_2020-2021学年度第一学期浙江省余杭区三校九年级联考数学试卷

1、2020-2021学年度上学期浙江省余杭区三校九年级联考数学试卷（2021 01）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若2a5b ， 则 aba+b 的值为（ ） A.37B.37C.35D.732.两道单选题都含有A、B、C、D四个选项，小明同学在不会做的情况下，两题都答对的概率是() A.18B.14C.116D.383.关于二次函数y=2x2+x-1，下列说法正确的是（ ） A.图像与y轴的交点坐标为(0，1)B.图像的对称轴在y轴的右侧C.当x0时，y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为- 984.如图，在O中，AB是弦，OCAB，垂足为C，若AB16，OC6，则O的半径

2、OA等于( ) A.16B.12C.10D.85.如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米若梯子与地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（ ） A.2sin 米B.2cos 米C.2sin 米D.2cos 米6.如图，在RtABC中，ACB90，AC24，AB25，CD是斜边AB上的高，则cosBCD的值为（ ） A.725B.2425C.724D.2477.如图， AB 为 O 的切线， A 为切点， OB 交 O 于点 D ， C 为 O 上一点，若 ABO=42 ，则 ACD 的度数为（ ） A.48B.24C.36D.728.如图，身高1.5米的小西站在点

3、D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 AB 的方向行走4.5米至点F，此时影子 NF 为1米，则路灯BM的高度为（ ） A.3米B.3.5米C.4.5米D.6米9.如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）A.6B.6C.4D.310.二次函数yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2 ， y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：4a2b+c0；若y2y1 ， 则x24；若0x24，则0y25a；若方程a(x+1)(x3)1有两个实数根x1和x2

4、 ， 且x1x2 ， 则1x1x23其中正确结论的个数是（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（4，4），D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为原来的一半后得到线段AB，则端点A的坐标为_. 12.如图，在ABC中，A30，tanB 32 ，AC2 3 ，AB的长_ 13.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 25 ，则n=_. 14.如图，在 ABC 中， AB=43,BC=4,ABC=90 ，以 AB 为直

5、径画弧，与 AC 交于点D，则图中阴影部分的面积为_（结果保留 ）. 15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，D 的半径为 1现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称 中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两 点，则EH的值为 _. 16.如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折DBE ， 使点B落在点F处，连接AF ， 则当线段AF的长取最小值时，sinFBD是_ 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.某校举行秋季运动会，甲、乙两人

6、都报名参加100m短跑比赛，预赛分A、B、C三组进行，运动员通过抽签决定分组. （1）甲分到A组的概率为_； （2）利用树状图或列表的方法求甲、乙两人不在同一组的概率. 18.如图，在 ABC 中， ADBC ，垂足为D， BC=12,AD=6,tanC=32 . （1）求 sinABD 的值； （2）过点B作 BEBC ，若 BE=10 ，求 AE 的长. 19.如图，在 ABC 中，点D、E分别在边AB、AC上， AED=B ， AG分别交线段DE、BC于点F、G ， 且AD： AC=DF ： CG. 求证： （1）AG平分 BAC ； （2）EFCG=DFBG 20.如图1，ACCH于点

7、C ， 点B是射线CH上一动点，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE（点D对应点C） （1）延长ED交CH于点F ， 求证：FA平分CFE； （2）如图2，当CAB60时，点M为AB的中点，连接DM ， 请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明 21.在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行 销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之

8、间的 函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出 最大利润22.如图，抛物线 y=ax232x+c(a0) 与x轴交于点A，B，与y轴交于点 C(0,2) ， tanABC=12 .直线 x=1 交 BC 于点D，点P是直线 BC 下方抛物线上一动点，连接PD. （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，连接 PC ，求 PCD 面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接 AC ，过点P作 PEBC 于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与 ABC 相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2

9、3.如图，ABC内接于O，AD平分BAC交BC边于点E，交O于点D，过点A作AFBC于点F，设O的半径为R，AFh （1）过点D作直线MNBC，求证：MN是O的切线； （2）求证：ABAC2Rh； （3）设BAC2，求 AB+ACAD 的值（用含的代数式表示） 答案一、选择题1.解：2a5b ， b 25 a，把b 25 a代入 aba+b 得 a25aa+25a = 37 ，故答案为：B2.解：据题意画图如下： 共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种，小明同学在不会做的情况下，两题都答对的概率 =116 故答案为：C3.y=2x2+x-12（x 14 ）2 98 ， 当x0时，y1，A不

10、符合题意，该函数的对称轴是直线x 14 ，B不符合题意，当x 14 时，y随x的增大而减小，C不符合题意，当x 14 时，y取得最小值，此时y 98 ，D符合题意，故答案为：D4.连接OA， OCAB，OC过O，AC=BC= 12 AB=8，在RtAOC中，AC=8，OC=6，由勾股定理得：AO= OC2+AC2 =10，5.由题意可得：sin BCAB BC2 ， 故BC2sin （米）故答案为：A6.解：在直角三角形ABC中，ACB=90，AC=24，AB=25 BC=7 CD为斜边AB上的高，ABCD2=ACBC2 CD=ACBCAB=24725=16825 CDAB CDB=90 co

11、sBCD=CDBC=2425 故答案为：B.7.解：如图，连结OA，则由切线定义可得：OAB=90， AOB=90-ABO=90-42 =48，根据圆周角定理可得：ACD= 12 AOB=24，故答案为：B.8.解：由图可知：CDAB，MBAB CDMBACDAMB， CDBM=ADAB同理可得： EFBM=NFBN由题意知：CDEF1.5，AD2.5，DF4.5，NF1 ADAB=NFBN设BFx，则 2.57+x=11+x 1.5x=72.5解得： x=3 1.5BM=13+1BM6故答案为：D9.解：连接AC 菱形ABCD AB=AC=AD=BC=1 ABC是等边三角形， BAC=60

12、弧BC的长为6012180=3. 故答案为：D. 10.二次函数yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为 (1,4a) 函数的对称轴为x b2a=1根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等当x=-2时，y=4a2b+c0于是的结论符合题意；点A（4，y1）关于直线x1的对称点为 (2,y1)当y2y1 ， 则x24或x22，于是不符合题意；当x4时，y116a+4b+c16a8a3c5a，当1x24，则3ay25a，于是不符合题意；方程 a(x+1)(x3)=1 有两个实数根x1和x2 ， 且x1x2 ， 抛物线 y=a(x+1)(x3) 与直线y1交点的坐标 (

13、x1,1) 和 (x2,1)抛物线 y=a(x+1)(x3)=0 时，x1或3，即抛物线 y=a(x+1)(x3)=0 与x轴的两个交点坐标分别为（1，0）和（3，0），1x1x23，于是符合题意故答案为：B二、填空题11.解：以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为原来的一半后得到线段AB， 点A是OC的中点， 点A（4，4），点O（0，0） 点A4+02，4+02即（2，2） 故答案为：（2,2）.12.解：作CDAB于D，如图， 在RtACD中，A30，AC2 3 ，CD 12 AC 3 ，AD 3 CD3，在RtBCD中，tanB CDBD ， 3BD=32 ，BD2，ABAD

14、+BD3+25.13.根据概率的计算公式可得： 25=22+n ，解得：n=3.14.如图，连接OD，作 DEAB 于点E， AB=43,BC=4,ABC=90tanA=443=33，A=30DOB=60OD=12AB=1243=23DE=ODsin60=3 阴影部分面积为：SABCSADOS扇形ODB=124341223360(23)2360=53215.解：连接DH，过点O作OGAD于点G， 点O为矩形ABCD的对称中心， OG12AB1，DG12AD12BC2， OH与D切于点H， DHOH， DH1， 在RtODG和DOH中， OGDHODDO RtODGRtDOH（HL）， ODGD

15、OH， EOED， 设OEx，则DEx，GEDGDE2x， 在RtOGE中， GE2OG2OE2 ， （2x）212x2 ， 解之：x=45 ， EH(54）21234. 故答案为：34. 16.解：由题意得， DF=DB 点 F 在以 D 为圆心、 BD 为半径的圆上，作 D ，连接 AD 交 D 于点 F ，此时 AF 的值最小，如图：点 D 是 BC 的中点 CD=BD=12BC=3 AC=4 AD=AC2+CD2=42+32=5 FD=3 FA=ADFD=53=2 AF最小值=2连接 BF ，过 F 作 FHBC 于 H ，如图： ACB=90 FH/AC DFHDAC FHAC=DH

16、CD=DFAD FH4=DH3=35 FH=125 ， DH=95 BH=245 BF=FH2+BH2=245 sinFBD=FHBF=55 故答案是： 55三、解答题17. （1）13（2）解：甲乙两人抽签分组所有可能出现的结果有：（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C）共有9种，它们出现的可能性相同.所有的结果中，甲乙分到同一组的结果有3种，甲乙不在同一组的结果6种，所以P(甲乙不在同一组) 69=23 . 解：（1）甲分到A组一种情况，总的有三种，则P（A）= 13 ，18.（1）解：在RtADC中 AD=6,tanC=3

17、2 CD=4BD=124=8在RtABD中，根据勾股定理可得AB=BD2+AD2=10 sinABD=ADAB=610=35 （2）解：作AFBE于点F BEBC ， ADBC 四边形ADBF是矩形AF=BD=8，AD=BF=6EF=106=4在RtAEF中，根据勾股定理可得AB=AF2+EF2=45 19.（1）证明：如图所示： DAE+AED+ADE=180 ， BAC+B+C=180 ， AED=B ， ADE=C ，在 ADF 和 ACG 中， AD:AC=DF:CGADE=C ADF ACG ， DAF=CAG ， AG 平分 BAC （2）证明：在 AEF 和 ABG 中， AED

18、=BEAF=BAG ，AEF ABG ，EFBG=AFAG ，在 ADF 和 AGC 中，DAF=CAGADF=C ，ADF AGC ，DFCG=AFAG ，EFBG=DFCG ，EFCG=DFBG 20.（1）如图1中， ADE由ABC旋转得到，ACAD，ACFADEADF90，AF=AF ACFADF (HL)，AFC=AFD ， FA平分CFE；（2）结论： 2DM+3AD=DE ， 理由如下：如图2中，延长AD交BC于F，连接CD，ACAD，CAD60，ACD为等边三角形，ADCDAC，ACF90，CAF60，AFC30，ADAC 12 AF，ADDF，D为AF的中点，又M为AB的中点

19、，DM 12 FB，即FB=2DM在RtAFC中，FC 3 AC= 3 AD， DE=CB=FB+FC ，FB+FC=2DM+3AD 2DM+3AD=DE 21. （1）解：y是x的一次函数，设y=kx+b， 图象过点（10，300），（12，240）， 10k+b=30012k+b=240 ，解得 k=30b=600 y=30x600当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，点（14，180），（16，120）均在函数y=30x+600图象上y与x之间的函数关系式为y=30x+600（2）解：w=（x6）（30x600）=30x2780x3600， w与x之间的函数关系式为w=30

20、x2780x3600（3）解：由题意得：6（30x+600）900，解得x15 w=30x2780x3600图象对称轴为： x=7802(30)=13 a=300，抛物线开口向下，当x15时，w随x增大而减小当x=15时，w最大=1350以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元22. （1）解： C(0,2) ， OC=2 ， 在 RtBOC 中， tanABC=OCOB=2OB=12 ，OB=4 ，即 B(4,0) ，将点 B(4,0),C(0,2) 代入抛物线的解析式得： 16a6+c=0c=2 ，解得 a=12c=2 ，则此抛物线的解析式为 y=12x232x2 ；（2）

21、解：设直线BC的函数解析式为 y=kx+b ， 将点 B(4,0),C(0,2) 代入得： 4k+b=0b=2 ，解得 k=12b=2 ，则直线BC的函数解析式为 y=12x2 ，当 x=1 时， y=1212=32 ，即 D(1,32) ，则 CD=(10)2+(32+2)2=52 ，要使 PCD 的面积最大，则需要点P到CD的距离最大，设与直线BC平行的直线 l 的函数解析式为 y=12x+d ，则 F(0,d),CF=2d ，如图，过点C作 CEl 于点E，则CE为直线BC与直线 l 间的距离，在 RtBOC 中， OB=4,BC=OB2+OC2=25 ，则 sinOCB=OBBC=25

22、5 ，BC/l ，CFE=OCB ，sinCFE=sinOCB=255 ，在 RtCEF 中， sinCFE=CECF=CE2d=255 ，解得 CE=255(2d) ， d 越小，CE越大，当直线 l 要与抛物线 y=12x232x2 有交点，即当直线 l 与 y=12x232x2 有且只有一个交点时， d 最小，此时的交点即为点P，联立 y=12x232x2y=12x+d ，整理得： 12x22x2d=0 ，则其根的判别式 =4412(2d)=0 ，解得 d=4 ，则此时 CE=255(2+4)=455 ，PCD 面积的最大值为 1252455=1 ，将 d=4 代入 12x22x2d=0

23、 得： x1=x2=2 ，当 x=2 时， y=12223222=3 ， PCD 面积取得最大值时，点P的坐标为 (2,3) ；（3）解：对于 y=12x232x2 ， 当 y=0 时， 12x232x2=0 ，解得 x=1,x=4 ，A(1,0) ，B(4,0),C(0,2) ，AB=4+1=5,AC=12+22=5,BC=22+42=25 ，AC2+BC2=AB2 ，ABC 是直角三角形，且 ACB=90 ，设点P的坐标为 (m,12m232m2) ，PEBC ，直线BC的函数解析式为 y=12x2 ， 设直线PE的函数解析式为 y=2x+n ，将 (m,12m232m2) 代入得： 2m+n=12m232m2 ，解得 n=12m2+12m2 ，则直线PE的函数解析式为 y=2x+1