大学概率论总复习

1、概率论,总复习,第一章,随机事件,第一节,样本空间和随机事件,第二节,事件关系和运算,第一章,基本知识点,1,概率论,概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科,2,确定性现象与随机现象,3,随机试验,1,试验在相同的条件下可重复进行,2,每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前,可以确定试验的所有可能结果,3,每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果,4,随机事件,在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大,量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机,事件，简称事件,5,样本点,随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为,2,L,这个试验的一个样本点，记作,i,i,1,6,样本空间,全

2、体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间,记作即,1,2,L,n,L,7,随机事件,仅含一个样本点的随机事件称为基本事件,含有多个样本点的随机事件称为复合事件,8,必然事件,一次随机试验中，必然会发生的随机事件,9,不可能事件,一次随机试验中，不可能会发生的随机事件,10,事件关系和运算,概率论,事件,事件之间的关系,事件的运算,集合论,集合,集合之间的关系,集合的运算,给定一个随机试验，设为其样本空间，则,随机事件,A,B,的子集,A,B,随机事件间的关系,各种集合间的关系,概率论与集合论之间的关系,概率论,必然事件,不可能事件,子事件,A,B,并事件,A,B,交事件,A,B,差事件,A,B

3、,对立事件,样本空间,集合论,全集,全集,空集,子集,并集,交集,差集,补集,A,B,A,B,A,B,A,B,A,A,第二章,事件的概率,第一节,概率的概念,第二节,古典概型,第三节,几何概型,第四节,概率的公理化定义,第二章,基本知识点,1,随机事件的频率,设随机事件,A,在,n,次随机试验中出现了,r,次,则称这,n,次试验中事件,A,出现的频率为,事件,A,出现的次数,r,r,f,n,A,n,试验的总次数,n,2,频率的稳定性,随机事件,A,在相同条件下重复多次时，事件,A,发生的频率在一个固定的数值,p,附近摆动,随着试验次数的增加更加明显,3,概率的统计定义,对任意事件,A,在相同的

4、条件下重复进行,n,次试验，事件,A,发生的频率随着试验次,数的增大而稳定地在某个常数,p,附近摆动,那么称,p,为事件,A,的概率，记为,概率,事件,A,的概率,P,A,p,事件,A,频率的稳定值,准确的数值,事件,A,的,频率,当试验次数足够大时,近似地代替,事件,A,的,概率,4,古典概型,古典概型的基本特征,1,有限性,试验的可能结果只有有限个,样本空间是个有限集,1,2,L,n,2,等可能性,各个可能结果出现是等可能的,基本事件的概率均相同,1,P,A,1,P,A,2,L,P,A,n,A,i,i,n,5,概率的古典定义,对于古典概型,1,设所有可能的试验结果构成的样本空间为,2,事件

5、,A,k,k,L,k,其中,k,1,k,2,L,k,r,为,1, 2,n,中的,r,个不同的数,则定义事件,A,的概率为,1,2,r,1,2,L,n,事件,A,包含的基本事件,r,r,P,A,的基本事件,n,n,6,几何概型,古典概型中的有限性推广到,无限性,而保留,等可能性,1,基本特征,1,有一个可度量的几何图形,2,试验,E,看成在,中随机的一点,事件,A,随机点落在,中的子区域,S,A,中,S,A,的几何度量,P,A,的几何度量,S,A,长度、面积或体积,7,概率的公理化定义,设随机试验的样本空间为，若对任一,事件,A,有且只有一个实数,P,A,与之对应,满足如下公理,1,非负性,0,

6、P,A,1,2,规范性,P,1,3,完全可加性,对任意一列两两互斥事件,A,1,则称,P,A,为事件,A,的概率,A,2,有,P,U,A,n,P,A,n,n,1,n,1,8,概率的性质,性质,1,P,0,不可能事件的概率为零,逆事件的概率,性质,2,P,A,1,P,A,性质,3,互不相容事件概率的有限可加性,对任意有限个互斥事件,A,1,A,2,A,n,有,P,U,A,P,A,k,k,k,1,k,1,性质,4,P,A,B,P,A,P,B,P,AB,加法定理,n,n,P,B,A,P,B,P,A,性质,5,若,A,B,则,且,P,A,P,B,差事件的概率,性质,6,加法定理的推广形式,P,A,B,

7、C,P,A,P,B,P,C,P,AB,P,BC,P,AC,P,ABC,A,B,C,第三章,条件概率与事件的独立性,第一节,条件概率,第二节,全概率公式,第三节,贝叶斯公式,第四节,事件的独立性,第五节,伯努利试验和二项概率,第六节,主观概率,第三章,基本知识点,1,条件概率的定义,设,A,B,为同一随机试验中的两个随机事件,且,P,A,0,则称已知,A,发生条件下,B,发生,的概率为,B,的条件概率，记为,P,AB,P,B,A,P,A,2,乘法定理,P,AB,P,AB,P,A,P,B,A,P,B,A,P,A,P,AB,P,AB,P,B,P,A,B,P,A,B,P,B,3,全概率公式,设,A,1

8、,A,2,A,n,构成一个完备事件组,且,P,A,i,0,i,1,2,n,则对任一随机,事件,B,有,P,B,P,A,i,P,B,A,i,i,1,n,A,1,P,A,1,P,A,2,P,B,A,1,P,B,A,2,P,B,A,3,A,2,P,B,A,3,P,A,3,4,贝叶斯公式,设,A,1,A,2,A,n,构成完备事件组，且每个,P,A,i,0,B,为样本空间的任意事件且,P,B,0,则有,P,A,k,P,B,A,k,P,A,k,B,n,k,1,2,L,n,P,A,i,P,B,A,i,i,1,5,事件独立的定义,P,B,A,P,B,A,与,B,相互独立的,充要条件,P,AB,P,A,P,B,

9、6,事件的独立性的推广,1,事件,A,B,C,两两独立,如果事件,A,B,C,满足,a,P,AB,P,A,P,B,b,P,AC,P,A,P,C,c,P,BC,P,B,P,C,则称事件,A,B,C,两两独立,2,事件,A,B,C,相互独立,如果事件,A,B,C,满足,a,P,AB,P,A,P,B,b,P,AC,P,A,P,C,c,P,BC,P,B,P,C,d,P,ABC,P,A,P,B,P,C,则称事件,A,B,C,相互独立,7,贝努利试验,在,n,重独立重复试验中，若每次试验只有两种可,能的结果,A,及,A,且,A,在每次试验中发生的概,率为,p,则称其为,n,重贝努利试验,简称贝努利,试验,

10、8,二项概率,贝努利定理,设在一次试验中事件,A,发生的概率为,p,0,p,1,则,A,在,n,次贝努利试验中恰好发生,k,次的概率为,P,A,k,C,p,1,p,k,n,k,n,k,k,0,1,2,L,n,第四章,随机变量及其分布,第一节,随机变量及其分布函数,第二节,离散型随机变量,第三节,连续型随机变量,第四章,基本知识点,1,随机变量,用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化,2,随机变量的类型,1,离散型随机变量,2,非离散型随机变量,3,随机变量的分布函数,设,X,是随机试验,E,的一个随机变量，称定义域,为,函数值在区间,0, 1,上的实值函数,F,x,P,X,x,x,为随机变

11、量,X,的分布函数,集合论,随机试验,试验结果,数量化,对应,函数论,实数集,样本空间,样本点,i,若干样本点构成事件,A,实数,x,随机变量,X,表示事件,A,随机变量,X,的分布函数,F,x,事件,A,的概率,P,A,0,P,A,1,F,x,P,X,x,0,F,x,1,4,离散型随机变量分布律的表示方法,1,公式法,P,X,x,i,p,i,2,表格法,X,概率,x,1,p,1,x,2,L,x,i,p,i,L,L,p,2,L,其中,0,p,i,1,i,1,2,L,且,p,i,i,1,5,常用离散型分布,0,1,1) 0-1,分布,二点分布,概率,1,p,p,2,二项分布,X,B,n,p,X,

12、n,k,0,1,k,k,n,k,1,n,1,n,n,C,n,p,1,p,p,概率,1,p,C,n,p,1,p,X,3,泊松分布,X,P,k,P,X,k,e,k,0,1,2,L,k,6,连续型随机变量的概率密度函数,x,F,x,f,t,d,t,随机变量,X,的概率密度函数,1,数学符号,F,x,x,f,t,d,t,随机变量,X,的分布函数,2,连续型随机变量的分布函数表示事件,a,事件,P,X,b,F,b,b,事件,P,X,b,1,P,X,b,1,F,b,c,事件,P,a,X,b,F,b,F,a,7,事件的概率与概率密度函数的关系,b,f,x,d,x,a,事件,P,X,b,F,b,b,事件,P,

13、X,b,1,P,X,b,1,F,b,1,b,b,f,x,d,x,c,事件,P,a,X,b,F,b,F,a,f,x,d,x,a,8,常用连续型分布,1,a,x,b,1,均匀分布,f,x,b,a,0,其它,X,R,a,b,e,x,x,0,0,为常数,X,E,2,指数分布,f,x,x,0,0,3,正态分布,f,x,1,2,x,2,2,2,e,0,X,N,X,N,0, 1,2,4,标准正态分布,f,x,1,2,e,x,2,2,第五章,二维随机变量及其分布,第一节,第二节,第三节,第四节,二维随机变量及分布函数,二维离散型随机变量,二维连续型随机变量,边缘分布,第五节,随机变量的独立性,第六节,条件分布

14、,第五章,基本知识点,1,二维随机变量,X,Y,的联合分布函数,F,x,y,P,X,x,Y,y,2,联合分布函数表示矩形域概率,P,x,1,X,x,2,y,1,Y,y,2,F,x,2,y,2,F,x,2,y,1,F,x,1,y,2,F,x,1,y,1,3,二维离散型随机变量,X,Y,的联合概率分布,y,L,y,L,Y,1,j,X,x,1,M,x,i,M,p,11,L,p,1,j,L,L,M,p,i,1,L,L,M,M,L,p,ij,L,M,L,4,二维连续型随机变量的联合概率密度函数,F,x,y,x,y,f,x,y,d,y,d,x,5,常见的二维连续型随机变量的联合密度函数,1,1,二维均匀分

15、布,f,x,y,A,0,x,y,D,其它,2,二维正态分布,f,x,y,1,2,1,2,1,2,e,x,1,2,x,1,y,2,y,2,2,2,2,2,2,1,2,2(1,2,1,1,6,边缘分布函数,设二维随机变量,X,Y,的分布函数为,F,x,y,F,X,x,P,X,x,P,X,x,Y,F,x,X,的边缘分布函数,F,X,x,F,x,F,Y,y,P,Y,y,P,X,Y,y,F,y,Y,的边缘分布函数,F,Y,y,F,y,7,二维离散型随机变量的边缘分布律,若二维离散型随机变量,X,Y,的联合分布律为,P,X,x,i,Y,y,j,p,ij,i,j,1,2,3,L,则,1,X,的边缘分布律为,

16、2,Y,的边缘分布律为,P,X,x,i,P,X,x,i,Y,p,i,i,1,2,3,L,P,Y,y,i,P,X,Y,y,i,p,j,i,1,2,3,L,X,二维离散型随机变量的边缘分布律,表格形式,Y,x,1,M,x,i,y,1,L,p,11,L,y,j,L,p,1,j,L,p,i,p,1,第,i,行之和,M,L,p,i,1,L,M,L,p,ij,L,M,p,i,第,j,列之和,M,p,j,1,X,的边缘分布,M,L,M,M,L,p,1,L,p,j,L,x,x,x,L,i,L,2,1,X,概率,概率,Y,2,Y,的边缘分布,p,1,p,2,L,p,i,L,y,1,y,2,L,y,j,L,p,1

17、,p,2,L,p,j,L,8,二维连续型随机变量的边缘分布,设二维连续型随机变量,X,Y,的联合密度,函数为,f,x,y,则,1,X,的边缘分布函数为,x,F,X,x,P,X,x,Y,f,x,y,d,y,d,x,X,的边缘,概率,密度函数,f,X,x,2,Y,的边缘分布函数为,y,F,Y,y,P,X,Y,y,f,x,y,d,x,d,y,Y,的边缘,概率,密度函数,f,Y,y,9,随机变量,X,Y,相互独立的判定方法,1,依据随机事件概率的特征判定,P,X,x,Y,y,P,X,x,P,Y,y,2,依据随机变量的联合分布函数及边缘分布,函数的特征判定,F,x,y,F,X,x,F,Y,y,3,依据离

18、散型随机变量的分布律及边缘分布,律的特征判定,p,ij,p,i,p,j,i,j,4,依据连续型随机变量的联合密度函数及边,缘密度函数的特征判定,p,ij,p,i,p,j,i,j,f,x,y,f,X,x,f,Y,y,x,y,10,离散型随机变量的条件分布律,1,设,X,Y,为二维离散型随机变量，其分布律已知,假设,P,Y,y,j,0,则在条件,Y,y,j,下,X,x,i,的条,件概率为,P,X,x,Y,y,P,X,x,i,Y,y,j,i,j,称这个分布为,在给定的,Y,y,j,条件下,X,的条件分布律,表格形式,P,Y,y,j,p,ij,i,1,2,L,p,j,X,Y,y,j,概率,x,1,x,

19、2,L,p,1,j,p,2,j,p,j,p,j,L,x,i,L,p,ij,p,j,L,2,设,X,Y,为二维离散型随机变量，其分布律已知,假设,P,X,x,i,0,则在条件,X,x,i,下,Y,y,j,的,条件概率为,P,Y,y,j,X,x,i,P,X,x,i,Y,y,j,p,ij,p,i,P,X,x,i,j,1,2,L,称这个分布为,在给定的,X,x,i,条件下,Y,的条件分布律,表格形式,Y,X,x,i,概率,y,1,y,2,L,y,j,L,p,ij,p,i,1,p,i,2,L,L,p,i,p,i,p,i,11,连续型随机变量的条件分布律,1,对于二维连续型随机变量,X,Y,其分布已知,规

20、定,在给定的,Y,y,条件下,X,的条件分布,为一个,连续型分布，它的条件密度函数为,f,x,y,f,x,y,f,x,y,f,Y,y,f,x,y,d,x,2,对于二维连续型随机变量,X,Y,其分布已知,规定,在给定的,X,x,条件下,Y,的条件分布,为一个,连续型分布，它的条件密度函数为,f,y,x,f,x,y,f,x,y,f,X,x,f,x,y,d,y,第六章,随机变量的函数及其分布,第一节,一维随机变量的函数及其分布,第二节,二维随机变量的函数的分布,第六章,基本知识点,1,离散型随机变量的函数的分布,若,X,为离散型随机变量,其分布律为,x,x,x,L,i,L,2,1,X,p,1,p,2

21、,L,p,i,L,概率,则随机变量,X,的函数,Y,g,X,的分布律为,Y,g,X,g,x,1,g,x,2,L,g,x,i,L,p,1,p,i,L,p,2,L,概率,2,连续型随机变量的函数的分布,设,X,为连续型随机变量，其概率密度函数为,f,x,y,g,x,是一个连续函数，则,1,求随机变量,Y,g,X,的分布函数,F,Y,y,为,F,Y,y,P,Y,y,P,g,X,y,P,X,x,g,x,y,P,x,I,g,2,随机变量,Y,g,X,的概率密度函数,f,Y,y,为,f,Y,y,F,Y,y,3,二维离散型随机变量的函数的分布,设,X,Y,是二维离散型随机变量，其联合,分布律为,p,i,j,

22、P,X,x,i,Y,y,j,i,j,1,2,L,g,x,y,是一个二元函数,Z,g,X,Y,是二,维随机变量,X,Y,的函数，则随机变量,Z,的分布律为,P,Z,g,x,i,y,j,p,i,j,i,j,1,2,L,4,二维连续型随机变量的函数的分布,假设,1),X,Y,是二维随机变量,2),X,Y,的联合分布函数为,F,x,y,3,Z,g,X,Y,是随机变量,X,Y,的二元函数,Z,的分布函数为,F,Z,z,P,g,X,Y,z,g,x,y,z,f,x,y,d,x,d,y,Z,的分布密度函数为,f,Z,z,F,Z,z,第七章,随机变量的数字特征,第一节,数学期望,第二节,方差和标准差,第三节,协

23、方差和相关系数,第四节,切比雪夫不等式及大数律,第五节,中心极限定理,第七章,基本知识点,1,离散型随机变量的数学期望,定义,设离散型随机变量的概率分布律为,即,P,X,x,i,p,i,i,1,2,L,x,x,x,L,i,L,2,1,X,概率,p,1,p,2,L,p,i,L,则随机变量,X,的数学期望为,E,X,x,1,p,1,x,2,p,2,L,x,i,p,i,L,x,i,p,i,2,连续型随机变量的数学期望,E,X,E,X,i,x,f,x,d,x,3,二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,E,X,Y,E,X,E,Y,1),X,Y,为二维离散型随机变量,E,X,x,i,P,X,x,i,x,i,p,i,x,i,p,ij,E,Y,y,j,P,Y,y,j,y,j,p,j,y,j,p,ij,j,j,j,i,i,i,i,j,2),X,