习题课(6)不定积分[1]

1、内容：不定积分的概念及积分方法基本要求：1理解原函数与不定积分的概念。2 .掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。3 .掌握不定积分的积分方法。4 .会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲:原函数与不定积分的概念1.原函数定义：在区间I上，若F(x)= f(x)(即dF(x)= f(x)dx )，称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数。2.原函数存在的条件：若函数f (x)在区间I上连续。则f (x)在区间I上有原函数。3.不定积分：函数 f (x)在区间I上的所有原函数 F(x) + C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作 J f (x)dx

2、 = F(x) + C 4.不定积分与导数的关系:(1) 先积分再求导(或微分)J f (x)dx f(x)，或 d J f (x)dx = f (x)dx ；(2) 先求导(或微分)再积分JF(x)dx = F(x) +C,或 JdF(x) = F(x) + C.5.不定积分的线性性:(1) Jkf (x)dx = k J f (x)dx ；(2) J f(X) g(x)dx = J f (x)dx Jg(x)dx.二基本积分公式 (略)三不定积分的方法1.拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。(关键体现在拆项上，例如：通过有理化

3、；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段） 。2.凑微分法：Jf玖x)Tx)dx= Jf申(x)dP(x) =F(x) +c.主要用来解决复合函数的积分 （确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。要熟练常用的几个凑微分式子:1(1) Jf (ax +b)dx = - J f (ax+ b)d(ax + b) (a h 0)；a、,uiui1uiu(2)f(ax+b)dx=一f (ax+ b)d(ax+ b) (aPH0)；(4)1 f (In x)dx = f f (ln x)d In x ； xfexf (eX)dx = J f (ex)dex ；ff (arctanx)

4、d J f (arctanx)d arctanx ；1 +xf(arcsin= f f (arcsin x)d arcsin x ；訥-x2(7)J f (sin x) cosxdx = J f (sin x)d sin x ；(8)J f (cosx) sin xdx = - J f (cosx)dconx ；(9)2f f (tanx)sec xdx=Jf(tanx)dtanx ;(10) f (secx) secxtan xdx = f f (secx) d secx ；(11)4x 二 f ln|f(x)|+C. f(x) f(x)3.换元积分法！ I 了W必/少0）收（0比换元名称被

5、积函数特点具体换元公式换元目的含有Ja2 -x2X = asi nt多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元:三角换元人石i22含有P x + aX =ata nt去根号化 为有理函 数或三角 函数有理 式的积分含有 X = ata ntX = a sect根式换元根式换兀含有vax+bt = n ax + b厶若j ax十b 含有n ex +d/ ax + b t =V ex + d倒代换分母幕次比分子幕次较高1x =- t降低分母幕次4.分部积分法：Ju(x)v(x)dx =u(x)v(x) - Ju(x)v(x)dxu(x)与 V(x)的或 Ju(x)dv(x) =u(x)v(

6、x) - Jv(x)du(x)主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好选取，原则是v(x)好找原函数，u(x)的导数简单，积分Ju(x)v(x)dx积分fu(x)v(x)dx容易(至少不难)。要掌握以下几种常见类型的分部积分:被积函数类型条件u( x)取作v(x)取作目的幕函数X三角函数正整数次幕幕函数三角函数降低幕次幕函数X指数函数正整数次幕幕函数指数函数降低幕次幕函数X对数函数实数次幕对数函数幕函数去掉对数函数幕函数X反三角函数实数次幕反三角函数幕函数去掉反三角函数指数函数X三角函数u(x)与v(x)任取，用两次分部积分，出现“打回头”四.几类特殊函数的积分无豊函数积分 I

7、y/aj? +ix+f： )lx k&X=u2d盘 D ： f -Jax =+ E三角函數有理式积井1尺(sin心COSH购tan 壬=t1 凤sin x)cosxdxTsin X- t1 JcgsQ sin xdxCOE z - /f 农tan x)L#rLtanz = /1 应(gin2 x,CQ tan忑)d忑 = tanxw = asecxcx+dxF J VI. zw u Lc a rr1tdt悴圧西鄒分分式!十衣1ir 一f dxiO+u)必dl3 w有理函數积分例题精讲1.若 Jf (x)dx =(x1)eX+C，求函数 f (x).解：(本题考核导数与积分的关系。给出不定积分，

8、求被积函数，只需对等式两边求导)对等式两边同时求导，有f(x)=ex +(X1)ex=xex.2.若函数 f(x)满足 f(ta n 2 1 2 所以，f(X)=C +x+X2，由 f(0) =1，得 C =1，于是 f(X)=1+ x+X2. 2x)=secx，且 f(0)=1，求函数 f(x).解：(本题也是考核导数与积分的关系。给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。本题要注意积分变量是tan2 x，或先将式子f (tan2 x) = sec2 x改写为f (x) = 1 + x，再两边求积分)对等式两边同时求积分，有)f (tan2 X)= J f (tan2 x)d tan2 x

9、= fsec xd tan2 x = J(1 + tan2 x)d tan2 x=tan2 X +丄(tan2 x)2 +C.2r _ XX V 03.设函数f(x)=J 求不定积分f f (x)dx.isi nx,x0.解：(这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数F(X)= J f (x)dx.在分界点处应连续)2x当 X cO时，F(x) = Jf (x)dx = J(x)dx =-_ + C ；当 x0时，F(x) = J f(x)dx = Jsinxdx= -cosx +G .有 F(0) =F(0r =F(0)，有 C = 1 +G，得 G =1 +C.2X所以，Jf(x)dx =

10、 -y C，xvO,H -cosx + C, X4.若f (x)的一个原函数为ln2x,求不定积分Jxf(x)dx解：(尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与f (x)的导数f(x)乘积的形式，因此首先要进行分部积分)由f(x)的一个原函数为ln2x，即rf(x)dx=l n2x-C，所以X于是，Jxf (x)dx =xf(X)- J f (x)dx = 21 n x - ln2 x + C.X5 设函数 F(x)是f(x)在x0时的一个原函数，满足xef(x)F(x)= Xe 2，且2(1 +x)F(0) =1, F(x) A0.求函数 f(x).解：(本题还是

11、考核原函数概念。由于在条件f(x)F(x) =xeX2中同时出现了 f (X)2(1 + x)与F(X)，为方便都统一于 F(X)，然后再积分)由F(x)是f (x)的一个原函数及f (x)F(x)X=21?，有 F(X)F(XXxe22(1 + x)对上式两边同时求积分，得X xe=F(x)F(x)dx= f222(VHx)2F2(x)dx1 1Px7.X1 xe2 1 +x(Fdx)1 +x由 F(0) =1 及 F(x) 0,得 C =0,且所以，f（X）=F（X）=g（)=2(1 +x)F(X)丄Xx/2 xedx V1+x2(1 +x)3/2 .6.求下列不定积分 （本例都是典型的、

12、常见的凑微分类型，有些题目要经过多次凑微分）(1)In x.r dx ；xU1 +ln Xdx X_x 4(e +e )(2)dx(4)1arctandx ；arcs in*ladx ；vcosxIn xxV1 +ln=dxXW + In x(6)dx/ X 丄 4(e +e )中(e2x+1)34(e2x +1)2dx1 +x2J lntanx dx. 、sin xcosx2 ,td(1 +ln X) = (1 +lnx)3/2 _2寸 1 +ln x +C .P1+lnx3e4xdx.2x 4 J俚亠心1)(e+1)42 (e +1)4(e2x +1)4d(ef)1-3e2x6(e2x +

13、1)312(e2x +1)3 +Cd arcsin 今(3) jJ4-x2arcsin(1-()2 arcsinarcsin今=ln arcsin +C2arcta narcta narcta n 门、(4)占“亦卄山昵)-Jarctand arctan1 = 1 (arctan1)2 + C. x一 Cc3怦dx，Tcosxsi nx.严，2 丄Q=J dx = - J(cosx) 2 d cosx =+ CcosxjcosxJcosxIn tan X,Intanx ,” In tan x .丄dx = J dx = Jd tan xsin xcosx、tanxcos x 、tanx1 2=

14、JIntanxdln tanx=-ln tanx+C.7.求下列不定积分（本例都是有理函数的积分，有理函数的积分不一定都拆成部分分式）(1)Jdx ；解：（1）（本题除了利用部分分式,没有太好的办法。X3 -121ExJ(1E=X=x=x丄2 x-2、+2)dx3 X2-x+1 d(x-2)1 r(2x-1)dx3x2 x+1(字)2 +(xV)21(x-弓)帀 arctan + C2 1-訓x+i|+1|n(x2 -x+D-4InX2 x+1(x+1)2（2）（本题属于dx xR(xn)型，可以凑成f ndx n兴）、xnR（xn）dxx(x3 +1)2 dx3=33八1)3_ 1 dx =

15、1 (X +1)-3 x3(x3 +1)2 3x3(x3 +1)2rd(X3+1)、1dx3rd(X3+1)亠 1 、- 3 = _ 丨-13十(x3+1)23X3 x3+1 x3+1dx33x dx31=3(|”（3）（本题由于分母的幕次相对于分子的幕次较高，因此应当用到代换.)令X =-,则dx = 5-,于是 ttdxt87,5,3-t + arctant) +C =-厶+丄一丄中丄7 t 37x7 5x5 3x3 X1-arcta n- + C.8.求下列不定积分 （本例都是三角函数有理式的积分，能不用万能代换的,尽量不用万能代换，通常都可以用凑微分求解）/、sin2 X + tanX

16、 ,(2) f4dx ；4cos xdx(3) f、sin2x + 2cosx(4) fdx.、sin X + cosx解：（1）（本题属于 Jf（sinx）cosxdx 型）d sin2 xsin xcosxFsinx , .1 , d sin x1“ . 2 、dx = f d sinx= - f2 =一 arctan(sin x) + C.x1+sin4x2 1+(sin2 x)22、1 +si n4（2）（本题属于JR（sin2x, cos2x, tan）dx型，可作代换tanx=t.也可以直接凑微分）s i n x 41 a nxdf(t a ns ecxt a rx)d tanxc

17、 o sx.4.3.2丄3 丄丄2 丄丄、，丄tan X丄ta nx丄ta nx丄=f( t a nx +t a n x + t a n0时，令X =cht（t 0），（当X vO时，方法类似，结果相同）, -一 dt = f厂=arct asnh( tC = a ret x2 -1 +C.xTxCh2t1+sh2t方法三：本题特别，作代换7x1=t，也可以达到去根号的目的。当X A0时,令枝-1 =t，则X荷，dx=，于是dxxJx2 -1= arct anc =arct aix2 1 + C.当X cO时,方法类似，令 Jx2 -1 =t，贝y X = -V1 +t2，结果相同方法四：由于

18、分母上X的幕次比分子上 X的幕次高一些，因此可考虑倒代换,1dt令X =-,贝U dx = -2-.于是，当x 0时，有dx1=-arcsin t + C = -arcsin - + C . X当X CO时,dXdt1=f f = arcsin t + C = arcsin + C7X(3)本题解法也较多,各种解法的目的都是取根号。方法一：按jR(x,nfab)dxVex +d类型作。=t，则t2X = 1 +t2 dx2tdt2 2，于疋(1+t2)2SiXdx2t2dt(1 +t2)2 = Jtdtdt1+12 _ _1 + -1+t2X Jx-x2+c.方法二：分子、分母同乘x ,转化为 2JR(x, Vax + bx + c)dx 型dx-X2宀PxX2d(x-1/2)= 2Hj(1/2)2_(x1/2)2-JdwJx-x21= -ar cs2加(-1) -Jx-x2 +C.(注：转化为J xdx 2后，也可以用代换Qx X21x -21sin t求解)22方法三：令 X =sin t