在三角形与四边形中“求两线段长度之和的最小值”问题全解析

1、有关三角形、四边形中“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了 求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学 们有所帮助.、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1,在锐角三角形 ABC中，AB=4 J, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为第7页解：如图1,在AC上截取AE=AN以 / EAM= / NAM，又因为 AM=AMBM+MN=BM+MBE .因为 BM+MN有最小值

2、.当 BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4.分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法.我们要选 用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.，连接BE .因为/ BAC的平分线交BC于点D，所所以 AME AMN，所以 ME=MN .所以1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2 （2010山东滨州）如图 4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点 若 AE=2,EM+CM 的最小值为分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所 学的知识求出这条线段的长

3、度即可.解：因为等边 ABC的边长为6,AD是BC边上的中线，所以点C与点B关于AD对称,连接BE交AD于点M,这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以二EM+CM=BE，过点E作EF丄BC ,垂足为F,因为AE=2 , AC=6，所以EC=4，在直角三角形 EFC 中，因为 EC=4, / ECF=60 , / FEC=30 ,所以 FC=2,EF=因为 BC=6 , FC=2 ,所以BF=4 在直角三角形BEF中，匪=丁剜+肿=店+（入即饭=2方.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例 3 如图 3，在直角梯形 ABCD 中，/ A

4、BC = 90, AD / BC, AD = 4, AB = 5, BC =PB的长为6,点P是AB上一个动点，当 PC+PD的和最小时,C分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时 可以用对称法.解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE,交AB于点P,此时PC + PD和最小，为线段 CE.因为AD = 4,所以AE=4 .因为/ ABC = 90, AD / BC,所以/ EAP = 90.因为/APE = / BPC,所以APEsA BPC，所以空-竺.因为AE=4 , BC = 6，所以 眈 PEAB 5 m 出 AO c fiCIM DD

5、-Q 二二_，因为 AB = 5,所以 PB=3.3f二竺，所以2二竺，所以兰6 PB 3 PB3PBPB2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4,等腰梯形 ABCD中,AB=AD=CD=1/ ABC=60 , P是上底，下底中点EF直线上的一点，贝y PA+ PB的最小值为分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点这是解题的一个关键点.其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为连接BD，交EF于点P,此G,因为四边形ABCD是等时PA +PB和最小，为线段 BD .过点D作DG丄BC,垂足为腰梯形，且 AB=AD=CD=1/ AB

6、C=60 ，所以/ C=60 ,/ GDC=30 ,所以GC=丄,DG=G .因为 / ABC = 60 , AD / BC,所以 / BAD = 120 因为 AB=AD，所以2 2/ ABD= / ADB=30，所以 / ADBC=3，所以 BD=2DG=2.所以 PA+PB 的最2.3在菱形中探求线段和的最小值例5 如图5菱形ABCD中，AB=2 , / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值为分析：根据菱形的性质知道，点 B的对称点是点 D,这是解题的一个关键点.解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P,此

7、 时PE+PB和最小，为线段 ED .因为四边形 ABCD是菱形，且/ BAD=60，所以三角形ABD 是等边三角形因为E是AB的中点，AB=2，所以 AE=1 , DE丄AB，所以=Ji .所以PE+ PB的最小值为初.2.4在正方形中探求线段和的最小值例6 如图6所示，已知正方形 ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2 , N是AC上的一个动点，则 DN+MN的最小值为分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点.解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM，交AC于点N，此时DN + MN和最小，为线段BM .因为四边形 ABCD是正方形，所以

8、BC=CD=8 .因为DM=2 , 所以MC=6，所以BM= Jg，+U胚2 Jg? +6? =10.所以DN+MN的最小值为10.例7如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线cm .（结果不取近似值）.AC上一动点，连接PB、PQ,则 PBQ周长的最小值为分析：在这里 PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题.因为题目中有一个动点 P,两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称

9、，连接DQ,交AC于点 P ,连接 PB .所以 BP=DP ,所以 BP+PQ=DP+PQ=DQ .在 Rt CDQ 中，DQ= %炉+1?= 爲 ，所以 PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= 书+1 .故答案为+1 .例8如图11,在平面直角坐标系中，矩形创CF的顶点0在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半轴上， 0A=3 , 0B=4 , D为边OB的中点.(1 )若E为边0A上的一个动点，当 CDE的周长最小时，求点 E的坐标;(2)若E、F为边0A上的两个动点，且 EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求

10、最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起, 并很好的运用到平面直角坐标系中.解：（1）如图12 ,作点D关于x轴的对称点刀,连接Cdf与x轴交于点E,连接DE.若在边OA上任取点护（与点E不重合），连接Cgf、D盪f、DE f .由D旷C旷卩旷C呼 C卩=D F +CE=DE+CE ,所以 CDE的周长最小.因为 在矩形 OACB中，OA=3,OB=4, D 为OB的中点，所以 BC=3 , DO=D O=2.所以点C的坐标为（3，4）,点的坐标为D* （ 0，-2），设直线C）f的解析式为y=kx+b，2 = -2，解得k=2 , b=-2 ,所以函数的解析式为y=2x-2 ,令y=0 ,则x=1,所以点E戏+4的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点）t ,在CB边上截取CG=2 ,连接Qf G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC / EF,GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形,有 GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形 OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，C