复平面上的轨迹问题(最新整理)

1、复平面上的轨迹问题一、 教学目标：1、 了解通过复平面可以把复数与平面解析几何中的某些曲线联系起来。2、 巩固复习复数的几何意义和解析几何中的求轨迹的方法。3、 理解并熟记常见曲线的复数方程。4、 掌握利用复数求轨迹的几种方法。二、 教学重点与难点重点：复数的几何意义的应用与复平面上的轨迹的求法难点：复数的几何意义与复平面上的轨迹的综合应用 三、 教学过程（一）、知识概述：1、复数与轨迹：复数(z = x + yi, (x, y r)对应着复平面内的一个点（x,y），若复数的实部与虚部是一对变量，则它对应的点就构成了复平面上的动点，因此复数若按某种条件变化时，则复平面上的动点自然就构成了具有某

2、种特征的曲线（或曲面）。2、求复数的轨迹问题的核心问题：理解用复数形式表示复平面上的两点距离d =| z1 - z2 | 。3、熟练掌握以下几种复数形式的基本轨迹：设动点z、定点 z0、z1、z2 分别对应于复数z, z0 , z1 , z2 , r1 0, r2 0, a 0。（1） 圆：| z - z0 |= r, 其中 r 为半径，z0 为圆心；单位圆：| z |= 1 .（2） 圆面（不包括圆周）：| z - z0 | r 。（3） 圆环面： r1 | z - z0 | r2 (r1 | z1 - z2 |)，其中 z1、z2 为对应椭圆的焦点，2a 为其长轴长（当2a =| z1 -

3、 z2 |时，表示线段 z1,z2；当2a | z1 - z2 | 时，不表示任何图形）。（6）双曲线：| z - z1 | - | z - z2 |= 2a (2a | z1 - z2 |时，不表示任何图形）。（二）、例题分析：例1、 设z + 1 r ，求 z 在复平面内所对应的点的轨迹。z+=+解题提示： z + 1 r z1-1 z - - +-z - z = 0z-zzzz -z z z - - - 1 ) = 0 z = - 或| z |= 1 z r 或| z |= 1 。z (1zz 2点评分析：本题利用了整体法求复数的轨迹。利用整体法求复数的轨迹的思路是：运用复数的有关性质，

4、通过复数的有关运算、化繁为简，寻找复数形式的基本轨迹。例2、 已知复数 z 满足arg z = p，求复数w= z + 1 在复平面内对4z应点的轨迹。解法提示：要求复数w= z + 1 在复平面内对应点的轨迹，可以令zw= x + yi(x, y r) ，再利用复数相等的充要条件求出w的直角坐标方程。点评分析：本题利用了设点法求复数的轨迹。利用设点法求复数的轨迹的思路是：（1）先设点 z = x + yi(x, y r) ，（2）再找出 z 满足的条件，（3）由复数相等的充要条件写出轨迹的参数方程，（4）消去参数化为普通方程。例3、 若复数 z 在以 1+i 为圆心，1 为半径的圆周上运动，

5、问w= 1 - iz 的图形是怎样？1 + iz解题分析：已知圆的方程为| z - (1 + i) |= 1，由w= 1 - iz 解出 z 代1 + iz入圆的方程即得关于w的方程。点评分析：本题利用了相关点法求复数的轨迹。例4、 设复数 z 满足| z - 1 -3i |= 1。（1）求arg z 的最大值与最小值。（2）以|oz|为一边作正方形 ozab（按逆时针顺序），求点 b的轨迹方程。点评分析：此题沟通了解析几何与复数之间的内在联系，由正方形向量垂直向量旋转复数乘除法。这是复数方法解决几何问题的常用方法。(三)课堂总结：1、 解决复平面上的轨迹问题实质上同平面解析几何中的求轨迹问题

6、是运用相同的方法。2、理解用复数形式表示复平面上的两点距离d =| z1 - z2 | 是运用复数求轨迹问题的关键。四、 能级层次训练题51、 满足条件| z - 2i | + | z + 1 |=的点 z 的轨迹是（）a 椭圆b 直线c 线段d 圆2、 设| z - (1 +3i) | 2 ，且0 arg z p，则复数 z 在复平面内对应3区域的面积是.3、已知复数的模为 2，则的最大值为（）5a1b2cd34、 表示点 z 的复数满足不等式-zz z + iz -i - 0 ，求arg(z + i)的最大值与最小值。5、正方形 abcd 的一边 ab 在直线 y = x + 4 上，c、

7、d 在抛物线 y 2 = x 上，求正方形 abcd 的面积。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning

8、, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this document i