用对称解题四例

1、解设 iTi= 3xi + 2x2, n = 3x2 + 2xi.用对称解题四例美国数学家赫尔曼韦尔指出：“对称，尽管你可以规定其含义或宽 或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序， 美妙以及尽善尽美的 一种思想.”例1化简习2+葛+雉屈解设2 + 75, y=甫二则 xy = 1, x3 + y3= 4. x3 + y3= (x + y)(x + y)2 3xy,3- (x + y) + 3(x + y) 4= 0，(x +y+ 1)(x + y)2 + (x + y) + 4 = 0.2 (x + y) + (x + y) + 4 工 0,即寸2 十 r/T + 25 L例2昭徐I-的

2、F戶+化航自然紺当n为何值时，代数式19x2 + 137xy+ 19y的值为1999.解 由已知得xy = 1, x + y = 4n+ 2. (n为自然数)V 19x2+ 137xy + 19y2= 1999, 19(x + y)2+ 99xy= 1999.即 19(4 n + 2)2= 1990,(4n + 2)2 = 100,解得n= 2.（负值舍去）例3已知x2 4x 3= 0的两根为X1、X2.不解方程求3x1 + 2x2的值.则 t+ n = 5(x 1 + X2)= 20,2mn= 6(xi + X2)+ xiX2= 93.故可构造从m n为根的方程是y2 20y + 93= 0

3、.解得例4已知 二次方程ax2 + bx+ c = 0(a工0)的两根之比为3 : 5,求证：15b2= 64ac.解 设方程的两根为X1、X2,则3x1 5x2, 3x2 5x1两式中至少有一式 为零，则(3x 1 5x2)(3x 2 5x1)= 0 .2- 15(x 1 + X2) = 64x1X2.1右弓=64*即 15b 2= 64ac.例5已知抛物线y= ax2 + bx+ c(a工0)经过三点A(1, 1)、B(5 , 1)C(3 , 3).求 a、b、c 的值.解易知点A(1 , 1)(5 , 1)是对称点.二对称轴方程梵= =久.点C(3, 3)在直线x = 3上,点C(3,

4、3)是抛物线的顶点.故可设抛物线解析式为y = a(x 3)2+ 3,把点(1 , 1)代入得a= 1.解析式为 y =（X 3） + 3,即 y = X2 + 6x 6,a =一 1、b= 6、 c =一 6.例 6 已知点 Pi（Xi, 1999）、R（X2, 1999）是二次函数 y= ax2+bx+ 1999（a工0）图象上的两点，（xiMX2）.试求出当X = xi + X2时，二次函数的 值.解易知P*匕是对称点*则引+ Xj =-a当 X = Xi+ X2 时,=彳 m 手彳_ 7 + 1999= 1999.例7如图1,在正方形 ABC冲，E在BC上, BE= 2, CE= 1, P在BD 上，求PE+PC的最小值.解以BD为对称轴作点E的对点E/,则E/在AB上.连结CE交BD于P则P为使PE+PC的值最小的点.二 PE + PC =PE +PC=E C = VbE + BC =例8 如图厶 ZABD = ZACD=60 , ZABE= 90 - -ZBDG.求证 ABC是等腰三角形.以AD为对称轴作出 ABD的轴对图形 AB/ D,则/ABD= 60,/ADB =/ ADBZMB = 90 -ZBDC, 2 / AD聊/ BDC= 180