勾股定理的各类题型(最新整理)

1、勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法 1：方法 2：方法 3：二：方程思想和勾股定理结合的题目1.（2016 春宜春期末）一旗杆在其的b 处折断，量得ac=5 米，则旗杆原来的高度为（）a 米b2米c10 米d 米【考点】勾股定理的应用【分析】可设 ab=x，则 bc=2x，进而在abc 中，利用勾股定理求解 x 的值即可【解答】解：由题意可得，ac2=bc2ab2，即（2x）2x2=52，解得 x=，所以旗杆原来的高度为 3x=5，故选 d【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形2.（2016 春防城区期中）如图，在abc 中，b=40，efab，1=50，ce=3，ef比

2、 cf 大 1，则 ef 的长为（）a5b6c3d4【考点】勾股定理；平行线的性质【分析】由平行线的性质得出a=1=50，得出c=90，设 cf=x，则 ef=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出 x，即可得出 ef 的长【解答】解：efab，a=1=50，a+b=50+40=90，c=90，设 cf=x，则 ef=x+1，根据勾股定理得：ce2+cf2=ef2， 即 32+x2=（x+1）2，解得：x=4，ef=4+1=5，故选：a【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质， 并能进行推理论证与计算是解决问题的关键3.（2015 春蚌埠期中）已知，如

3、图长方形 abcd 中，ab=3cm，ad=9cm，将此长方形折叠，使点 b 与 d 重合，折痕为 ef，则 be 的长为（）a3cm b4cm c5cm d6cm【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质可得 be=ed，设 ae=x，表示出 be=9x，然后在 rtabe 中，利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：长方形折叠点 b 与点 d 重合，be=ed，设 ae=x，则 ed=9x，be=9x，在 rtabe 中，ab2+ae2=be2，即 32+x2=（9x）2，解得 x=4，ae 的长是 4，be=94=5，故选 c【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据

4、勾股定理列出关于 ae 的长的方程是解题的关键4.（2008 秋奎文区校级期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面那么水深多少？芦苇长为多少？【考点】勾股定理的应用【分析】找到题中的直角三角形，设水深为 x 尺，根据勾股定理解答【解答】解；设水深为 x 尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得： ，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺）， 答：水池深 12 尺，芦苇长 13

5、 尺【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就三：勾股定理应用：求最短距离问题1.（2014 秋环翠区期中）如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 a 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达 b，那么所用细线最短需要（）a12cmb11cm c10cm d9cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短” 得出结果【解答】解：将长方体展开，连接 a、b， 则 aa=1+3+1+3=8（cm），ab=6cm，根据两点之间线段最短，ab=10cm 故

6、选 c【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”， 用勾股定理解决2.（2016 春繁昌县期末）如图，是一长、宽都是 3cm，高 bc=9cm 的长方体纸箱，bc 上有一点 p，pc=bc，一只蚂蚁从点 a 出发沿纸箱表面爬行到点 p 的最短距离是（）a6cmb3cmc10cm d12cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】将图形展开，可得到安排 ap 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可【解答】解：（1）如图 1，ad=3cm，dp=3+6=9cm，在 rtadp 中，ap=3cm；（2）如图 2，ac=6cm，cp=3+3=6cm， rtadp

7、 中，ap=6cm综上，蚂蚁从点 a 出发沿纸箱表面爬行到点 p 的最短距离是 6cm故选 a【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键3.（2016大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 a 点绕到正上方 b 点共四圈，已知易拉罐底面周长是 12cm，高是 20cm，那么所需彩带最短的是（）a13cmb4 cm c4 cm d52cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的 a 处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的 b 处，

8、将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，易拉罐底面周长是 12cm，高是 20cm，x2=（124）2+202， 所以彩带最短是 52cm 故选 d【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”， 用勾股定理解决4.（2016游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为 16cm、6cm 和 6cm，在罐内点e 处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形abcd 中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少 cm（）a7

9、b c24d 【考点】平面展开-最短路径问题【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算【解答】解：若蚂蚁从平面 abcd 和平面 cdfe 经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离如图 1：he= =7，若蚂蚁从平面 abcd 和平面 bceh 经过， 则蚂蚁到达饼干的最短距离如图 2：he= =故选 b【点评】考查了平面展开最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点， 然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段5.（2015 秋宜兴市校级期中）如图，一圆柱高 8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点 a爬到点 b 处吃食，要爬行的

10、最短路程是 10cm【考点】平面展开-最短路径问题【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答【解答】解：底面圆周长为 2r，底面半圆弧长为 r，即半圆弧长为：2 =6（cm）， 展开得：bc=8cm，ac=6cm，根据勾股定理得：ab=10（cm） 故答案为：10【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度四：网格问题（简单）1、在边长为 1 的小正方形组成的网格中，abc 的三个顶点均在格点上，则abc中 bc 边上的高为答案：设abc 中 bc 边上的高为 hab 2 =5，ac 2 =20，bc 2

11、 =25，bc 2 =ab 2 +ac 2 ，a=90，1s abc = 21ab ac= 2bch，即5 25=5h解得，h=2 故答案是：22. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”如图（一）中四边形 abcd 就是一个“格点四边形”（1） 求图（一）中四边形 abcd 的面积；（2） 在图（二）方格纸中画一个格点三角形 efg，使efg 的面积等于四边形 abcd 的面积且为轴对称图形cbda图（一）图（二）1答案：解：（1）方法一：s 2 64121111方法二：s46 2 21 2 41 2 34 2 2312（2）（只要画

12、出一种即可）3、如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，abc 的三个顶点均在格点上 请按要求完成下列各题：（1） 画 adbc（d 为格点），连接 cd；（2） 试判断abc 的形状？请说明理由； 答案：（1）图象如图所示；（2）由图象可知 ab=1+2=5， ac=2+4=20， bc=3+4=25，bc=ab+ac，abc 是直角三角形。4、如图，是一块由边长为 20cm 的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点 a 处，它想先后吃到小朋友撒在 b、c 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？abc答案：ab=5cm，bc=13cm所以其最短路程为 18cm（难题）5、如图中的虚线网格

13、我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为 1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1） 直接写出单位正三角形的高与面积。（2） 图中的平行四边形 abcd 含有多少个单位正三角形？平行四边形 abcd 的面积是多少？（3） 求出图中线段 ac 的长（可作辅助线）。【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2） 如图可直接得出平行四边形 abcd 含有 24 个单位正三角形，因此其面积。（3） 过 a 作 akbc 于点 k（如图所示），则在 rtack 中， ，故五：方位角问题31、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 a 点出发，沿北偏东 60方向走了500m到达 b

14、 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 c 点（1） 求 a、c 两点之间的距离；（2） 确定目的地 c 在营地 a 的什么方向？2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为 15 千米早晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米/ 时的速度向东行走，1 小时后乙出发，他以 5 千米/时的速度向北行进，上午 10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？答案：如图,甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时,走了 12 千米,即 oa=12乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了

15、1 小时,走了 5 千米,即 ob=5在 rtoab 中,ab2=122 十 52=169,ab=13,因此,上午 10：00 时,甲、乙两人相距 13 千米1513,甲、乙两人还能保持联系答：上午 10：00 甲、乙两人相距 13 千米,两人还能保持联系3、如图，甲乙两船从港口 a 同时出发，甲船以 16 海里/时速度向北偏东 40航行，乙船向南偏东 50航行，3 小时后，甲船到达 c 岛，乙船到达 b 岛.若 c、b 两岛相距 60 海里，问乙船的航速是多少？答案：从两船航行的方向看,北偏东 40 度和南偏东 50 度的夹角为 90 acab甲船速度每小时 16 海里,所以 ac=163=

16、48 海里ab=bc-ac=3600-2304=1296ab=36所以乙船速度为每小时：363=12 海里4、如图，北海海面上，一艘解放军军舰正在基地 a 的正东方向且距 a 地 40 海里的 b 处训练，突然接基地命令，要该舰前往 c 岛，接送一病危渔民到基地医院救治，已知 c 岛在 a的北偏东 60 0 方向，且在 b 北偏西 45 0 方向，军舰从 b 处出发，平均每小时走 20 海里，需3要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到 0.1 小时，参考数据： 1.73 ，2 1.41）解：作 cdab 于 d，根据题意，得cab=30，cbd=45223不妨设 cd=x 海里，则 b

17、d=x 海里，ad=x 海里，ac=x 海里， bc=x 海里，x+x=4033x=（20-20）海里3ac+bc= （2 20- 20）+（2 20- 20）632=20+40-20-40= 2（06 + 2- 2）49.98（海里）2249.9820=2.4992.5（小时）答：需要大约 2.5 小时才能把患病渔民送到基地医院。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant