析 2x X 30可因式分解为(x + 1)(2 x 3) 0，解得x?或x 0 的解集是(， 1) U 2,+8.故选 B.2. 若不等式a

2、x2 + bx 20的解集为lx 2x二贝U ab=()A. 28 B . 26 C . 28 D . 26答案 C解析 2, *是方程ax2+ bx 2 = 0的两根, 21=2X 一 = a4II-b 7 a4，12,a= 4,b= 7, ab= 28.3. 不等式x2+ ax+40恒成立；当k工0时，只需k 0, w 0,k 0,36k2-A. - 4,4 B . ( - 4,4)C. ( g, 4 U 4 , +8) D .(g, 4) U (4 , +1答案 D解析 不等式x2 + ax+ 40,. a4.故选D.22.4. 关于 x 的不等式 x 2ax 8a0)的解集为(xi,

3、X2)，且 x2 xi= 15,则 a=()571515a. 2 b . 2 c . 4 d . _2-答案 A225解析 由x 2ax8a = 0的两个根为xi = 2a, X2= 4a,得6a= 15，所以a=.5. 若函数f (x) = kx2 6kx + k+ 8的定义域为R,则实数k的取值范围是()A. k|0 v kw 1 B . k|kv0 或 k 1C. k|0 w kw 1 D . k|k 1答案 C则 Ov kw 1.综上，ow kw 1.6. 不等式|x2 x|2的解集为()A. ( 1,2) B . ( 1,1) C . ( 2,1) D . ( 2,2)答案 A22解

4、析由 |x x|2，得一2x x2,了x2 x2,即2- 由，得一1x 2.由，得x R.所以解集为(一1,2).故选A.7. 某商场若将进货单价为 8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采 用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少 10件.那么要保证每天所赚的利润在 320元以上，销售价每件应定为 ()A. 12 元 B . 16 元C. 12元到16元之间 D . 10元到14元之间答案 C解析 设销售价定为每件x元，利润为y，则y= (x 8)100 10( x 10)，依题意有(x 8)100 10(x 10)320，即 x2 28x+ 19

5、20,解得 12x 1,2X3解得aw 2.故选C.一2, x0,9. 设函数 f(x) =2若 f ( 4) = f(0) , f( 2) = 0，则关于 x 的不|x + bx+ c, xw0,等式f(x) wi的解集为()A. ( g, 3 U 1,+g)B. 3, 1C. 3, 1 U (0，+g)D. 3 ,+g)答案 C2b解析 当 xW0 时，f(x) = x + bx+ c 且 f ( 4) = f(0),故其对称轴为 x = 2 = 2, 2b= 4 .又 f( 2) = 4 8+ c = 0, c= 4.当 xwo 时，令 x + 4x + 4w 1,有一3w x w 1

6、； 当x0时，f (x) = 2W1显然成立，故不等式的解集为3, 1 U (0 ,+g).10. 设a R,关于x的不等式ax2 + (1 2a)x20的解集有下列四个命题：一 1原不等式的解集不可能为？；若a= 0，则原不等式的解集为(2 , +g)；若a0,则原不等式的解集为 g,U (2 ,+g).I aa其中正确命题的个数为()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4答案 C解析 原不等式等价于(ax+ 1)( x 2)0 .当a= 0时，不等式化为x 20,得x2.当111a0时，方程(ax+1) ( x 2) = 0的两根分别是2和-，若a2，解不等式得-x2；a2a111若

7、a=乙，不等式的解集为？；若a0，解不等式得 2x0,解不等式得 x2 .故为假命题，为真命题.a11. 若不等式3w x2 2ax+ aw 2有唯一解，则a的值是()答案A解析222、 ，2令 f (x) = x 2ax+ a,即 f (x) = (x a) + a a ,因为一3 x 2ax + a 2 有C.D . 2A. 2 或一1 B .52唯一解，所以a a2=- 2，即a2- a 2 = 0,解得a= 2或a=- 1 .故选A.12. 已知三个不等式： x2-4x + 30,x2- 6x + 80，2x2- 9x + m0.要使同时满足的所有x的值满足，则 m的取值范围为 .答案

8、mW9解析由得2x3，要使同时满足的所有x的值满足，即不等式2x2 9x +m0 在 x (2,3)上恒成立，即 m- 2x2 + 9x 在 x (2,3)上恒成立，又2x2+ 9x 在 x (2,3) 上大于9，所以mtc9.二、高考小题3213. (经典浙江高考)已知函数 f (x) = x + ax + bx+ c,且 0f( - 1) = f ( - 2) = f ( -3) 3, 则()A. cw 3 B . 3cW 6 C . 6c9答案C解析由f(-1 尸f(-2 得产-b= 7,|f ( 1 尸f ( 3 ,|4a b= 13,a= 6,解得*则有 f ( 1) = c 6,由

9、 0f( 1) w3, 得 60的解集为 (用区间表示).答案 (4,1)2 2解析 不等式x - 3x + 40等价于x + 3x - 40,解得4x1.15. (经典江苏高考)已知函数f (x) = x + mx- 1,若对于任意x m,1，都有f(x)0 ,则实数m的取值范围是 .答案-半，0)厂2f (m 尸 2m- 10,解析 由题可得f(x)0对于x m, m+ 1恒成立，等价于二2解f (mi+ 1 尸 2m+ 3m0时，f(x) = x2 4x.那 么，不等式f(x + 2)0时，f(x)= x2 4x5的解集为0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)5的解集为(一5,5).

10、所以f(x+ 2)0的解集为x| 3x0的解集为()A.1x 2 二或 x t32C. x| 3 x2D. x| x 2答案 A5a= 3 2， 解析 由题意得解得a= 1, b= 6，所以不等式bx2 5x +ba=3X 2，2 11a 0 为6x 5x 1 0,即(3x+ 1)(2 x+ 1) 0,所以解集为 x2 x0,解得a 4.故选D.19. (2018 湖南湘潭一中模拟)若不等式(耐1)x2 (m 1)x + 3( m 1)0对任意实数x恒成立，则实数 m的取值范围是()A. (1 ,+a) B .(a, 1)1313c.a 石D. a, 后 U (1 ,+a)答案c解析当m= 1

11、时，不等式化为2x 60,即x3,显然不对任意实数 x恒成立.当m 1时，由题意得严10,所以m .故选C.A0,1120. (2018 河北石家庄二中月考)在R上定义运算:ab= ab+ 2a+ b,则满足x(x 2)0的实数x的取值范围为()A. (0,2) B . ( 2,1)C. ( s, 2) U (1 ,+s) D .( 1,2)答案 B2解析根据定义得 x (x 2) = x(x 2) + 2x + (x 2) = x + x 20，解得2x1，所以实数x的取值范围为(一2,1)，故选B.21. (2018 湖北沙市中学月考)已知函数f (x) = mx mx-1 .若对于任意的

12、x 1,3, f(x)5 m恒成立，则实数 m的取值范围是()A.S,6 B . ( m,1)C. (1,5) D . (1 ,+m)答案 A解析 因为f (x) 5? n(x2 x + 1)0，所以将不等式变形为即不等式6 6n0的解集为()4A.m, 3 U (2 ,+m)4B- 3, 24C.m, 3U (2 ,+m)4D -23 ,答案 D解析T y = f(x+ 2)为偶函数, y= f (x)的图象关于x = 2对称.又I f (x)在(2 , +m)上单调递减,由 f (2x 1) f (x + 1)0 得 f (2x 1)f (x + 1) , |2x 1 2| x + 1 2

13、| ,2 2 24(2x 3) (x 1),即 3x 10x + 80 , (x 2)(3 x 4)0 ,解得-x0的解2 2集为(一1,2)，解关于x的不等式ax bx+ c 0”，给出如下一种解法：由 ax + bx+ c 0 的解集为(一1,2)，得a( x)2+ b( x) + c 0的解集为(一2,1)，即关于x的不等式ax2 bx+ c 0 的解集为(一2,1).kx p b11参考上述解法，若关于x的不等式片+片0的解集为2，- 3u2, 1，则关于x的不等式kxax 1bx+ 1+ cx + 1 0的解集为答案3, 1U (1,2)1 + bkx bx 1+解析 0，得一k x

14、 b11k x由 + 0的解集为一2, -U-, 1,且 + 0,即 ，x + a x c3211ax 1 cx +1+ a 一 cx x冲 0的ax 1 cx 1111112- 3或2二 1，即一3 x ：或 1 x 2，故不等式x321解集为3, U (1,2).*精做大题能力练、咼考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型.二、模拟大题1. (2018 黑龙江虎林一中模拟)已知f(x) = 2x2 bx c,不等式f(x)0的解集是(0 ,5).(1) 求f(x)的解析式；(2) 若对于任意的x 1, 1，不等式f(x) t W2恒成立，求t的取值范围.解(1) f(x) = 2x bx c

15、,不等式 f(x)0 的解集是(0 , 5),bc.0和5是方程2x? bx c = 0的两个根，由根与系数的关系知，一= 5, ?= 0,b= 10, c = 0, f(x) = 2x2 10x.f(x) t 2恒成立等价于 2x2 10x t 20恒成立, 2x2 10x t 2的最大值小于或等于0.设g(x) = 2x2 10x t 2,则由二次函数的图象可知2g(x) = 2x 10x t 2在区间1 , 1上为减函数，- g(x) max= g( 1) = 10 t , 10 t 0，即卩 t 0,2 2即 = (m- 2) 4(m- 1)( 1)0，得 m0,所以ml且m 0.(-

16、m- 2W+x2=(2)在m0且ml的条件下，X1 X2 =、1 m因为丄+1=U= m- 2,X1X2X1X2丄 _2_X2X1X211所以+ 2 =X1X22=(m- 2) + 2( m-1) w 2.得卅一2mW 0,所以0W mW 2.所以m的取值范围是 n|0 n1或1mK 2.3. (2018 辽宁沈阳月考)已知二次函数f(x)满足f( 2) = 0,且2xw f(x) W 尹对一切实数x都成立.(1)求f(2)的值;(2)求f (x)的解析式.x2 + 4解(1) T 2x w f(x) W厂对一切实数x都成立, 4 0 ,2 1 = 1 4a(2 4a) w 0,即(4 a 1

17、) w 0,得 a= 4 ,同理f(x) w 号4寸一切实数x都成立，也解得a=4,21x + 4当 a= 4,满足 2x f (x) , a= 4, c = 2 4a = 1，故 f(x) = x4 + x+ 1.4. (2018 江西八校联考 )已知二次函数 f (x) = mX 2x 3,关于实数 x的不等式f(x) 0时，解关于 x的不等式：ax + n+ 1(m+ 1)x + 2ax；(2) 是否存在实数a (0 , 1)，使得关于x的函数y = f(ax) 3ax+ 1(x 1 , 2)的最小值 为5?若存在，求实数 a的值；若不存在，说明理由.解 (1)由不等式 mx 2x 30,由根与系数关系得31 x n=二lm解得1,所以原不等式化为(x 2)( ax 2)0.n= 3,当2220a0且2 ,解得x0,解得x R且XM2;当a1 时,原不等式化为(x 2)x 20且22，解得x2;aaa综上所述，当