概率论复习重点与习题

1、概率论与数理统计课程总结,第一章主要内容及要求,1,熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、交,并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定律,会,用事件的关系表示随机事件,A,B,B,AB,A,B,A,AB,A,B,A,B,A,B,A,B,S,A,A,A,B,A,A,A,2,掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型,中的,概率,则,1,若,A,1,A,2,是两两互不相容事件,P,A,1,A,2,P,A,1,P,A,2,2,若,A,1,A,2,A,n,是两两互不相容事件,则,P,A,1,A,2,A,n,P,A,1,P,A,2,P,A,n,3,A,B,P,B,A,P,B,P,A,4,P,A,1,P,A,5

2、,P,A,B,P,A,P,B,P,AB,6,P,B,A,P,B,P,AB,3,熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公,式，事件的独立性及性质求概率,P,AB,1,P,A,B,P,B,2,P,AB,P,A,P,B,A,n,k,1,3,P,B,P,A,k,P,B,A,k,P,A,P,B,A,P,A,B,k,k,k,4,P,A,B,k,n,P,B,P,A,P,B,A,j,j,j,1,5,P,AB,P,A,P,B,P,AB,P,A,P,B,6,P,BC,P,B,P,C,A ,B,C,相互独立,P,AC,P,A,P,C,P,ABC,P,A,P,B,P,C,7,若随机事件,A,与,B,相互独立，则,A,

3、与,B,A,与,B,A,与,B,也相互独立,8,若,A,1,A,2,A,n,是相互独立的事件，则,P,A,1,A,2,A,n,1,P,A,1,A,2,A,n,1,P,A,1,P,A,2,P,A,n,主要参考习题,P25:3,5,9,14,19,24,30,36,第二章主要内容及要求,1,掌握随机变量分布函数的定义及性质,F,x,P,X,x,F,x,是一个单调不减右连续的函数,0,F,x,1,F,0,F,1,P,a,X,b,F,b,F,a,P,X,a,F,a,F,a,0,2,掌握离散型随机变量分布率的定义和性质，会,求离散型随机变量的分布率,X,P,x,1,p,1,x,2,p,2,x,n,p,n

4、,对任意的自然数,n,有,p,n,0,p,n,n,1,3,会求离散型随机变量的分布函数,X,1 2 3,p,k,1,4,1,2,1,4,1,1,1,x,1,4,4,1,0,3,F,x,1,x,2,4,1,2,x,3,1,2,1,4,1 2 3,x,4,掌握连续型随机变量概率密度的性质：会确定密,度函数中的未知参数，掌握分布函数与概率密度的,关系，会运用概率密度求连续型随机变量取值落在,实轴某一区间上的概率,x,1,F,x,2,f,t,dt,x,2,f,x,dx,1,x,1,3,P,x,1,X,x,2,F,x,2,F,x,1,f,x,dx,4,F,x,f,x,5,理解贝努里试验，掌握两点分布及其

5、概率背景,X,b ( 1,p,6,掌握二项分布的概率背景，即会把实际问题中,服从二项分布的随机变量构设出来，运用有关公式,求概率,若,X,表示,n,重贝努里试验中成功出现的次数,则,X,b,n,p,P,X,k,C,p,1,p,k,n,k,n,k,k,0,1,n,7,掌握泊松分布,P,X,k,k,k,e,k,0,1,2,8,掌握均匀分布,X U,a,b,1,f,x,b,a,0,9,掌握指数分布,a,x,b,其它,1,x,e,f,x,0,x,0,x,0,10,掌握正态分布及其性质：理解一般正态分布函,数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率，正,态变量的线性变换仍然是正态变量,X,N,m,s,f,

6、x,1,2,s,e,2,x,m,2,2,s,2,x,X,N,0,1,x,1,2,e,x,2,2,x,x,1,x,F,X,x,P,X,x,x,m,P,a,X,b,2,b,m,s,s,a,m,s,若,X,N,m,s,有,Y,aX,b,N,a,m,b,a,s,2,11,会运用定理及先求分布函数法求随机变量变量,函数的分布,1,f,X,h,y,h,y,y,f,Y,y,0,其它,2,先求,Y,g,X,的分布函数,F,Y,y,P,Y,y,P,g,X,y,g,x,y,f,X,x,dx,利用,Y,g,X,的分布函数与密度函数,之间的,关系求,Y,g,X,的密度函数,f,Y,y,F,Y,y,主要参考习题,P55

7、:2,6,23,24,25,27,33,36,第三章主要内容及要求,1,掌握二维离散型随机变量分布率的定义；会求,二维离散型随机变量的分布率,2,掌握二维连续型随机变量概率密度的性质：会,运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面,某一区域上的概率,P,X,Y,G,f,x,y,dxdy,G,3,掌握二维均匀分布的定义及性质,A,G,1,f,x,y,A,0,x,y,D,x,y,D,y,D,P,X,Y,G,G,B,f,x,y,dxdy,A,B,x,4,会求边缘分布率和边缘概率密度,p,i,P,X,x,i,p,ij,j,f,X,x,p,j,P,Y,y,j,p,ij,i,f,Y,y,f,x,y,dy

8、,f,x,y,dx,Y,X,x,1,x,2,x,i,y,1,y,2,y,j,p,1,j,p,2,j,p,11,p,21,p,12,p,22,p,i,1,p,i,2,p,ij,p,j,p,j,p,1,p,2,p,i,p,1,p,2,p,i,5,掌握随机变量独立性的充分必要条件,p,ij,p,i,p,j,f,x,y,f,X,x,f,Y,y,6,会求二维随机变量函数的分布,1,一般情形,先求随机变量函数,Z,g,X,Y,的分布函数,F,Z,z,再求随机变量函数,Z,g,X,Y,的密度函数,z,f,Z,z,F,Z,2,和的分布,f,Z,z,f,Z,z,f,X,x,f,Y,z,x,dx,f,X,z,y,

9、f,Y,y,dy,3,极值分布,F,n,x,P,X,n,x,F,i,x,i,1,n,1,F,i,x,F,1,x,P,X,1,x,1,i,1,n,7,掌握正态分布的性质,如果随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立,X,i,N,m,i,s,n,2,i,n,令,Z,a,i,X,i,2,2,则,Z,N,a,m,a,s,i,i,i,i,i,1,i,1,i,1,n,主要参考习题,P84:2,9,15,18,22,36,第四章主要内容及要求,1,熟练掌握期望定义和性质,EX,x,k,p,k,i,1,EX,xf,x,dx,E,a,i,X,i,a,i,EX,i,i,1,i,1,n,n,X,Y,不相关,EXY

10、,EXEY,2,会求随机变量函数的数学期望,设,Y,g,X, g,x,是连续函数,则,EY,p,k,g,x,k,k,1,EY,则,EZ,若,Z,g,X,Y,i,j,1,g,x,f,x,dx,i,j,g,x,y,p,ij,EZ,g,x,y,f,x,y,dxdy,3,熟练掌握方差的定义和性质,DX,E,X,EX,EX,2,EX,2,2,D,cX,c,DX,D,aX,bY,a,DX,b,DY,2,abE,X,EX,Y,EY,2,2,a,DX,b,DY,2,abCOV,X,Y,2,2,2,若,X,Y,不相关,则,D,aX,bY,a,DX,b,DY,4,掌握契比雪夫不等式,P,X,EX,DX,2,2,2

11、,5,熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布,正态分布、指数分布的期望值和方差值,6,掌握协方差和相关系数的定义，不相关的定义及,独立与不相关的关系,COV,X,Y,E,X,EX,Y-EY,E,XY,EX,EY,XY,COV,X,Y,DX,DY,若,XY,0,称,X,Y,不相关,若,X,Y,独立，则,X , Y,不相关,反之，不然,主要参考习题,P113:2,5,6,11,22,26,30,32,第五章主要内容及要求,1,掌握大数定律的定义,n,1,n,1,lim,P,X,k,EX,k,1,n,n,k,1,n,k,1,n,1,n,1,或,lim,P,X,k,EX,k,0,n,n,n,k,1

12、,k,1,2,掌握辛钦、贝努里、契比雪夫大数定律,2,掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛,拉普,拉斯定理；并会用这两个定理求概率,lim,P,n,X,k,n,m,k,1,n,n,s,x,1,2,x,e,t,2,2,dt,x,设随机变量,n,B,n,p,n,1,2,0,p,1,lim,P,n,n,np,npq,x,1,2,x,e,t,2,2,dt,x,主要参考习题,P126:3,7,第六章主要内容及要求,1,理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值,样本方差及样本矩的概念,n,1,样本均值,X,X,i,n,i,1,n,n,1,1,2,2,2,2,X,i,n,X,样本方差,S,X,i,X,n,1

13、,i,1,n,1,i,1,n,1,k,样本,k,阶原点矩,A,k,X,i,k,1,2,n,i,1,n,1,k,样本,k,阶中心矩,B,k,X,i,X,k,1,2,n,i,1,结论,设,X,1,X,n,为来自总体,X,的一个样本,EX,m,DX,s,2,s,2,2,则,E,X,m,D,X,ES,s,n,2,2,了解,分布,t,分布和,F,分布的概念及性质,了解分位数的概念并会查表计算,2,3,了解正态总体的某些常用抽样分布,定理,1,设,X,1,X,n,是总体,N,m,s,的样本,X,S,2,2,分别是样本均值与样本,方差，则有,1,X,N,m,2,n,1,S,2,s,n,2,n,i,s,2,X

14、,i,1,X,2,2,s,n,1,2,3,X,与,S,独立,定理,2,2,X,m,S,n,t,n,1,主要参考习题,P126:1,6,8,9,第七章主要内容及要求,1,理解参数的点估计、估计量与估计值的概念,要会熟练运用矩法和最大似然法求估计量,矩法求估计量的步骤,1,求,m,1,EX,2,令,A,1,m,1,3,解上面方程，得,X,X,1,n,最大似然法求估计量的步骤,一般情况下,1,构造似然函数,L,L,f,x,i,连续型,2,取对数,ln,L,d,ln,L,3,令,0,d,4,解似然方程得,的最大似然估计量,i,1,n,2,了解估计量的无偏性、有效性,最小方差性,和,一致性,相合性,的概

15、念，并会验证估计量的无偏性,和有效性,3,了解区间估计的概念，会求正态总体的均值和,方差的置信区间,主要参考习题,P126:4(1)(2),10,12,16,18,22,23,第八章主要内容及要求,1,理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本,步骤，了解假设检验可能产生的两类错误,2,掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验,3,了解两个正态总体的均值差和方差比的假设检验,一个正态总体未知参数的置信区间,待估参数,随机变量,随机变量,的分布,双侧置信区间的上、下限,m,s,已知,2,X,m,s,n,X,m,S,n,1,N,0,1,X,z,2,s,n,S,n,i,s,未知,2,t,n,1,2,

16、X,t,n,1,2,m,已知,s,X,i,m,2,i,1,n,n,2,n,X,i,1,n,i,m,2,X,i,1,n,m,2,n,2,2,2,n,s,2,2,1,2,n,2,m,未知,1,s,2,X,i,1,n,i,X,2,2,n,1,X,i,1,2,i,X,X,i,1,2,i,X,2,n,1,1,2,n,1,1,关于,m,的检验,Z,检验法,2,s,已知,原假设,备择假设,检验统计量及其,H,0,为真时的分布,H,0,H,1,拒绝,域,Z,z,m,m,0,m,m,0,m,m,0,m,m,0,Z,X,m,0,2,m,m,0,m,m,0,s,n,N,0,1,Z,z,Z,z,T,检验法,2,s,未知,原假设,备择假设,检验统计量及其,H,0,为真时的分布,H,0,H,1,拒绝域,T,t,m,m,0,m,m,0,m,m,0,m,m,0,m,m,0,m,m,0,X,m,0,T,S,n,t,n,1,2,T,t,T,t,2,关于,s,2,的检验,2,检验法,拒绝域,