复变函数与积分变换：1.5 复变函数_第1页
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文档简介

1、1.5 复变函数,一、基本概念,在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称之为定义域,按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应,一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数,上定义一个复变函数，记作,比如,比如,则称在 D,一、基本概念,一个复变函数对应于两个二元实变函数,分析,则 可以写成,设,其中， 与 为实值二元函数,分开上式的实部与虚部得到,分开实部与虚部即得,代入 得,二、图形表示,映射,复变函数 在几何上被看作是把 z 平面上的一个,点集 变到 w 平面上的一个点集 的映射(或者变换,其中，点集 称为像，点集 称为原像,二、图形表示,反函数与逆映射,双方单值与一一映射,为 w 平面上

2、的点集 G,设函数 的定义域为 z 平面上的点集 D，值域,的一个(或几个)点 z,一个函数,它称为函数 的反函数，也称,为映射 的逆映射,若映射 与它的逆映射 都是单值的,则称映射 是双方单值的或者一一映射,则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 中,按照函数的定义，在 G 上就确定了,2) 区域 D 可改写为,令,则,可得区域 D 的像(区域)G 满足,即,因此，它把 z 平面上的两族双曲线,分别映射成 w 平面上的两族平行直线,三、极限,若存在复数,使得,记作,或,2) 趋向于 的方式是任意的,则称 A 为函数 当 z 趋向于 z0 时的极限,几何意义,三、极限,它的像点 就落在 A 的

3、预先给定的 e 邻域内,性质,三、极限,定理,三、极限,设,证明,则,必要性 “,证明,充分性 “,则,当 时,如果,定理,设,三、极限,则,三、极限,关于含 的极限作如下规定,3,所关心的两个问题,1) 如何证明极限存在,2) 如何证明极限不存在,选择不同的路径进行攻击,放大技巧,1,2,当 时,当 时,因此极限不存在,解,当 时,当 时,因此极限不存在,方法二,方法三,沿着射线,与 有关，因此极限不存在,讨论函数 在 的极限,例,x,y,四、连续,若 在区域 D 内处处连续，则称 在 D 内连续,存在,存在,相等,2) 连续的等价表示,其中,3) 一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限,通常说：当自变量充分靠近时，函数值充分靠近

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