平面向量复习学案

1、编号：56平面向量复习学案班级： 姓名 选编： 审核： 日期： 一、向量的概念与几何运算1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 3实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下： | 当0时，的方向与的方向 ； 当0时，的方向与的方向 ； 当0时， 运算律： ； ； 共线定理：向量与非零向

2、量共线的条件是有且只有一个实数使得 4平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 二、平面向量的坐标运算1平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数、，使得我们把（，），叫做向量的直角坐标，记作 并且| 2向量的坐标表示与 为起点的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若，R，则： ； ； 。若，则 4两个向量，共线的条件是 三、平面向量的数量积1两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则 (0180) 叫做向量与的 当0时，与 ；当180时，与 ；如果与的夹角是

3、90，我们说与 ，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作，即 规定零向量与任一向量的数量积为0若，则 3向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是：数量等于 4向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角 ； ； 当与同向时， ；当与反向时， cos | 5向量数量积的运算律： ； ()； 。题型一、 向量的有关概念 【典例1】下列说法中正确的有 .（1）若|a|=|b|，则a=b;（2）若A，B，C，D是不共线的四点，则四边形ABCD是平行四边形；（3）若ab，bc，则

4、ac;（4）两向量a，b相等的充要条件是：|a|=|b|且ab.跟进练习：1.给出下列各命题：(1)向量的长度与向量的长度相等；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；其中假命题的个数为 ( )A2B3C4 D5题型二、 平面向量的线性运算【典例2】设P是ABC所在平面内的一点，2，则( )A.0 B.0 C.0 D.0 跟进练习：2. 化简下列各式结果是的是( )A. B. C. D.3.如图，在中，、分别是、上的中线，它们交于

5、点，则下列各等式中不正确的是（ ） A. B. C. D.题型三、 平面向量共线定理及应用【典例3】设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值跟进练习：4.设，是两个不共线的向量，若向量k(kR)与向量2共线，则k的值是( )Ak0 Bk1 Ck2 Dk5在中，已知是边上一点，若，则( ) A B C D题型四、 平面向量的数量积【典例4】（1）已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 .（2）在中，则等于（ ）A. B. C. D.（3）已知向量，满

6、足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.跟进练习：6.设、是两个不共线的非零向量（）（1）记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若，那么实数x为何值时的值最小？题型五、 平面向量的坐标运算【典例5】设平面上向量与不共线， （1）证明向量与垂直；（2）当两个向量与的模相等，求角跟进练习：7.已知向量,且,则（ ）(A) (B) (C) (D)8.已知向量a=（3，1），b=（1，2），则的值是（ ）A B C D9已知向量，则( ) A B C D题型六、 三角与平面向量【典例6】，则|的最小值是 A. B. C. 1 D. 跟进练习：10.已知向量，其中（1）当时，求值的

7、集合；（2）求的最大值拓 展 练 习1.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, 4k）2已知向量a，b不共线，ckab (kR)，dab.如果cd，那么 ()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向3若|a|b|1，ab，且2a3b与ka4b也互相垂直，则k的值为（ ）A.6B.6C.3D.3 4已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则a2e1e2；b3e12e2的夹角是（ ）A.30B.60C.120D.150 5.函数ytan(x)的部分图象如图所示，则()()(A)4 (B)6 (C

8、)1 (D)26.已知是单位向量，.若向量c满足,则的取值范围是（ ）A BC D7.在ABC中，=，= ，=,则下列推导中错误的是 ( )A.若0,则ABC为钝角三角形 B. 若=0,则ABC为直角三角形C. 若=c,则ABC为等腰三角形 D. 若(+)=0,则ABC为等腰三角形8.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小和方向是 .9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=ab(，R)，则= 10.已知直角梯形ABCD中,ADBC,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 .11.已知向量与的夹角为，且若，且，则实数的值为_.12.已知a（，2)，b(3，5)且a与b的夹角是钝角，则实数的取值范围是_.13.设分别是的边上的点，若（为实数），则的值为 14.已知正方形的边长为，为的中点，则_。15.如图，在ABC中， ， ，则的值为 .16. 已知a(3，4)，b(4，3)，cxayb，且ac，|c|1，则 x= ； y= .17.设，为单位向量，且，的夹角为，若，则向量在方向上的射影的数量为 18.已知a和b的夹角为60，|a|10，|b|8，求：（1）|ab|；（2）ab与a的夹角的余弦值.19.设平面内的向量，点是直线上的一个动点，且，求的坐标及的余弦值.