高中数学 情境互动课型 第一章 集合与函数的概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 新人教版必修1

1、1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性,德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了有趣的数据. 数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据 这些数据描绘出了著名的 “艾宾浩斯记忆遗忘曲线”, 如图,100,思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验， 你打算以后如何对待刚学过 的知识? 思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘 曲线”从左至右是逐渐下降 的，对此，我们如何用数学观点进行解释,1.理解单调函数的定义；（重点） 2.理解增函数、减函数的概念；（重点） 3.

2、掌握用定义判断函数单调性的方法；（难点） 4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间,能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗,局部上升或下降,下降,上升,探究点 函数单调性的定义,O,x,y,以f(x)=x2为例说明图象的变化特点,f(x)=x2,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,x,y,O,，0上 随x的增大而减小,0，+）上 随x的增大而增大,对区间D内 任意x1，x2 ， 当x1x2时，都有f(x1)f(x2,图象在区间D逐渐上升,O,对区间D内 x1，x2 ， 当x1x2时，都

3、有f(x1)f(x2,x1,x2,D,f(x1,f(x2,O,M,N,任意,区间D内随着x的增大，y也增大,图象在区间D逐渐上升,对区间D内 x1，x2 ， 当x1x2时， 有f(x1)f(x2,x1,x2,都,f(x1,f(x2,O,M,N,任意,区间D内随着x的增大，y也增大,图象在区间D逐渐上升,D,根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的 单调 减 区间,你能类比增函数的研究方法定义减函数吗,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2,如果对于定义域I内某个区

4、间D上 的任意两个自变量的值x1,x2,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为f(x)的 单调 增区间,当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2,单调区间,设函数y=f(x)的定义域为I,增函数的定义,2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3）x1, x2 取值的任意性,1）如果函数 y =f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那 么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的,特别提醒,2.定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数,1.函数 f (x

5、)= x2 在 是单调增函数,判断,提示:在 不是单调的,提示:不具有代表性,增区间为,增区间为,增区间为,减区间为,y,写出下列函数的单调区间,即时训练,例1.下图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x)，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数,解析：函数 的单调区间有,其中 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数,整个上午（8：0012：00）天气越来越暖， 中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤 然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳 下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00 20：00期间气温作为时间函数的一个可能图象，并

6、 说出所画函数的单调区间,解：单调增区间是 8,12）,13,18）; 单调减区间是 12,13）,18,20,变式练习,作差变形,定号,判断,取值,证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+)上的任意两个实数，且V1V2,所以，函数 V(0,+)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大,取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1x2; 作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1), 并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形; 定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可进行分类

7、讨论; 判断：根据定义得出结论,利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤,提升总结,此为证明的关键点、易错点,画出反比例函数f(x)= 的图象. （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？ 证明你的结论,变式练习,函数图象如图,根据函数单调性的定义，结合函数的图象可知上述说法是错误的,思考交流,在此题的基础上请同学们继续探究若f(x)、g(x)均为减函数，判断yf(x)g(x)的增减性；若f(x)为增函数，g(x)为减函数，判断yf(x)g(x)，yg(x)f(x)的增减性并证明。 并概括：增函数增函数为增函数，减函数减函数为减函数，增函数减函数为增函数，

8、减函数增函数为减函数,D,C,解析：直线y=kx+b在k0时，单调递减. 2a-10,即a,D,D,5.函数 f(x)=x2-2ax+3在(-，4上是减函数，则 a的取值范围为_,4，,解题关键】可利用函数图象求解,6.已知f(x)是R上的增函数，若f(a)f(1-2a),则a的 取值范围是 【解题关键】利用增函数的定义可知，a1-2a,即,7. 若二次函数 在区间 上 单调递增，求a的取值范围,二次函数 的对称轴为 , 由图象可知只要 ，即 即可,解析,8.证明函数 在区间 上是增函数,证明：任取 ，且,则,因为,得,所以函数 在区间-2,+)上是增函数,取 值 作 差 变 形 定 号 下结论