数值积分算法实验报告

1、数值积分算法实验报告吴旭明实验目的：验证数值分析理论实验工具： matlab摘要： 本实验通过对比龙贝格积分算法和三点， 五点勒让德高斯求积公式， 对数值分析理论 进行验证。文章中提供了用 matlab 写的小程序即运行结果。我们可以看到，龙贝格积分算 法方便快捷且效率较高。 三点积分算法不足以满足精度要求， 五点法基本可以满足， 但是如 果追求更高精度， 则五点法改进困难， 而龙贝格则可适用于任何精度的计算。 高斯求积的效 率是比较高的，只需五点就可以达到非常高的精度。一 matlab 源程序1 %龙贝格积分算法， jd 表示相对精度function z=lbgjf(a,b,jd)h=(b-

2、a);TT(1,1)=h.*(f(b)+f(a)/2;k=2;TT(1,2)=TT(1,1)./2+h/2.*f(a+h/2);TT(2,1)=TT(1,2).*4/3-TT(1,1)./3;z=TT(2,1);while abs(TT(k,1)-TT(k-1,1)./TT(k,1)=jdk=k+1;h=h./2;for j=12A(k-2)ff(1,j)=f(a+h*(j-1/2);endfff=sum(ff).*h/2;TT(1,k)=TT(1,k-1)./2+fff; for j=2:kTTQ,k-j+1)=4AQ-1).*TTa-1,k-j+2)./(4Aa-1)-1)-TTQ-1,k

3、-j+1)/(4Aa-1 )-1);z=TT(j,k-j+1);endend 2 %五点法function z=fivedlrd(a,b)Ak=0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.4786287 0.2369269;xk=-0.9061798-0.5384693 0 0.5384693 0.9061798;for i=1:5ff(i)=Ak(i).*f(b-a).*xk(i)./2+(b+a)./2);endz=(b-a)./2.*sum(ff)3%三点法-function z=threedlrd(a,b)Ak=0.5555556 0.8888889 0.55555

4、56; xk=-0.7745967 0 0.7745967;for i=1:3ff(i)=Ak(i).*f(b-a).*xk(i)./2+(b+a)./2);endz=(b-a)./2.*sum(ff)4%另用一 matlab 文件来表示函数 function y=f(x)y=s in (x)A10;end实验过程1 f(x)=xA2,2 f(x)=x.3可以看到，对于这种简单函数三种方法基本没有区别3 f(x)=s in (x)A10.lbgjf(2,3,10e-6) ans =0.0608 fivedlrd(2,3)0.0608 ans =0.0608 threedlrd(2,3)0.06

5、18ans =0.06184f(x)=exp (ex p(si ngFO)threedlrd(2,3)2.9278 ans =2.9278 fivedlrd(2,3)2.9304 ans =2.9304 lbgjf(2,3,10e-6) ans =2.9304 可见三点法已经不再满足要求。而就运行的效率而言，由于函数还是比较简单， 龙贝格积分算法与五点法看不出区别。试着运行较复杂的函数，并调整小数保留位数1 , f= exp (ex p(si n(x)A10)%设置保留十位有效数字digits(10) vpa(threedlrd(0,1)2.7833 ans = 2.783341381 vpa

6、(fivedlrd(0,1)2.7843 ans = 2.784294601 vpa(lbgjf(0,1,10e-10) ans = 2.784300709 此时五点积分也有四位有效数字。2 f= xA(xAex p(x)vpa(fivedlrd(1,2)4.6999e+031 ans = .4699887108e32 vpa(lbgjf(0,1,10e-10)ans = .8427189556此时，可以看到龙贝格积分的速度已经没有五点法快，但是也还不是太慢。4 f= x.A(x.Aex p(x);vpa(lbgjf(1,2,10e40) ans = .2620897008e48 vpa(lbgjf(1,2,10e38) ans = .2620897008e48 vpa(lbgjf(1,2,10e31)Error in = lbgjf at 12 ff(1,j)=f(a+h*(j-1/2); vpa(fivedlrd(1,2)4.6999e+031 ans =.4699887108e32 此时可以看到龙贝格积分的精度如果调得小一点根本就没法运行，原因是f 增长速度太快，而五点法则不考虑这些。 龙贝格积分算法只有把精度调到 10e38 时，才能得到结果。 而哪个 结果正确呢？暂时还没有验证，留着这个问题。我相信龙贝格是基于任何精度的，而 10e38 这个精度比起它计算