高中数学 精讲优练课型 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换(一) 新人教版必修4

1、3.2 简单的三角恒等变换(一,知识提炼】 1.半角公式 _. _. _(无理形式) _(有理形式,2.常见的三角恒等变换 (1) 其中tan= ，所在象 限由a和b的符号确定. (2,即时小测】 1.思考下列问题 (1)半角公式对任意角都适用吗？ 提示：不是对任意角都适用.半角的正切公式中 角的 终边不能落在x轴的负半轴上.所以2k+，kZ.(分母不为零即：1+cos0，cos-1，2k+，kZ,2)半角公式可以应用于任何类型的题目中，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.半角公式的根式形式一般用于求值， 有理式的形式可用来化简或证明，当然也可以用来求值. (3)半角公式与倍角公式二者有

2、什么关系？ 提示：半角公式与倍角公式的实质是一样的. 因为 两边同时平方得 即 符合倍角公式.半角公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用,2.若 且(0，)，则 的值为() 【解析】选A.因为 所以,3.已知 则 等于() 【解析】选B.因为 所以 所以,4.已知 则 _. 【解析】可以运用半角公式，对本题进行求解. 因为180270，所以 所以 所以 答案：-2,5.化简 _. 【解析】 答案,知识探究】 知识点 半角公式 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：如何确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前的符号？ 问题2：应用半角公式可以解决哪些问题,总结提升】

3、 1.确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号. (2)若给出角的具体范围(即某一区间)时，则先求 所在范围， 然后再根据 所在范围选用符号. (3)如果给出的角是某一象限角时，则需要根据具体情况确定,2.对半角公式的理解 (1)半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的. (2)半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只 需知道cos的值及相应的条件， 便可求出. (3)由于 及 不含被开方数，且不涉及符 号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立 的条件. (4)涉及函数的升降幂及角的二

4、倍关系的题目时，常用 和,题型探究】 类型一 三角恒等式求值问题 【典例】1.已知 则 _. 2.已知 且 求 的值,解题探究】1.典例1中，应如何确定 的象限，从而确定tan 的正负？ 提示：由题中条件可知 所以的终边落在第一象限， 的终边落在第一、三象限.而在第一、三象限中的角的正切值均为正值，所以tan 0. 2.典例2中的求解思路是什么？ 提示：利用平方关系求出cos，根据与 之间的关系求解,解析】1.方法一： 所以的终边落在第 一象限， 的终边落在第一、三象限. 所以 故 答案,方法二： 答案,2.因为 所以 因为 又 所以,方法技巧】解决给值求值问题的思路 已知三角函数式的值，求其

5、他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间 的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子， 化简求值,变式训练】已知为钝角，为锐角，且 则 _,解析】因为为钝角，为锐角，且 所以 所以 又因为 所以 所以 答案,类型二 三角恒等式的化简 【典例】1.化简 的结果是_. 2.化简 (-0,解题探究】1.典例1中，所求的式子次数不同，如何将 进行降次运算？ 提示：利用倍角公式分别逐次降幂. 2. 是第几象限的角？ 提示： 是第四象限角,解析】1. =cos2+3(1-cos)-2(1+cos2-2cos) =2cos2-1+3-3c

6、os-2-2cos2+4cos=cos 答案：cos,2.原式= 因为-0，所以 所以 所以原式,延伸探究】 1.(变换条件)若典例2中的式子变为 则化简后的值是什么,解析】原式= 所以原式,2.(变换条件)若典例2中式子变为 则化简后的值为什么,解析】原式= 因为 故原式,方法技巧】化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式. (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切. (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等,补偿训练】1

7、.化简： 【解析】原式,2.化简 【解析】原式,类型三 三角恒等式的证明 【典例】1.证明： 2.若 ，证明,解题探究】1.典例1中，所证式子左右两边没有任何规律可言， 我们在证明时首先应该做什么？ 提示：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于 此式右边就是tan2,2.典例2中，角 是第几象限角？1+cos，1-cos，1+sin，1-sin分别如何变形？ 提示：角 是第二象限角.1+cos=2cos2 ， 1-cos=2sin2,证明】1.原等式等价于求证 而上式左边 可见左边等于右边. 所以上式成立，即原等式得证,2.因为 所以 所以左边 所以原式得证,方法技巧】三角恒等式证明的常用方法

8、 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以判定原等式成立,变式训练】证明 【证明】方法一：从右边入手，切化弦，得 由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以 得 左边=右边，原等式得证,方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂， 得 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以 ， 得 所以原等式成立,补偿训练】在ABC中，已知 求证,证明】因为 所以 所以 而 所以 即,易错案例 利用半角公式化简 【典例】(2015大连高一检测)已知 则 的值为(,失误案例,错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽视了角的取值范围，从而误认为