异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高

1、知识梳理、异面直线所成的角及求法(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角 称为两异面直线所成的角. 取值范围：若0是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是0 (0 , n2，当n0= 2时，称异面直线a和b垂直，记为a丄b.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形, 通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1)定义：设I和a分别表示直线与平面.若I / a或I ?a，则称直线I和平面 a所成的角为0；若丄a，则称与a所成的角为2 ；若与a相交则 与l在a内的射影所成的锐角为直线l与平面a所成的角.取值范围：设

2、0是直线l与平面a所成的角，贝U 0的取值范围是0,.2(3)求法：定义法：探寻直线l在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直 线l与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所 成的角.三、二面角及求法(1) 定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两 垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小.(2) 取值范围：规定二面角的取值范围为0 ,n .(3) 求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为 该二面角的平面角练习提升1.如图，E、F分别是三棱锥 与PC所成的角为(A.C.306

3、0答案：CP ABC勺棱AP BC的中点，PC= 10, AB= 6, EF= 7,则异面直线 ABB. 45.902.已知长方体 ABC ABCD中，AB= BO 4, CC= 2,则直线BG和平面DBBD所成的角的正弦值为()答案：C3.如图，在边长为1的菱形ABC中，/ ABC= 60,将菱形沿对角线 AC折起，使折起后B 1,则二面角B- AC- D的余弦值为答案：AAC1)CAli(4 .在正方体 ABCD ABCiD中，BC与对角面 A. 15B. 30C. 45D. 60答案：BDDBB所成角的大小是5.如图，ABC- A1B1CD 是长方体，AA = a, , AA与BQ所成的

4、角为 . 答案：300, 450/ BAB=/ BiAiCi= 30AB与 AC所成的角为6. 在正方体ABC& ABCD中,(1)直线AiB与平面ABCDff成的角是(2)直线AiB与平面ABCD所成的角是 直线AiB与平面ABCD所成的角是，则答案 (1)45 (2)30 (3)90 7.设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q异面直线所成角的大小范围为集合R则P、Q R的关系为()A. R= P?QB. R?P?QC. P?R?Q.R?P= Q答案：B 8设 ABCn DBC所在两平面互相垂直，且 A养BC= BD= a，Z CBAfZ CBD=120,则AD

5、与平面BCC所成角的大小为().45.75A. 30C. 60解析：作AQL CB交CB的延长线于 0,连接OD则OD即为AD在平面BCD内的射影，/ ADC即为AD与平面BCD所成的角. Ad O圧乎a,/ ADO 45.答案：B 9.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于AB）且PA= AC,则二面角P- BC-A的大小为A. 60B. 30C. 45D. 15答案C10.如图，已知四棱锥P ABC啲底面是正方形，PAI平面ABCD 且 PA= AD则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为A. 90.60(C. 45.30解析： AB/ CD面PAB与平面P

6、CD勺交线丨必为过P点与AB平行的直线. PAI平面 ABCD PAIAB, PAL CD 又 CDI AD DC!平面 PAD DC! PD PALl , PDLI，即/ APD为所求二面角的平面角,/ AP&45.答案：C11.把正方形ABCD&对角线BD折成直二面角，对于下列结论:ACL BDADC是正三角形；AB与CD成 60角;AB与平面BCD成60角.贝y其中正确结论的个数是 （）A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个丄解析：取BD的中点0,贝y BDL OC BDL OA得BD1平面 AOC - BD1 AC 正确；cosADecos45- cos45 = 2, /

7、 ADG60,AD= DC ADC是正三角形，正确；AB与CD成60角，正确；AB与平面BCD成角/ AB945，错误.答案：CC作截面，则二面角12.如图所示的正方体 ABCBABCD中，过顶点B、DB- DC C的平面角的余弦值是解析：取CD的中点0,连接BO CO则BQL CD,丄CD,/.I备dCO/ BOO二面角B DC C的平面角.设正方体的棱长为1,则CO=, OB=，且 BO 1,口f 1:Z sh.-1fi cos Z BO. OBOi诸耳答案：習13.如图，在直三棱柱 ABC- ABC中,AB= BO AA,/ AB(e 90，点 E、F分别是棱AB BB的中点则直线EF和

8、BC所成的角是A. 45B. 60C. 90D. 120A)解析：取BiC的中点G AB的中点H,连结FG BGHG EH 贝Fg/ BC,1且/ EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos / EF& 2,故所 求角为60.答案：B 14.如图，将Rt ABC沿斜边上的高 AD折成120的二面角C- AA C,若直角边AB= 43, AO4/6,则二面角 A- BC D的正切值为（）D. 1解析：/ CDC - 120,过D作DEI BC于E,连结AE则/ AED即为所 求.又知AD丄平面BC D, AD= 42,在 BC D中，由余弦定理求得 BC - 1 14寸3,再由面积公式

9、 Sabc d= qBC DE= BD- C D - sin60 知 DE= 4,答案：A点评：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算. 如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键.15.在矩形 ABCDK AB-3,A BD- P的度数是（A. 30C. 60芈，那么二面角5解析：如右图所示，过A作AE BD垂足为E,连结PE则PE1 BD三垂线定理）,故/ PEA为二面角P BD-A的平面角.在 Rt BAD中, AE= ABDD-12.在 Rt PAE中, tan / PEA-PA,aZ PEA-30.答案：A PDCA PBC DEI PC/ DEB就是二面角D- PC- B的平

10、面角,O为DB的中点,又面 PABL面 PCD-P8 2ab在 Rt POC中，OC=所以PC=2ab2Iab- OE=1=二皆ABn2 n/ OEB=s，丄 DEB= 丁.答案：C17.如图，在四棱锥 V-ABCD中，底面ABC區边长为2的正方形，其它四个 侧面都是侧棱长为曲的等腰三角形，则二面角V-AB-C的度数是答案 60冗18.如图，直角梯形 ABCDK AB/ CD / DA* ，点M N分别在AB CD上，且 MNIAB MCLCB BO2,4,现将梯形 ABCD& MN折起，使平面AMN与平面MNC垂直(如图).(1)求证：AB/平面DNC 当DN= 3时，求二面角 D- BC-

11、 N的大小.解：证明：MB/ NC ME?平面DNC NC?平面DNC； MB/平面DNC同理MA/平面DNC又MA1 M吐M,且MA M日平面MAB 平 严旷平 NCD?AB/平面DNCAE?平面MAB过N作NHL BC交BC延长线于H,平面 AMNL平面 MNCBDNL MN DNL平面 MBCN从而 DHL BC/ DHN为二面角D- BC- N的平面角.由 M* 4, BO 2,Z MC&90 知/ MBG60,CNk4 2cos60= 3,.NHk3sin60 由条件知：tanNH* D*史，/ NH*30.19.如图，已知在四棱锥P ABCDK底面ABC區矩形,PA!平面 ABCD

12、 PA*AD= 1, AB= 2, E、F分别是 ABPD的中点.(1)求证：AF/平面PEC 求PC与平面ABC断成的角的正切值;求二面角P EC D的正切值.解：(1)证明：如图，取PC的中点0,四边形AEOF是平行四边形,连接 OF OE 贝y F0/ DC1 且 Fd 2DC FO/ AE又E是AB的中点,且 AB= DC FO= AE又O田平面PECc AF/ OEAF?平面PEC AF/平面 PEC如图，连接AC PA!平面 ABCD/ PCA是直线PC与平面ABC所成的角.在 Rt PAC中,PAtan / PC心 AC即直线PC与平面ABC断成的角的正切值为雲5如图，作AM!

13、CE交CE的延长线于M连接PM由三垂线定理得PM! CE/ PMAi二面角P EC- D的平面角.由 AMEA CBE可得 tan 2 P唤 AApV2.二面角P EC D的正切值为边.20.如图所示，四棱锥 P-ABC啲底面ABC边长为1的菱形,/ BC&60, E是 CD的中点，PA1底面 ABCD PA=p3.(1)证明：平面 PBEL平面PAB f求二面角A- BE- P的大小.2(1)证明 如图所示，连接BD由ABC【是菱形BC&60 知， BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE1 CD又 AB/ CDC所以BEL AB又因为PAL平面ABCDBE?平面 ABCD所以PAL

14、 BE而 PAI AB= A,因此BE!平面PAB又B田平面PBE所以平面PBE!平面PAB 解 由 知，BE!平面PAB PB?平面PAB所以PB丄BE又ABI BE所以/ PBA是二面角A BE- P的平面角.W，则/ PB心60.PA在 Rt PAB中, tan / PB心 ab故二面角A BE- P的大小是60.21.已知平面a外两点A B到平面a的距离分别为1和2, A B两点在a内的射影之间距离为 2,求直线AB和平面a所成的角.解如图(1)，当A B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为A、Bl,贝y AA= 1, BB= 2,BA = 73.过点 A 作 A

15、HL BB于H,则AB和 a所成角即为/ HAB而 tan / BAHk二申./.Z BAHk 30.如图，当A、B位于平面a异侧时，经A B分别作AA丄a于A ,BBL a于Bi,ABn a = C,则AB为AB在平面a上的射影，/ BCB或/ACA为AB与平面a所成角. BCBA ACA,.|A= 2,A BC= 2CA,而 BC+ CA=V3, BOBB 2 L tan / BCE茕=師二,3/ BCE60,A AB与 a 所成角为 60.综合、 可知：AB与平面a所成角为30或60.22.如图，在三棱锥P ABC中,P/U底面 ABC / BC* 90，点 D E 分别在棱PB PC上，且DE/ BC(1)求证：BC丄平面PAC(2)是否存在点E使得二面角A DE- P为直二面角？并说