无穷级数复习讲义

1、第一节数项级数无穷级数2 an收敛的n z0充分条件：数列aj的前n项和数列 收敛;必要条件：lim an =0例1:证明级数送4收敛.n4 n证：教材第二页的证明方法（利用 cauchy判则）.取数列丄!的前n项和Sn.当n 2时, n J1 1 1 1兰=一一n n(n 1) n 1 n1 1 1 1- Sn-T+ 123n1111 10，则称2 an是正项级数.n 41正项级数2 an收敛的充要条件是它的部分和数列 ten有界.n 4（例题参见例1）2设2 an与2 bn都是正项级数，若从某项开始有an bb恒成立，则n 1n4.若h an发散,n=t则h bn发散;n =1.若送bn收

2、敛,ni（比较判别法）比1例3:送+称为P级数，讨论它的敛散性.n吕n解：证明结果:当P 1时, （详细证明方法参见书本第六页）比1例4:级数送发散.nn n例5: Z收敛.（利用P级数）n nJn +1小结：一般在应用比较判别法时，要用到 P级数.p级数的应用价值很大，请记住它的敛散性.处处a3. 设送an与S bn都是正项级数，lim=A. n 羊n #bb.若0A +处，则艺an与艺bn同敛散; n4n4若A = 0，则当2 bn收敛时，2 an也收敛;n 4n 4若A = +处，则当送bn发散时，送an也发散. n 二nAn Vn5证明：In n5- 对于iT罂，有厂 n- n4n8I

3、n n1，且 lim = 0， n8J由A收敛，知z瞿收敛.94/5心 n8n二 V n小结：一般在应用这一定理时，也要介入 P级数来做比值判别.4. （ cauchy判别法）设送an是正项级数.nV.若从某项起，Va70，则h an发散.n=i5. （cauchy判别法的极限形式）设送an是正项级数，lim：an=q.n斗.当0兰q1时，2 an收敛;n m.当qAl时，Z an发散.n3c6.（ d Alembert判别法）设送a.是正项级数.n!a处.若从某项起 上q 1，an则2 an发散.n7.( d Alembert 判别法)设 an是正项级数,n 二lim 电1 =q . an.

4、当0 |X0 |时，送anXn发n mnrnF面两个定理用来确定幕级数的收敛半径:2如果lim |色戶L（OL代），则幕级数2 anXn的收敛半径ann z. K13如果lim Mian | = L，则幕级数S anXn的收敛半径R =. n=tL例11:求幕级数送nn 4和S nxn的收敛半径.n =1解：.Tim |1=1,nZ nxn的收敛半径为1;n 4 oCTim Vnn = nT +处，二送nnxn的收敛半径为0.幕级数的性质1设幕级数艺anXn和S bnXn的收敛半径分别为R1和R2，取R = min俶，rJ,则n4ndCZ (uanni+ Pbn)xn=aZ anXn+P2 b

5、nXn在(-R,R)中成立.n 二n 二xn的收敛半径为R，则和函数S（x）在收敛区间（-R,R ）上连续.3对幕级数S anXn逐项积分或微分，不改变收敛半径,但有可能该变收敛区域.n 二处1例12:求幕级数2 x22的收敛域和和函数.心（2n -1）!解：显然lim n|1(2n +1)!1(2n -1)!敛域为全体实数.=0,则幕级数 1x2n的收敛半径R = +k,收 心（2 n 1）!处oC令 S(x)=2时 x22，则 S(xxn三(2n - 3)! _ 1 + XS(X)，X2X 即 S(x) =1 +xS(x)，解得 S(x)=e2 e-thdt。注意初始条件 S(0) =1,

6、 S(0)= 0 .C例13:求幕级数Zn# n(n +1)臨Xnpp曲1解：令 S(x) =2 ，则 S(1) =0，(xS(X)=送 xn-=n4n(n +1)nJ1 - X所以 S(x) = M -1 11n( 1 - X)+1V X丿这类问题一般会涉及到常微分方程的求解 三.初等函数的Taylor展开式由Taylor定理知，对n+1阶可导函数f(x)有:f(x)辽 f(n)(X0)n =0n! (xfogGf如果一个函数能够在X=Xo处展开成幕级数，那么这样的幕级数时唯一的，为:处 f (n) (X )f(x)=2； (X-X0)n，这是 f(x)的 Taylor级数nz0n!当x0

7、=0时，级数称为 Maclaurin级数.1两个重要函数的Maclaurin级数(必须熟记会用)23.eX=1+x+ j + +2!3!1处1= 2(- 1 )nxnn =0在这两个Maclaurin级数的帮助下，通过变形、积分、微分、代换 等方法可以求出其他比较复杂的函数的 Maclaurin级数或在指定点的Taylor级数.例14：将In X在X =1处展开成Taylor级数.解：ln X = ln(1 中 X -1).n +1n Xn + 11比K由丄=送(1yxn，知 ln(1+x) = S (- 11 + X n =0n =0处(x _1)n屮所以 In X = In(1 + X -

8、1) =2 (-1 )n (-)n若要在X = 5处展开In x，则有如下做法:XIn X = ln(5 + X-5) =ln5 + In(1 + ( -1)(-1)15n + 15oc=In 5 + 2 (- 1 )nn =0=In 5 + 2(-1)ndn (X - 5)2n + 1)例15:将 1所以,12X + 3x + 2(-1)nxn(-1)n(|)n化简2 X2 + 3x + 2f (-1 )n(1n m2展开成Maclaurin级数.X2 +3x+2解：一1X不过，具体解决问题的方法还是因题而异，视情况而定 .这些都只是系统化的方法，有时候不一定是最优解.处(+1)2例 16: 2=5en曲 n!解：设一个幕级数S(x)=Zn zQ(n +1)2xnn!，故待求的数项级数为S1).oC / J- /I n h(n + 1)