3.1 指数概忥的推广及幂函数

1、3.1 指数概念的推广及幂函数一、教学目标：1.知识目标：（1）理解整数指数幂推广到有理指数幂的过程，会实行负指数幂与正指数幂的相互转化，会把根式转化为分数指数幂，掌握有理数指数幂的运算法则. （2）会用函数型计算器计算有理指数幂；（3）会做常见的幂函数的图像.2.水平目标：培养学生归纳、推理水平和逻辑思维水平.3.思想品质目标：培养学生解决实际问题的水平.二、教学重点：有理数指数幂的运算.三、教学难点：有理数指数幂的运算. 教师精讲，学生针对性练习是突破难点的关键.四、教学方法：讲授法、图示与练习法相结合.五、教学过程：（一） 指数概念的推广1整数指数幂（1）n个a相乘写作，（2）正整数指数

2、幂的运算法则： （m，n 为正整数）， （m，n为正整数，mn，a0）， (m，n为正整数)， (n为正整数).（3）我们规定： (a0) , (a0，n为正整数).这样就将指数推广到整数，上述四条运算法则对m，n为整数时都成立例如，；.注意：零的零次方没有意义，零的负整数次方也没有意义例1 计算下列各式的值：（）； （）.解 （）；（）练习题3.1.1.1计算下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) ； (4) .参考答案：（1） （2）1 （3） （4）分数指数我们知道，如果，那么叫做a的二次方根，其中叫做算术根；如果，那么叫做的三次方根一般地，如果（ ），那么叫做的次方根正数的偶次方

3、根有两个，分别表示为和，其中叫做的次算术根，负数的偶次方根没有意义.任意实数的奇次方根只有一个，表示为例如，81的4次方根有两个，它们分别是3和-3，32的5次方根是2，-32的5次方根是-2形如（ ）的式子叫做次根式，叫做根指数，叫做被开方式由次根式的定义知，当有意义时， 有（1）；（2）为奇数时，为偶数时， .分析 ，如果按照整数指数幂运算法则（3），能够得到.为了使得整数指数幂的四条运算法则对分数指数也成立我们规定： （a0，m，n为正整数，n）， （a0，m，n为正整数）.这样，就将整数指数推广到分数指数，而且整数指数幂的四条运算法则都成立例如，综上所述，我们已经把正整数幂推广到了有理

4、数指数幂，并有运算法则：（） （a0，p，q为有理数）（） （a0，p，q为有理数）（） （a0，b0，p为有理数）注意：底为正数是运算法则成立的必备条件.能够证明p, q为实数，上述运算法则也成立 例2 计算下列各式的值： (1) ; (2) .解 (1)；（2）显然，把根式化为指数式后，运算变得简便多了.例3 计算下列各式（a,b均为正数）. () ； (2) .例4 化简. 练习题3.1.1.21. 计算下列各式（1）; （2） ；（3）；（4）.2.化简下列各式：（1）； *（2）；*（3）. 参考答案：1.（1）（2）（3）（4）2.（1）（2）（3）（二） 利用计算器实行幂的运算利

5、用函数型计算器能够实行幂的运算（方法详见第9章），下面通过例题来说明.例5 用函数型计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）： （）；（）；（）解 利用计算器实行整数指数幂的计算的主要步骤是“设定状态输入a值按对应函数键输入b值按等号键显示结果”.依照步骤分别实行计算，得（1）454.354 2；（2）0.354 3；(3) 4.079 9.注意：实行混合运算时，要根据需要添加括号.例6 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）：（）； （）；（）解 利用计算器实行分数指数幂的计算的方法与整数指数幂计算的方法相同，仅仅在输入指数b时，因为是分数不能直接一步输入，需要添加括号.

6、依照程序计算，得（）1.148 7；（）0.460 5；（）4.589 3.练习题3.1.21. 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）：（1）1.9； (2) 3.7； (3) . 2. 计算下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .3. 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1）：(1) ； (2)； (3) ； (4).参考答案：1.（1）13.032 1 （2）1.442 1 （3）7.803 7 2.（1）0.3（2）（3）（4）（三） 幂函数前面曾经研究了函数y=x、函数和(x0)的图像（图3-3）和性质，这些函数都是幂函数.y11xoyyxo1

7、1o1x1图3-3一般地，形如的函数叫做幂函数，其中为常数，x为自变量.解 函数的定义域为R，函数y=x的定义域为.分别设值列表如下： x-2-1012-8-1018x01490123以表中的每一组的值为坐标，描出相应的点，用光滑的曲线联结这些点，得到函数和函数的图像，如图3-4所示.图3-4xyo14yx1- 1xox1x2x-2-11xyx想一想：观察图3-4，这两个函数的图像都经过哪两个点？对于幂函数，当0时，函数的图像是否都经过这两个点？回答：图像都经过点（0，0），（1，1）两点.当0时，函数的图像也都经过这两个点.例8 指出幂函数y=x-2的定义域，并做出它的图像.解 因为，所以y

8、=x-2的定义域为（-，0）（0，+）.列表如下：x-2-112y141xyo图3-5描点作图，如图3-5所示.想一想：观察图3-5,你发现图像关于哪条直线对称？由此得到函数具有什么性质？回答：图像关于y轴对称；性质（略）.练习题3.1.31. 求下列函数的定义域，并在同一坐标系下做出和的图像: ； ； ； .2. 在同一坐标系下做出和的图像，指出它们都经过哪个点？参考答案：1.（1） （2） （3） （4） 2.图像略六、小结：1 有理指数幂的知识结构框图有理指数幂整数指数幂正整数指数幂分数指数幂运算法则2利用计算器进行幂的运算.3常见幂函数、，的图像.七. 练习与作业：练习：习题3.1第1

9、题.解答：略作业：习题 3.1 第2、3（2）（4）、4（2）（4）、5、6、7、8、9（1）（2）题.选做：习题 3.1 第9（3）（4）、10题.3.2 指数函数一、教学目标：1.知识目标：（1）理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像，了解指数函数的性质；能够根据实际问题建立指数函数模型解决问题. （2）能够根据实际问题建立指数函数模型解决问题.2.能力目标：培养学生的数形结合能力和解决实际问题的能力.3.思想品质目标：我们学好数学，是为了将来更好的建设祖国.二、教学重点：指数函数的概念和指数函数的应用.三、教学难点：指数函数的应用，讲清楚指数增长模型和指数衰减模型是突破难点的关键. 四、

10、教学方法：讲授法、图示法与练习法相结合.五、教学过程：（一）指数函数1.问题的引入某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系为.这个函数的指数x为自变量，底数2是常量.2.指数函数一般地，形如 (a 0，且a 1) 的函数叫指数函数，其中a为常量.其定义域为R.例如，都是指数函数.下面作出指数函数和的图像.设值列表如下：-3-2-10123图3-6xyo112488421以上表中的每一组（x,y）的值为坐标，描出相对应的点.分别用光滑的曲线联结，得到函数和的图像，如图3-6所示.想一想：（1）函数和的值域是什么？（2）函数和的图像都经过哪个点？（

11、3）函数和在（-，+）内是增函数，还是减函数？回答：（1）值域都是； （2）图像都经过点； （3）函数在（-，+）内是增函数；函数在（-，+）内是减函数.3.指数函数的性质对于指数函数（a0且a1）具有下列性质：（1）函数的定义域是（-，+），值域为（0，+）；（2）函数图像过（0，1）点；（3）当a1时，函数在（-，+）内是增函数；当0a1，所以在（-，+）内是增函数.（2）因为，所以在（-，+）内是减函数.(3) ，因为，所以在(-，+）内是增函数.练习题3.2.11在同一坐标系下，做出函数和的图像，并指出它们的增减区间.2判断下列函数在(-，+)内是增函数，还是减函数？（1）； （2）；

12、 （3）； （4）.参考答案：1.在单调递增，在单调递减.2.（1）增函数；（2）减函数；（3）减函数；（4）增函数.（二） 指数函数的应用1. 应用举例例2 某市2000年国民生产总值20 亿元，计划在今后的10年内，平均每年增长8%，问2010年该市国民生产总值可达多少亿元？解 设该市国民生产总值在2000年后的第x年为y亿元，x=1， y=20+208%=20（1+8%）=201.08，x=2， y=201.08+201.088%=20，第x年，.当x=10时，y=2043.18亿元.所以，2010年该市国民生产总值可达43.18亿元.例3 磷的放射性同位素3 2 P经过一天衰变，其3

13、2 P的残留量为原来的95.27%，现有10克3 2 P经过14天衰变还剩下该物质多少克（精确到0.001）？解 设10克磷3 2 P经过x天衰变，剩留量为y克.x=1 y=10，x=2 y=10，经过x天，剩留量y=10，当x=14时，y=5.074（g）.所以，经过14天，放射性物质3 2 P还剩5.074克.2. 指数函数的变异上面两个例子的表达式都可以写成：（c0,a0且a1）.一般地，函数模型叫做指数模型.当a1时，叫做指数增长模型；当0a0，即零和负数没有对数.想一想：如何利用指数式得到上述对数的性质？例1 将下列指数式写成对数式：（1）； （2）；（3） （4）.解 （1） ；

14、（2） ；（3） ； （4） .例2 将下列对数式写成指数式：（1）； （2）；（3）； （4）；解 （1） ；（2）；（3）；（4）.练习题4.3.11把下列指数式写成对数式：（1）； （2）；（3）； （4）.2把下列对数式写成指数式：（1）； （2）；（3）； （4）.参考答案：1.（1）； （2）；（3）； （4）.2.（1）；（2）；（3）；（4）.（二） 常用对数与自然对数以10为底的对数叫做常用对数，简记为.如记为.以e的对数叫做自然对数，简记为.如记为.其中e=2.71 828为无理数，他在科学研究和工程计算中被经常使用.例3 用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.000 1

15、）.（1）；（2）； （3）；（4）.解 利用计算器计算对数的步骤是“设定状态按函数 ln（或log）对应键输入真数N值按等号键显示结果”.依照步骤计算，得（1）0.301 0； （2）0477 1； （3）2.30 26； (4) 0.182 3练习题4.3.2用函数计算器计算下列各式的值（精确到0.0001）.（1）；（2）；（3）；（4）.参考答案：（1） 5798 ； （2）0.7482 ；（3） 1.0438 ； （4）0.6729 .（三） 对数的运算法则以自然对数为例来研究对数的运算法则.设，则，因为，所以.由此得到法则1 （M0，N0）.当M0，N0时，还可以得到（推证过程由学

16、生自己完成）：法则2 ；法则3 （p为整数）；上述三条运算法则，对以为底的对数，都成立.例如，当M0，N0时，有（1）；（2）；（3）;*（4）（M0, m, n为正整数）.例4 用，表示下列各式：（1）； （2）； （3）.解 （1）；（2）；（3）.* 例5 计算：（1）； （2）； （3） .解 （1）；（2）；（3）.例6 已知，1.098 6.计算下列各式的值（精确到0.000 1）：（1）； （2）解 （1）= =14.621 2；（2）（）=（） 1.445 2练习题3.3.31用，表示下列各式：（1）； （2）； （3）； （4）.2已知，1.098 6，计算下列各式的值（精确

17、到0.000 1）：（1）；（2）；（3）；（4）.* 3. 计算：（1）； （2）； （3）.* 4. 已知：，求 x .参考答案：1.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .2.（1）3.583 4 ； （2）5.375 1 ；（3）1.242 4 ； （4）18.322 5 .六、小结：对数对数的定义对数的运算法则对数的性质指数幂与对数的关系常用对数与自然对数1指数、对数的知识框图2请学生将指数与对数对照比较.七. 练习与作业：练习：习题3.3第1、2、3、4题.参考答案：1. 略 2.（1）（2）（3）（4）3.（1）（2）（3）（4） 4.（1）0.699 0（2）0.968 9

18、 （3）19.016 2 （4）1.398 0 作业：习题 3.3 第5、6、7题,达标训练3.3第1、2、3、4、6题.选做：习题 3.3 第8题，达标训练3.3第5题.3.4 对数函数一、教学目标：1.知识目标：（1）对数函数的概念，会做出对数函数的图像，了解对数函数的性质；（2）能应用对数函数解决相关实际问题.2.能力目标：培养学生的数形结合能力.3.思想品质目标：学有所用，是我们追求的目标. 二、教学重点：对数函数的概念和对数函数的应用.三、教学难点：教学难点是对数函数的概念，而数形结合是突破难点的关键.四、教学方法：数形结合法、讲授法与练习法相结合.五、教学过程：复习回答问题：1对数

19、的定义；2对数的性质；3对数的运算法则.答案：略引入新课1. 问题的引入某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个细胞经过y次分裂后得到x个细胞，则y与x的函数关系是，写成对数式为.函数叫做对数函数.2. 对数函数的概念形如 (a0,a1) 的函数叫对数函数，其定义域为，值域为R.下面做出函数（x0)和（x0）的图像.设值列表如下：x 124-2-1012210-1-2xyo1以表中每一组（x，y）的值为坐标描点，用光滑曲线联结这些点，得到和的图像，如图3-8所示.观察图3-8思考下列问题：（1）这两个函数图像都经过哪一个点？（2）这两个函数的单调性如何？3、对数函数的性质图3-8对数函数具有下列性质：（1）图像都经过（1，0）点；（