分式方程的解法及应用(基础)导学案+习题【含答案】(最新整理)_1

1、【学习目标】分式方程的解法及应用（基础）1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程2. 会列出分式方程解简单的应用问题【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知数.（2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3） 分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以

2、最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1） 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2） 解这个整式方程，求出整式方程的解；（3） 检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因

3、：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误， 而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用

4、分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1） 审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2） 设未知数；（3） 找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4） 解这个分式方程；（5） 验根，检验是否是增根；（6） 写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（）x + 3a- x - 2 = 1x -1b- x + 2 =44312x +1x -1x -1c 3x2 + 1 x = 05d += x ，（ a ， b 为非零常数）xaab【答案】b；【解析】a、c 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常

5、数；d 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有 b 项中的方程符合分式方程的定义【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数 类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）【答案与解析】10510+5= 2 ；（2）2x -11- 2x5-1= 0 x2 + 3xx2 - x解：（1）+= 2 ， 2x -11- 2x将方程两边同乘(2x -1) ，得10 + (-5) = 2(2x -1) 7解方程，得 x =475检验：将 x =代入2x -1，得2x -1 = 0 42 x =7是原方程的解4（2）5-1= 0

6、，x2 + 3xx2 - x方程两边同乘以 x(x + 3)(x -1) ，得5(x -1) - (x + 3) = 0 解这个方程，得 x = 2 检验：把 x = 2 代入最简公分母，得 251100原方程的解是 x = 2 【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根举一反三：2 - x1【变式】解方程：=- 2 x - 33 - x【答案】2 - x1解：=- 2 ，x - 33 - x方程两边都乘 x - 3 ，得2 - x = -1- 2(x - 3) ，解这个方程，得 x = 3 ，检验：当

7、x = 3 时， x - 3 = 0 ， x = 3 是增根，原方程无解类型三、分式方程的增根【高清课堂 分式方程的解法及应用 例 3（1）】3、 m 为何值时，关于 x 的方程2x - 2+ mx=x2 - 43x + 2会产生增根？【思路点拨】若分式方程产生增根，则(x - 2)(x + 2) = 0 ，即 x = 2 或 x = -2 ，然后把 x = 2 代入由分式方程转化得的整式方程求出 m 的值【答案与解析】解： 方程两边同乘(x + 2)(x - 2) 约去分母，得2(x + 2) + mx = 3(x - 2) 整理得(m -1)x = -10 原方程有增根，(x - 2)(x

8、 + 2) = 0 ，即 x = 2 或 x = -2 把 x = 2 代入(m -1)x = -10 ，解得 m = -4 把 x = -2 代入(m -1)x = -10 ，解得 m = 6 所以当 m = -4 或 m = 6 时，方程会产生增根【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解 举一反三：【变式】如果方程1+ 3 = 1- x x - 22 - x有增根，那么增根是【答案】 x = 2 ；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母 x - 2 = 0 或2 - x = 0 可得 x = 2 所以增根是 x = 2 类型四、

9、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种 60 棵树所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等【答案与解析】解：设甲班每小时种 x 棵树，则乙班每小时种( x + 2) 棵树6066由题意可得=xx + 2，解这个方程，得 x = 20 经检验 x = 20 是原方程的根且符合题意 所以 x + 2 = 22 (棵)答：甲班每小时种 20 棵树，乙班每小时种 22 棵树【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含 x

10、的分式表示甲、乙两班种树所用的时间举一反三：1【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共3同工作了半个月，总工程全部完成哪个队的施工速度快?【答案】1解：设乙队单独施工 1 个月能完成工程的 ，总工程量为 1x根据工程的实际进度，得1 + 1 + 1 = 1362x方程两边同时乘以6x ，得2x + x + 3 = 6x 解这个方程得 x = 1 检验：当 x = 1 时， 6x 60， 所以 x = 1 是原分式方程的解1由上可知，若乙队单独工作 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月完成任务的 ，可知乙队施工速度快3答：乙队

11、施工速度快【巩固练习】一.选择题1. 下列关于 x 的方程中，不是分式方程的是（）a 1 + x = 1xb. 3x= 4x2 +1c. x + 3x = 2 d. x =53451216x - 62. 解分式方程x - 1 =x2 - 1，可得结果()a. x = 1x - 4b. x = -14 - 2xc. x = 3d. 无解3. 要使的值和的值互为倒数，则 x 的值为()x - 54 - x1a.0b.1c.d.124. 已知x -1 =x + 2y - 3y - 4，若用含 x 的代数式表示 y ，则以下结果正确的是()a. y =x + 103b. y = x + 23kc. y

12、 =10 - x3d. y = -7x - 25. 若关于 x 的方程x - 1= 1 -1 - x有增根，则 k 的值为()a.3b.1c.0d.16. 完成某项工作，甲独做需 a 小时，乙独做需 b 小时，则两人合作完成这项工作的 80，所需要的时间是()a. 4 (a + b) 小时b.54 ( 15 a+ 1 ) 小时b4ababc.小时d.小时5(a + b)a + b二.填空题时，分式与7. 当 x 3x26 - x的值互为相反数8. 仓库贮存水果 a 吨，原计划每天供应市场 m 吨，若每天多供应 2 吨，则要少供应天439. x 时，两分式与的值相等x - 4x - 12ax +

13、 3510. 当 a 时，关于 x 的方程a - x=的根是 1411. 若方程x + 1 -x - 14x2 - 1a= 1 有增根，则增根是12. 关于 x 的方程三.解答题x + 1= 1 的解是负数，则 a 的取值范围为13. 解下列分式方程：11- x5x - 723x21（1）=- 3 ；（2）=+；（3）-+= 0 x - 22 - xx2 - 3x + 2x -1x - 2x2 -1x + 2x -114. 甲、乙两地相距 50 km ，a 骑自行车，b 乘汽车，同时从甲城出发去乙城已知汽车的速度是自行车速度的 2.5倍，b 中途休息了 0.5 小时还比 a 早到 2 小时，求

14、自行车和汽车的速度15. 有一个两位数，它的个位数字比十位数字大 1，这个两位数被个位数字除时，商是 8，余数是 2，求这个两位数【答案与解析】一.选择题1. 【答案】c；【解析】c 选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2. 【答案】d；【解析】 x = 1 是原方程的增根.3. 【答案】b；【解析】由题意4. 【答案】c；x - 4 4 - 2x = 1，化简得：x - 54 - x2x - 4x - 5= 1解得 x = -1 .【解析】由题意( x -1)( y - 4) = ( x + 2)( y - 3) ，化简得： 3y = 10 - x ，所以选 c.5. 【答案】a；【解析

15、】将 x = 1 代入3 = x -1+ k ，得 k = 3 .6. 【答案】c；4114ab【解析】由题意5二.填空题7. 【答案】18； (+ab) =5a + b，所以选 c.【解析】 3 +x26 - x= 0 ，解得 x = 18 .8. 【答案】2a；m2 + 2m【解析】原计划能供应 a 天，现在能供应ma m + 2天，则少供应2a天.m2 + 2m9. 【答案】8；43【解析】x - 4 =17x -1，解得 x = -8 .10. 【答案】 -；317【解析】将 x = 1 代入原方程，得8a + 5 = 5a -12 ，解得 a = -.311. 【答案】 x = 1

16、；【解析】原方程化为： ( x +1)2 - 4 = x2 -1 ，解得 x = 1 ，经检验 x = 1 是增根.12. 【答案】 a 1 且 a0；【解析】原方程化为 a = x +1，x = a -1 0 ，解得 a 1 .x-1，解得 a0.三.解答题13. 【解析】解：(1)方程的两边都乘 x - 2 ，得1 = x -1- 3(x - 2) 解这个整式方程，得 x 2检验：当 x 2 时， x 20，所以 2 是增根，所以原方程无解(2)方程两边同乘(x - 2)(x -1) 约去分母，得5x - 7 = 2(x - 2) + 3(x -1) 整理，得5x - 7 = 5x - 7

17、 这个式子为恒等式.检验：当 x = 1 ， x = 2 时， (x - 2)(x -1) = 0 ，所以 x = 1 和 x = 2 是增根因此，原方程的解是 x 1 且 x 2 的任何实数(3)方程两边同乘(x + 2)(x +1)(x -1) ，得 x(x + 2) - 2(x +1)(x -1) + (x + 2)(x +1) = 0 4解此方程，得 x = -5检验：把 x = - 45代入(x + 2)(x +1)(x -1)得 - 4 + 2 - 4 +1 - 4 -1 0 ，5 5 5 4所以原方程的解是 x = -514. 【解析】解：设自行车的速度为 xkm / h ，汽车

18、的速度为2.5xkm / h ，5050由题意，x=+ 0.5 + 2 ， 2.5x解方程得：125 = 50 + 6.25x经检验， x = 12 是原方程的根，2.5x = 30 .所以自行车的速度为 12 km / h ，汽车的速度是 30 km / h .答：自行车的速度为 12 km / h ，汽车的速度是 30 km / h . 15.【解析】解：设十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 x +1，10x + (x +1) - 2则：x +1= 8 解方程得： x = 3 经检验： x = 3 是原方程的根所以个位上的数字为： x +1314 所以这个两位数是：310434答：这个两位数是 34“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are v