因式分解的复习

1、因式分解的复习新课指南1. 知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算例如：宀】農冷474-】)(2) 因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.知识点2提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=ma+b+c)就是把na+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各 项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫 做提公因式法.2 2例如：x -x=x(x-1), 8a b-

2、4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，2 2(1) 3x y-xy+y=y(3x -x);2 2(2) x -2x+3=(x-1) +2; 2(3) x y +2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4) x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+xn.点拨(1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.(2) 不是因式分解，不满足因式分解的含义(3) 不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.(4) 不是因式分解，是整式乘法.知识点3公式法2 2(1) 平方差公式：a-b =(a+b)( a-b).+(p+q)x+pq的多项

3、式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力.2. 过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.3. 情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美， 体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.难点是分组分解法和形如4. 重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解.教材解读精华要义数学与生活630能被哪些数整除？说说你是怎么想的.思考讨论 在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式， 即 630=2 X 32X 5X

4、 7.这种变类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢？知识详解知识点1因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做_. ”.1- . - ” ;- ” ; . . - ” -_ 把这个多项式分解因式.即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.2 2 2例如：4x-9=(2x)-3 =(2x+3)(2x-3).(2) 完全平方公式：a22ab+b2=(a 3):其中，a22ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2倍，等于这两个数的和(或差)

5、的平 方.2 2 2 2 2例如：4x-12xy+9y =(2x) -2 - 2x 3y+(3y) =(2x-3y).探究交流下列变形是否正确？为什么？2 2(1) x -3y =(x+3y)(x-3y);(2) 4x 2-6xy+9y 2=(2x-3y) 2;2 2(3) x -2x-1=(x-1).点拨(1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.(2) 不正确，4x2-6xy+9y 2不是完全平方式，不能进行分解.(3) 不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范分组分解法am+a n+bm+b n=(am+a n)+(bm+b n)=a(m+n)+b

6、(m+n) =(m+n)( a+b)2 2 2 2x -y +2x+1=(x +2x+1)-y围内也不能分解.知识点4形如:2 2-y(1) 形如：=(x+1) =(x+y+1)(x-y+1).分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做把多项式进行适当的分组， 分组分解法.知识规律小也(1)分组分解法一般分组方式不惟一.例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：方法 1: am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)= a(m+n)+b(m+n)=(m+n)( a+b).方法 2： am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n( a+b

7、)=(m+n)( a+b).(2) 分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能 运用公式.例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y 2+2x+1分组后能运用公式.分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：(1) 按字母分组；(2) 按次数分组；(3) 按系数分组.例如：把下列各式因式分解.(1) am+bman+bn；(2) x -y +x+y；(3) 2 ax-5by+2 ay-5bx.知识点5关于x2+(p+q)x+ pq型二次三项式的因式分解x +(p+q)x+ pq=(x+

8、p)(x+q).事实上：x +(p+q)x+ pq2=x +px+qx+pq2=(x +p x)+(qx+pq)=x(x+ p)+q(x+ p)=(x+p)(x+q).2 x +(p+q)x+ pq=(x+ p) (x+q).p=q时，这个式子化成x2+2px+ p2或利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当 x2+2qx+q2,是完全平方式，可以运用公式分解因式2 . .例如：把X +3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式 x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1 X 2,次项系数3=1+2,这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)典例剖析师生

9、互动基础知识应用题(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式;本节基础知识的应用主要包括：会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.例1用提公因式法将下列各式因式分解.234(1) ax- ay;(2)6xyz-3xz;-x z+x y;a)；(4) 36 aby-12 abx+6ab;(5)3x(a-b)+2y(b-(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中 化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析)(1)(4)题直接提取公因式分解即可， 题把b- a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)解：(1) a

10、x- ay=a(x-y)2(2) 6xyz-3xz =3xz(2y-z).(3) -x z+x y=x (-z+xy).(4) 36 aby-12 abx+6ab=6ab(6y-2x+1).(5) 3x( a-b)+2y(b- a)=3x( a-b)-2y( a-b)=( a-b)(3x-2y).(6) x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m) =x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)2=-(m-x) (m-y).小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1) 因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.女口： (7m

11、-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8 n)-(3m-2 n) =(x+y)(4m-6 n).=2(x+y)(2m-3 n).(2) 如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b) n=(b- a) n(n为偶数)._232例如：分解因式 a(x-y) +b(y-x) +c(y-x).本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成. _ 2 2(y-x)比较简便，因为(x-y)=(y-x).a(x-y) 2+b(y-x) 3+c(y-x) 2

12、=a(y-x) 2+b(y-x) 3+c(y-x) 22=(y-x) a+b(y-x)+c2=(y-x) (a+by-bx+c).(3) 因式分解最后如果有同底数幕，要写成积的形式 例如：(7 a-8b)( a-2b)+( a-8b)( a-2b) =(a-2b)(7 a-8b)+( a-8b)=(a-2b)(8 a-16b) =8(a-2b)( a-2b)2=8(a-2b).学生做一做把下列各式分解因式.(xy+ ay-by);(4)3x( a-b)-2y(b- a); ab2(x-y) m+a2b(x-y)原式=y(x+ a-b);原式=(a-b)(3x+2y); 原式=ab(x-y) m

13、(b+ ax- ay).(1) am+3n ;i(2 a+b)(2 a-3b)+(2 a+5b)(2 a+b);m+1(5) 4p(1-q)3+2(q-1) 2 ;老师评一评 (1)原式=a(m+n)i(3) 原式=2(2 a+b) ;(5) 原式=(1-q) (4p-4pq+2);例2把下列各式分解因式.(2)9x 2-12x+4 ;2(m+n) -6(m+n)+9.2(1) m +2m+1;I2(3) 1-10x+25x;I(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式2 2解：(1)m+2m+1=(m+1).2 2(2) 9x -12x+4=(3x-2).(3) 1-10x+25x 2=(1

14、-5x) 2.2 2(m+n) -6(m+n)+9=(m+n-3) 学生做一做把下列各式分解因式.2(2)(x+y)-4(x+y-1).2(2)原式=(x+y-2).2 2 2(1) (x +4) -2(x +4)+1 ;I老师评一评(1)原式=(x2+3)2 ;例3把下列各式分解因式.2-2x-8 ;2 +7x-18.1,常数项10=2X 5, 一次项系数7=2+5,2 . _2(1) x +7x+10 ;I(3)y 2-7y+10 ;x +(p+q)x+ pq=(x+ p)(x+q)进行因式分解.(分析)二次三项式x2+7x+10的二次项系数为 所以这是一个x2+(p+q)x+ pq型的式

15、子，可以用(1)x 2+7x+10=(x+2)(x+5).2 -2x-8=(x-4)(x+2).2 -7y+10=(y-2)(y-5).2 +7x-18=(x+9)(x-2).2 _ _解：(2) x(3) y(4) x小结 对于x +(p+q)x+ pq型二次三项式的因式分解， pq0，则p,q同号，若p+q0, 则 p0, q0;若 q+pvO,贝y pv 0, qv 0;若 pq 0,则绝对 值大的为正数，若 p+q0, (b+3) 0,当 a=2,b=-3 时,a+b-4 a+6b+18 有最小值 5.(3)( ax+by) 2+( ay-bx) 222- .2 2 22- . 2 2=a x +2abxy+b y +a y -2 abxy+b x2 2 2 2 2 2 2 2=a x +b y +a y +b x.2222 八 2222、=(a x +a y )+(b y +b x )=a2(x 2+y2)+b2(x2+y2)=(a2+b2)(x 2+y2).2 2 2(4)a -2 ab+b -c -2c-12 2 2=(a -2 ab+b )-(c