概率论与数理统计习题集及答案(最新整理)_1

1、概率论与数理统计作业集及答案第 1 章概率论的基本概念1 .1随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 h反面 t 出现的情形. 样本空间是：s=；(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：s=；2.(1) 丢一颗骰子.a：出现奇数点，则 a=；b：数点大于 2，则 b=.(2) 一枚硬币连丢 2 次，a：第一次出现正面，则 a=； b：两次出现同一面，则=； c：至少有一次出现正面，则 c=.1 .2随机事件的运算1. 设 a、b、c 为三事件，用 a、b、c 的运算关系表示下列各事件：(1)a、b、c 都不发生表示为：.(2)a 与 b 都发生,

2、而 c 不发生表示为：. (3)a 与 b 都不发生,而 c 发生表示为：.(4)a、b、c 中最多二个发生表示为：.(5)a、b、c 中至少二个发生表示为：.(6)a、b、c 中不多于一个发生表示为：.2. 设 s = x : 0 x 5, a = x :1 x 3, b = x : 2 4：则- 14 -（ 1）a b =，（ 2）ab = ，（3） ab = ，（4） a b = ，（5） ab = 。1 .3概率的定义和性质1. 已知 p( a b) = 0.8, p( a) = 0.5, p(b) = 0.6 ，则(1) p( ab) =, (2)( p( a b) )=, (3)

3、p( a b) =.2. 已知 p( a) = 0.7, p( ab) = 0.3,1 .4古典概型则 p( ab) =.1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率,(2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率.2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.1 .5条件概率与乘法公式1丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是。2. 已知 p( a) = 1/ 4, p(b | a) = 1/ 3, p( a | b) = 1/ 2,1 .6全概

4、率公式则 p( a b) =。1. 有 10 个签，其中 2 个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有 4 个红球 6 个白球，第二盒中有 5 个红球 5 个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。1 .7贝叶斯公式1. 某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。2. 将两信息分别编码为 a 和 b 传递出去，接收站收到时，a 被误收作 b 的概率为 0.02， b 被误收作 a 的概率为 0.01

5、，信息 a 与信息 b 传递的频繁程度为 3 : 2，若接收站收到的信息是 a，问原发信息是 a 的概率是多少？1 .8随机事件的独立性1. 电路如图，其中 a,b,c,d 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为 p,求 l 与 r 为通路（用 t 表示）的概率。ablrcd3.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4,0.5 和 0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第 1 章作业答案1 .1 1：（1） s = hhh , hht , hth ,thh , htt ,tht ,tth ,ttt ；（2）

6、s = 0, 1,2,32：（1） a = 1,3,5b = 3,4,5,6；（2） a = 正正，正反, b = 正正，反反, c = 正正，正反，反正。1 .2 1： (1)abc ；(2)abc ；(3) a b c ；(4) a b c ；(5)ab ac bc ；(6) a b a c b c 或 a b c + a b c + a b c + a b c ；2：(1) a b = x :1 x 4 ；(2) ab = x : 2 x 3；(3)ab = x : 3 x 4 ；（4） a b = x : 0 x 1或2 x 5 ；（5） ab = x :1 x 4。1 .31： (1

7、) p( ab) =0.3, (2) p( a b) = 0.2, (3)p( a b)= 0.7. 2： p( ab) )=0.4.1 .41：(1) c 2c 8/ c10 ,(2)(（c10 + c1c 9+ c 2c 8 ）/ c10 ,(3)1-( c10 + c1c 9 ）/ c10 .82230228 2282230228 223042： p3 / 43 .1 .51：. 2/6；2： 1/4。1 .6 1： 设 a 表示第一人“中”，则 p(a) = 2/10设 b 表示第二人“中”，则 p(b) = p(a)p(b|a) + p( a )p(b| a )= 2 110 9+

8、8 2 = 210 910两人抽“中的概率相同, 与先后次序无关。2：随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是 0.5，所求概率为： p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.451 .71：（1）94% （2）70/94；2：0.993；1 .8. 1：用 a,b,c,d 表示开关闭合，于是 t = abcd,从而，由概率的性质及 a,b,c,d 的相互独立性p(t) = p(ab) + p(cd) - p(abcd)= p(a)p(b) + p(c)p(d) p(a)p(b)p(c)p(d)= p 2 + p 2 - p 4 = 2 p 2 - p 42： (1) 0.4(1-0.5

9、)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章随机变量及其分布2.1随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为 1，2，3，4，5 的五个球，从中随机地取 3 个，用 x 表示取出的 3 个球中的最大号码., 试写出 x 的分布律.2 某射手有 5 发子弹，每次命中率是 0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 x 表示射击的次数, 试写出 x 的分布律。2.20 - 1 分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 x 是服从=

10、4 的泊松分布，求(1) 每分钟恰有 1 次呼叫的概率；(2)每分钟只少有 1 次呼叫的概率；(3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率；2 设随机变量 x 有分布律： x23 , y(x), 试 求 ：p0.40.6（1）p(x=2,y2)； (2)p(y2)； (3) 已知 y2, 求 x=2 的概率。2.3贝努里分布1 一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？(3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？(4) 至少有 1

11、 台计算机被使用的概率是多少？2 设每次射击命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？2.4随机变量的分布函数 0x -11 设随机变量 x 的分布函数是： f(x) =0.5- 1 x 11x 1（1）求 p(x0 )； p (0 0x 0, 求（1）常数 a, (2) p (1 x 2).2.5连续型随机变量kx0 x 101 设连续型随机变量 x 的密度函数为： f (x) = 其 他（1）求常数 k 的值；（2）求 x 的分布函数 f(x)，画出 f(x) 的图形，（3）用二种方法计算 p(- 0.5x0.5). 0x 12 设连续型随机

12、变量x 0的分布函数为：f(x) =ln x1 x 0.5).2.6均匀分布和指数分布1 设随机变量 k 在区间 (0,5) 上服从均匀分布, 求方程4 x 2 + 4kx + k + 2 = 0有实根的概率。2 假设打一次电话所用时间（单位：分）x 服从a= 0.2 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过 10 分钟的概率；（2）10 分钟 到 20 分钟的概率。2.7正态分布1 随机变量 xn (3,4), (1) 求 p(2x5) ,p(- 42),p(x3)；(2) 确定 c，使得 p(xc) = p(xc)。2 某产品的质量指标 x 服从正态分布，=160，

13、若要求 p(120x200)0.80，试问最多取多大？2.8随机变量函数的分布1 设随机变量 x 的分布律为；x012p0.30.40.3y = 2x 1, 求随机变量 x 的分布律。2(1 - x)0 x 102 设随机变量 x 的密度函数为： f (x) = ，其他y = x 2 ；求随机变量 y 的密度函数。3. 设随机变量 x 服从（0， 1）上的均匀分布， y = -2 ln x，求随机变量 y 的密度函数。第 2 章作业答案x30.1450.3x10.623452.1 1：p2：p0.40.60.40.60.60.40.60.60.60.40.60.60.60.612.2 1： (

14、1) p(x = 1) = p(x1) p(x2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262,(2) p(x1) = 0.981684,(3) p(x1) = 1 - p(x2) = 1 0.908422 = 0.091578。2：(1) 由乘法公式：p(x=2,y2) = p(x=2) p(y2 | x=2)= 0.4 ( e-2 + 2e-2 + 2e-2 )= 2 e-2（2）由全概率公式：p(y2) = p(x=2) p(y2 | x=2) + p(x=3) p(y2 | x=3)= 0.45 e-2+ 0.6 17 e-3 = 0.27067 + 0.25391

15、= 0.524582（3）由贝叶斯公式：p(x=2|y2)=p( x = 2,y 2)= 0.27067= 0.516p(y 2)0.524582.3 1： 设 x 表示在同一时刻被使用的台数，则 x b(5,0.6),(1) p( x = 2 ) =c 2 0.620.43(2) p(x 3 ) =c 3 0.630.42 + c 4 0.640.4 + 0.655(3) p(x 3 ) = 1 -c 4 0.640.4 - 0.655(4)p(x 1 ) = 1 -50.4552： 至少必须进行 11 次独立射击.2.4 1：（1）p(x0 )=0.5； pxp-110.50.5(2) x

16、 的分布律为：(0 x 1)= 0.5；p(x1) = 0.5，2： (1) a = 1,(2) p (1 x 2)02.51：（1） k = 2 ，（2） f (x) = x 210.50.5=1/6x 00 x 1 ；x 100.51（3）p(- 0.5x0.5) =-0.5 f (x)dx = - 0dx + 02xdx =；4或= f(0,5) f(-0.5) =1 - 0 = 1 。441/ x1 x 2) = 1 - ln 22.61：3/52：(1) e-2(2) e-2 - e-42.81：y- 113p0.30.40.32.7 1：(1) 0.5328,0.9996,0.69

17、77,0.5；(2) c = 3，2：31.25。2： fy 1 ( y) = (1 -y )0 y 0 ；y 0其他0y 0第 3 章多维随机变量3.1二维离散型随机变量1. 设盒子中有 2 个红球，2 个白球，1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 x 表示取到的红球个数，用 y 表示取到的白球个数，写出 (x, y) 的联合分布律及边缘分布律。xy01200.10.2a10.1b0.22. 设二维随机变量( x ,y ) 的联合分布律为：试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值；(1) p( x= 1) = 0.6 ；(2) p( x= 1 | y = 2) = 0.5 ；(3)设 f (x

18、) 是y 的分布函数， f (1.5) = 0.5 。3.2二维连续型随机变量k (x + y)0 x 1, 0 y 11. ( x、y ) 的联合密度函数为： f (x, y) = 0其他求（1）常数 k；（2）p(x1/2,y1/2)；(3) p(x+y1)；(4) p(x1/2)。kxy0 x 1, 0 y x02. ( x、y ) 的联合密度函数为： f (x, y) = 其他求（1）常数 k；（2）p(x+y1)；(3) p(x1/2)。3.3边缘密度函数1. 设(x, y) 的联合密度函数如下，分别求 x 与y 的边缘密度函数。f (x, y) =1p2 (1 + x 2 )(1

19、+ y 2 )- x +,- y +2. 设(x, y) 的联合密度函数如下，分别求 x 与y 的边缘密度函数。e- xf (x, y) = 0 y 1 | y = 2) = 0.5 ；（3）已知 x 与y 相互独立。2.(x,y) 的联合密度函数如下，求常数 c，并讨论 x 与y 是否相互独立？cxy 2f (x, y) = 0 x 1, 0 y 10其他3.11：xy122：(1) a=0.1b=0.310.40.30.7(2) a=0.2b=0.220.30.0.3(3) a=0.3b=0.10.70.31第 3 章作业答案3.2 1：(1) k = 1；(2) p(x1/2, y1/2

20、) = 1/8；(3) p(x+y1) = 1/3；(4) p(x1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) p(x+y1) = 1/6；(3) p(x1/2) = 1/16。+123.3 1：f x (x) = - p2 (1 + x 2 )(1 + y 2 )dy = p(1 + x 2 )- x + ；fy ( y) =+1dx =222- p (1 + x )(1 + y )2p(1 + y 2 )- y 0；x 0e- yfy ( y) = 0y 0；y 03.4 1： （1）a=1/6b=7/18；(2) a=4/9b=1/9；（3）a = 1/3,b = 2/9。 2

21、：c = 6,x 与 y 相互独立。第 4 章随机变量的数字特征4.1数学期望1. 盒中有 5 个球，其中 2 个红球，随机地取 3 个，用 x 表示取到的红球的个数，则 ex 是：（a）1；（b）1.2；（c）1.5；（d）2.3x 22 x 42. 设 x 有密度函数： f (x) = 80,求 e( x ),其 他e(2 x - 1), e( 1x 2) ,并求x 大于数学期望 e( x ) 的概率。3. 设二维随机变量( x ,y ) 的联合分布律为：xy012已知 e( xy ) = 0.65 ，00.10.2a则 a 和 b 的值是：10.1b0.2（a）a=0.1, b=0.3；

22、 （b）a=0.3, b=0.1； （c）a=0.2, b=0.2； （d）a=0.15, b=0.25 。4. 设随机变量 (x, y) 的联合密度函数如下：求 ex , ey , e( xy + 1) 。f (x, y) = xy0 x 1, 0 y 20其他4.2数学期望的性质1设 x 有分布律： x0123则 e( x 2 - 2 x + 3) 是：p0.10.20.30.4（a）1；（b）2；（c）3；（d）4.5 y2.设( x ,y ) 有 f (x, y) = 4x 2 y 1，试验证e( xy ) = e( x )e(y ) ，但 x 与y 0其他不相互独立。4.3方差1.

23、丢一颗均匀的骰子，用 x 表示点数，求 ex ,dx .(x + 1) / 40 x 22. x 有密度函数： f (x) = 0，求 d(x).其 他4.4常见的几种随机变量的期望与方差1. 设 x p(2), y b(3,0.6),相互独立，则 e( x - 2y ),d( x - 2y ) 的值分别是：（a）-1.6 和 4.88；（b）-1 和 4； （c）1.6 和 4.88； （d）1.6 和-4.88.2. 设 x u (a,b),y n (4,3) ， x 与y 有相同的期望和方差，求 a,b 的值。（a） 0 和 8；（b） 1 和 7；（c） 2 和 6；（d） 3 和 5

24、.4.6独立性与不相关性矩1. 下列结论不正确的是（）（a） x 与y 相互独立，则 x 与y 不相关；（b） x 与y 相关，则 x 与y 不相互独立；（c） e( xy ) = e( x )e(y ) ，则 x 与y 相互独立；（d） f (x, y) =f x (x) fy ( y)，则 x 与y 不相关；2. 若cov ( x ,y ) = 0 ，则不正确的是（）（a） e( xy ) = e( x )e(y ) ；（b） e( x + y ) = e( x ) + e(y ) ；（c） d( xy ) = d( x )d(y ) ；（d） d( x + y ) = d( x ) +

25、d(y ) ；3（ x ,y ）有联合分布律如下，试分析 x 与y 的相关性和独立性。xy101.11/81/81/801/801/811/81/81/84. e( xy ) = e( x )e(y ) 是 x 与y 不相关的（）（a）必要条件；（b）充分条件：（c）充要条件；（d）既不必要，也不充分。5. e( xy ) = e( x )e(y ) 是 x 与y 相互独立的（）（a） 必要条件；（b）充分条件：（c）充要条件；（d）既不必要，也不充分。6. 设随机变量 (x, y) 有联合密度函数如下：试验证 x 与y 不相关，但不独立。21x 2 y / 4f (x, y) = x 2 y

26、 1 0其他第 4 章作业答案4.11： b；2：3/2, 2, 3/4,37/64；3：d；4： 2/3，4/3，17/9；4.21： d；4.31：7/2,35/12；2：11/36；4.41：a；2：b；4.51：0.2， 0.355；2：1/144,1/11；4.61：c； 2：c； 3： x 与y 不相关，但 x 与y 不相互独立；4：c；5：a；第 5 章 极限定理*5.1大数定理5.2中心极限定理1. 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 0.004 的指数分布，现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件

27、至少能使用一年（8760 小时）的近似概率。2. 某一随机试验，“成功”的概率为 0.04，独立重复 100 次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6 次的概率的近似值。第 5 章作业答案5.22：0.1788；3：0.889， 0.841；第 6 章数理统计基础6.1数理统计中的几个概念1 有 n=10 的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值 x =，样本均方差 s =，样本方差 s 2 =。2 设 总 体 方 差 为 b 2 有 样 本 。x 1, x 2 ,l, x n ， 样 本 均 值 为x ， 则

28、 cov( x 1, x ) =6.2数理统计中常用的三个分布1. 查有关的附表， 下列分位点的值： z=。0.9=，2c0.1(5) =，t0.9(10)12n2. 设 x , x ,l, x 是总体c2 (m) 的样本，求 e( x ),d( x ) 。6.3一个正态总体的三个统计量的分布1设总体 x n (m, s2 ) ，样本 x , x ,l, x ，样本均值 x ，样本方差 s 2 ，则s/ns /n12nx - m ， x - m ， 1 ns2 i=1( x i- x )2 ， 1 ns2 i=1( x i- m)2 ，第 6 章作业答案6.11 x = 1.57,s = 0.

29、254,s 2 = 0.0646 ；2.1cov( x , x ) = b 2 / n ；6.21-1.29， 9.236， -1.3722；2 e( x ) = m,d( x ) = 2m / n ；6.3 1. n (0,1),t(n - 1),c2 (n - 1),c2 (n) ；第 7 章参数估计7.1矩估计法和顺序统计量法1. 设总体 x 的密度函数为： f (x) = qx q-10 x 1，有样本 x 1, x 2 ,l, x n ，求未知参数q 的矩估计。0其他2. 每分钟通过某桥量的汽车辆数 x p(l) ，为估计l的值，在实地随机地调查了 20 次，每次 1 分钟，结果如下

30、：次数：23456量数：95374试求l的一阶矩估计和二阶矩估计。7.2极大似然估计(q+ 1)x q0 x 11.设总体 x 的密度函数为： f (x) = 0其他 ，有样本 x 1 , x 2 ,l, x n ，求未知参数q 的极大似然估计。7.3估计量的评价标准1. 设总体 x 服从区间(a,的无偏估计。1) 上的均匀分布，有样本 x 1 , x 2 ,l, x n ，证明 a = 2 x - 1是 a12n2. 设总体 x p(l) ，有样本 x , x ,l, x ，证明 a x + (1 - a)s 2 是参数l的无偏估计（0 a 1 ）。7.4参数的区间估计1. 纤度是衡量纤维粗

31、细程度的一个量，某厂化纤纤度 x n (m, s2 ) ,抽取 9 根纤维，测量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求m的置信度为0.95 的置信区间，（1）若s2 = 0.0482 ,（2）若s2 未知2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查 16 个另件，测量其长度，得 x = 12.075，s = 0.0494, 设另件长度 x（2）求s的置信区间。第 7 章作业答案 n (m,s2 ) ,取置信度为0.95 ，（1）求s2 的置信区间，7.1 1： (x1 - x)2 ；2： 5，4.97；n7.2 1： ( n+ 1)2 ；7.3ln x i i=17.41：（1.377，1.439），（1.346，1.454）； 2：（0.0013，0.0058）；(0.036,0.076)第 8 章假设检验8.1假设检验的基本概念1. 某种电子元件的阻值（欧姆） x n (1000,400) ,随机抽取 25 个元件，测得平均电阻值 x = 992 ，试在a= 0.1下检验电阻值的期望m是否符合要求？2. 在上题中若s2 未知，而 25 个元件的均方差 s = 25 ，则需如何检验，结论是什么？8.2假设检验的说明