高等数学微分方程的基本概念教学PPT课件

1、第六章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程,第三节 可降阶的高阶微分方程,第四节 二阶线性微分方程解的结构,第五节 二阶常系数线性齐次微分方程,第一节 微分方程的基本概念,一.问题引入,二.微分方程的定义,本节主要内容,三.求微分方程的解,在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程,例1 一曲线过点(0, 0)，且曲线上各点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线方程,解 设所求曲线的方程为y=y(x,x,y)为曲线上的

2、任意点，在该点曲线的切线的 斜率为y,依题意有,两边积分，得,2,1,一、问题引入,上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所有曲线但要求的是过点(0,0)的曲线，即,将(3)式代入(2)式，得C = 0，所以,为所求的曲线方程,例2 一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体下落时的重力加速度是g ，求物体下落的位置与时间之间的函数关系,解 设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用,故物体所受之力为,F = mg,所以,及加速度,又根据牛顿第二定律， F = ma,两端积分得,6,现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式,由题意知 t = 0 时,8,这里C1，C2都是任意的常数,7

3、,再两端积分，得,C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为,把(8)式分别代入(6)，(7)式，得,9,这就是初速度为0的物体垂直下落时距离,s与时间t之间的函数关系,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式,二、微分方程的定义,分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程,都是常微分方程,如 y= x2 , y+ xy2 = 0,如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就称为常微分方程,就是偏微分方程,如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数,如,本章我们只介绍常微分

4、方程,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数,都是二阶微分方程,都是一阶微分方程,如 y= x2 , y+ xy2 = 0,xdy + ydx = 0,是四阶微分方程；等等,二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程,分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,微分方程的解的分类,1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,三、主要问题求方程的解,含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使得任意常数的个数减少，则称这

5、表达式中的几个任意常数相互独立,不能合并的，即C1，C2是相互独立的,例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2,C都是任意常数）所表示的函数族是相同的,因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的,而 中的任意常数C1，C2是,2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解,初始条件: 确定任意常数取固定值的条件,解的图象: 微分方程的积分曲线,通解的图象: 积分曲线族,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题,二阶微分方程的定解条件通常是x = x0时，y = y0、 y = y0或写成,或,本章讨论的一阶微分方程 ，f(x,y)表示x,y的关系式），它的定解条件通常是x=x0时，y=y0或写成,把y和y代入微分方程左端得,解,又,例3 验证 是微分方程 的通解并求此方程满足初始条件,的特解,是该微分方程的通解,是二阶的，所以,方程,代入初始