高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3.1-3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定理 北师大版选修2-1

1、第二章3向量的坐标表示和空间向量基本定理,3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2空间向量基本定理,1.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一标准正交基 在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的 i，j，k叫作标准正交基. 知识点二标准正交分解 设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一 一组三元有序实数组(x，y，z)，使得a ，则把

2、叫作a的标准正交分解,答案,axiyjzk,单位向量,xiyjzk,答案,知识点三向量的坐标表示 在a的标准正交分解中三元有序实数组 叫作空间向量a的坐标， 叫作向量a的坐标表示. 知识点四向量坐标与投影 (1)i，j，k为标准正交基，axiyjzk，那么ai ，aj ，ak .把x，y，z分别称为向量a在单位向量i，j，k上的投影. (2)向量的坐标等于它在 上的投影. (3)一般地，若b0为b的单位向量，则称 为向量a在向量b上的投影,ab0|a|cosa，b,x，y，z,a(x，y，z,x,y,z,坐标轴正方向,返回,答案,知识点五空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个 的

3、向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3使得 . 思考平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ 答案空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示,a1e12e23e3,不共面,题型探究 重点突破,题型一空间向量的基底,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3) (3)e1()e2(2)e3， e1，e2，e3不共面,反思与感悟,空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法

4、或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断,解析答案,C,解析答案,题型二空间向量基本定理,反思与感悟,反思与感悟,1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的； (2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用,解析答案,解H为OBC的重心，D为BC的中点,解析答案,题型三空间向量的坐标表示,反思与感悟,解以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示,建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示,反

5、思与感悟,解析答案,返回,返回,解如图所示，因为PAADAB1， 且PA平面ABCD，ADAB,以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知A(2,3，1v)关于x轴的对称点是A(，7，6)，则，v的值为() A.2，4，v5 B.2，4，v5 C.2，10，v8 D.2，10，v7 解析A与A关于x轴对称,D,1,2,3,4,5,解析答案,2.与向量m(0，1，2)共线的向量是() A.(2,0，4) B.(3,6，12,D,1,2,3,4,5,解析答案,3.已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标为() A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,10,12) D.(4,2,3) 解析8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki) 12i14j10k. 点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10,A,解析答案,1,2,3,4,5,解析A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2,2,0,1) (1,1,2,1,2,3,4,5,解析答案,课堂小结,1.空间任意三个不共面的