阿波罗尼斯圆”最值问题导学案设计

1、“阿波罗尼斯圆”最值问题在初中数学中，有一类几何动点最值问题，学生普遍感到“害怕”。它就是“阿波罗尼斯 圆”问题：平面上有A，B两点，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼 斯发现，故也称阿氏圆。例题：圆0的半径为3，A(0,6)，B(8,0)，P是圆上一个动点，求 PB+1/2PA的最小值阿波罗尼斯圆K例物 00的半袴为3, A(0.6).( P是舸上一个动点.z vI j&!出PB-PA的最小值显然这个题最“讨厌”的地方就是1/2PA，我们要想办 法把它转化为“一条线段”和PB建立起

2、符合之前熟悉的动 点最值模型。解决阿波罗尼斯圆问题的通法是构造相似转 化问题。连接P0利用相似比0A:0P=2构造0P:0C=2从而 得到相似(SAS相似模型)，如图：由0A:0P=0P:0C=2/ A0PM P0C得厶A0PA P0C继而可得1/2PA=PC，问题得以转化：PB+1/2PA=PC+PE问题做到这一步，我想大家都会做了：两个点C和B都是定点，而P是动点,PC+PB勺最小值就是线段BC的值(依据：两点之间线段最短)。显然 C,B两个点的坐标可知：C(0,1.5),B(8,0)，BC=/265/2.而P点的位置就是线段 BC和圆的交点，如图：Ll O C1P 0 11C 2.Afi

3、i-zpor - AL.5?- - POiQ r PA PCIPH- PC-PH上述过程，简单地给大家举个例子，科普一下“阿波罗尼斯圆”问题，大家感觉如何？能不 能消除一点心中的恐惧？几何就是“难了不会，会了不难”，而阿波罗尼斯圆问题，你只要学会 了构造相似转化，就可以解决问题了。最后给大家总结一下“阿波罗尼斯圆”的解题套路，大家好好体会，对照模型：绝技在手， 天下我有！如图：阿氏闘-傲解題歩骤：FC+JIPD.第一步I违接动点至*心0（将篥数不为1的线殴的两亍靖点分别9圖心相连接人则连接0氏 OD：第:步：汁隼出所連遵的这隣杀线段O只0D良陰*OP第 抄：讣算这两集线段艮慢的比-匚二m:OD

4、第四步*J.1U点M 使符第二加；第五歩工连接GIA仃鬪。空点即为虫尸.*1 .如图，直线MN与O0相切与点D. AB为O0的一 条弦，点E是直线MN上另一点，不与D重合。 求证：Z ADB Z AEB3 .如图，已知足球球门宽AB约为5V米一 球员从距B点5V1米的C点（点A、B、C均 在球场底线上）,沿着AC成45。角的CD方 向带球。试问，该球员能否在射线CD上找 到一点P ,使得点P为最佳射门点（即zAPB 最大）？若能找到，求出这时点P与点C的 距离；若找不到，请说明理由。2 .如图，在平面直角坐标系中，已知A （ 2,0 ）,B （ 8,0 ）点P是y轴上的一个动点，当zAPB 最

5、大时,求点P的坐标；y 0AB5 .如下图，已知点A、B是zMON的边ON上的 两个定点，在0M边上求做一点P使得zAPB最4 .如图，是某游乐场的平面示意图.场所保 卫人员想在线段0Q上找一点M安装监控装 置，用来监控0P边上的AB段,已知当zAMB 最大时，可以让监控效果达到最佳若 zP0Q=60o,0A=400m,AB=200 箱 m,问在 线段0Q上是否存在一点M,使得zAMBg 大?若存在，请求岀此时zAMB的度数和0M 的长;若不存在.请说明理由.6 .如图，在四边形ABCD的边4D上，是否 存在一点P ,使得cosZBPC的值最小？ 若存在，求出此时cosZBM的值；若不 存在，请说明理由/D7如图所示，某大楼上装有一块长方形广告 牌，上下边相距6 m ,下底边距地面11.6 m ,如果人的眼部高度为1.6 m ,那么从远 处正对广告牌走近时，在何外看广告牌的 效果最好？