第九章直线、平面、简单几何体(B)综合能力测试

1、第九章直线、平面、简单几何体（B）综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。满分150分。考试时间120分钟。 一、选择题 （每小题只有一个选项是正确的 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的。 ）()1 . （2019上海市普通高等学校春季招生考试）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的B .必要不充分条件D 既不充分也不必要条件A 充分不必要条件C .充要条件答案： B即由“两条直线没解析： 在空间中 两条直线没有公共点 这两条直线可能是异面直线有公共点 ”不能推知 “ 这两条直线平行 ”；反过来 由 “ 两

2、条直线平行 ” 可知 “ 这两条直线没 有公共点 ”.因此 在空间中 “两条直线没有公共点 ” 是“这两条直线平行 ” 的必要不充分 条件 选 B.2. （2019广东重点中学）已知三条不重合的直线 列命题： 若 若 若 若m、 n、 I 与两个不重合的平面3,有下m/ n n?I丄a , m丄 m? a n?a丄 3, ana 则 m/ 3且 I/ m a m/ 3 3= m n?a；则all 3n / 3 则n丄m,3,a/ 3； 贝U n丄a.其中正确的命题个数是A. 1B. 2答案： B解析： 对于 若 m/ nCDn?ml a或 m? a n? 不正确；对于 若 m/ 3 n/ 3

3、则 a/3a,贝U 若 m?,若a丄3, an 3= m , n? 3, n丄m ,则n丄a,a,且 I / m 则 a/ 3 显然成立；对于 的判定定理知它是不正确的；对于 直的性质定理知它是正确的；综上所述 正确命题的个数为2 故选 B.3. （2019东北三省十校一模）三棱锥 F ABC中/ ABC = 90 , FA= FB = PC , 正确的是A .平面FAC丄平面 ABCC . PB丄平面ABC答案： AB.平面 PAB丄平面 PBCD. BC丄平面FABI丄由面面平行 a,由面面垂a,则下列说法（） ABC 的斜解析：如图，因为/ ABC = 90 , PA= PB= PC,所

4、以点F在底面的射影落在边的中点 0处，连结 OB、OP,贝y PO丄OB.又 PA= PC,所以PO丄AC ,且AC n OB = O , 所以PO丄平面ABC.又PO?平面PAC , 平面PAC丄平面ABC ,故选 A.4. （20i9安徽皖北联考）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为 三棱锥的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是8in B. 36 n C.4 n D. i44 n4,4,7，若此( )答案：解析：9的半径为9，则球的表面积为 81 n,故选A.5.在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AAi = AB= AC, AB丄AC, M是CCi的中点，Q是BC 的中点，

5、点P在AiBi上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）A由于三棱锥的三个侧面两两垂直，即可把它补成长方体，其对角线长为9,外接球A. 30 B. 45 C. 60 D . 90 答案：D解析：取AC的中点N，连结 可证：AN、QN,AB 丄 am!AB / NQ JAM 丄 NQ ； 又AM 丄AiN JAM 丄面 AiBiQNAM 丄 PQ. PQ?面AiBiQN故选D.6.正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，对角线 BDi= 8, BDi与侧面BCi所成的角为30,则 ）BDi和底面ABCD所成的角为A . 30 B . 60 C . 45 D . 90 答案：C解析：/ BDi与侧面

6、BCi所成的角为/ DiBCi，则/ DiBCi = 30 又 BD = 8,DiCi = 4,BD = 42.又DiB与底面ABCD所成的角为/ DiBD,从而 cos/ DiBD = BBD =,BD i 2/ DiBD = 45.7.已知三棱锥 P-ABC的三个侧面与底面全等，且 AB = AC=/3, BC= 2.则二面角 BC A的大小为(n nB3 C.2C如图所示,nA.答案：解析：得 PB = PC=e由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB= AC = fS,PA= BC = 2,取BC的中点E，连结AE, PE,则/AEP即为所求二面角的平面角.且 AE = EP=,/ AP2

7、= AE2 + PE2, / AEP = 2，8.如图，在棱长为3的正方体ABCD AiBiCiDi中，M、N分别是棱 则点B到平面AMN的距离是A9代2 C虱5C. 5答案：D解析：设AC的中点为0, MN的中点为E,连结AE,作0G丄AE 于G,易证0G即是点B到平面AMN的距离作出截面图，如图所示， 由 AAi= 3, A0=呼，AE = 292， AAiEOGA，计算得 0G= 2,9.如图，a丄 B ad 3= l,A a, B 3 A、B到1的距离分别是的角分别是0和0 AB在a3内的射影分别是m和n.若a b,贝UA .0 0m nB .0 0m nC.0 0m nD .0 n故

8、选D.答案：D解析：由题意可得 ” AB2= a2+ n2a b,=b2+ m2,atan 0= n,Itan = m，AiBi、AiDi 的中点,()a和bAB与a B所成m n,即有10.如图所示，在单位正方体 ABCD AiBiDi的面对角线 AiB上存在一点P使得AP + DiP 取得最小值，则此最小值为（）故选D.V2+V6B. 2D.72+72cC. 2+眾答案：D解析：如图所示，把对角面 A1C绕A1B旋转至A1BC DJ，使其与 AA1B在同一平面 上，连接 AD1，贝U AD1 =71 + 1 2X 1 X 1 X cos135i= 72+/5为所求的最小值.半径为1的球面上

9、，其中底面的()并且总是保持PE丄AC,则动点P的轨迹与 SCD组成( )ccD11一个正三棱锥的四个顶点都在 三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是A凶3B亚C亚D亚A. 4B. 3C. 4D. 12答案：C解析：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1./底面是正三角形且球半径为1.底面边长为 羽，二底面积为343,.vU X 泌 X 1 =並 344 .12. (2019辽宁省东北育才中学高三模拟 )如图在正四棱锥 S- ABCD中，E是BC的中点, P点在侧面 SCD内及其边界上运动， 的相关图形是答案：D解析：取CD中点F ,AC丄EF，又 SD在面ABCD内的射影为 BD

10、且AC丄BD , / AC丄SD, 取 SC 中点 Q, EQ / SD, AC丄EQ,又AC丄EF, AC丄面EQF，因此点 P在FQ上移动时总有 AC丄EP.故选 D.第n卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。）13. （2019江苏，12）设a和3为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a内的两条相交直线分别平行于3内的两条直线，则 a平行于3（2）若a外一条直线I与a内的一条直线平行，则I和a平行；设a和3相交于直线I，若a内有一条直线垂直于I，贝y a和3垂直；（4）直线I与a垂直的充分必要条件是 I与a内的两条直线垂直.

11、 上面命题，真命.的序号是 （写出所有真命题的序号）答案：（1） （2）解析：由面面平行的判定定理可知，（1）正确.由线面平行的判定定理可知，（2）正确.对于（3）来说，a内直线只垂直于 a和3的交线线，故也得不出 a丄3对于（4）来说，I只有和a内的两条相交直线垂直，也就是说当I垂直于a内的两条平行直线的话，I，得不到其是 3的垂才能得到 I丄aI不一定垂直于 a14. 如图所示，等边 ABC的边长为4, D为BC中点，沿AD把 ADC 折叠到 ADC 处，使二面角 B ad C 为60则折叠后点 a到直线BC 的距离为 ;二面角 a BC 一 D的正切值为 .答案：屮5 2解析：如图，作D

12、M丄BC 于点M，连结am，则am为点a到直线BC 的距离，ad = 2寸3, DM =寸3,所以 am =7ad2 + DM 2 =15.二面角 2a/5 a BC D的平面角为 / AMD，正切值为tan/ AMD =电=2.15）如图所示，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱 CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小15. （2019 四川, 长都相等，M是侧棱 是.AAl心hf90设棱长为答案：解析：连结A2M , / MBA2即为ABi与BM所成的角，在 A2BM中，A2B = 2a，补正三棱柱 ABC A2B2C2（如图）.平移ABi至BM = “2+（2）2 =a

13、,A2M =寸 a2 + ga）2 = a, A2B2 + BM2= A2M2, / MBA2= 90.16.如图，已知球 0的面上四点 A、B、C、D , da丄平面 ABC, ABBCA2B,a,丄 BC, DA = AB = BC=（3,则球o的体积等于答案:92n解析： ABC的外接圆的直径为 AC, AC = 6,由DA丄面ABC得DA丄AC, CD为球的直径，CD =寸DA 2+ AC2 = 3,球的半径R= 3,-V 球=3nR = 2n三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）17.（本小题满分10分）如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形

14、，SA丄底面ABCD , E是SC上一点.求证：平面EBD丄平面SAC;假设SA= 4, AB= 2,求点A到平面SBD的距离；解析：(1) 正方形 ABCD , BD丄AC,又TSA丄平面ABCD , SA丄BD，贝U BD丄平面 SAC, 又 BD?平面BED ,二平面BED丄平面SAC.(2)设 ACn BD = O,由三垂线定理得 BD 丄 SO.AO= 2aC= 2J2aB =十 V2 2=2, SA= 4, 1 1则 so = 7SA? + AO2=7 16 + 2= /2, Sabsd=尹D SO= 2 2逼 3/2 = 6.设 A 到面 BSD 的距离为 1144h,贝U Vs

15、-ABD = Va-BSD,即 jSABD SA= Sbsd h，解得 h = 3，即点 A 到平面 SBD 的距离为 4.18.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中, AA1= 2AB=4,点 E 在 C1C 上且 C1E = 3EC.(1) 证明A1C丄平面BED ;(2) 求二面角A1 DE B的大小.解析：依题设知AB = 2, CE= 1 ,(1)证明：连结 AC交BD于点F，则BD丄AC.由三垂线定理知，BD丄AQ.在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G,由于AAr=Ci = 2返，故 Rt A1ACS Rt FCE, / AA1C = / CFE ,

16、 / CFE 与/FCA1 互余.于是A1C丄EF.AiC与平面BED内两条相交直线 BD、EF都垂直. 所以AiC丄平面BED.作GH丄DE,垂足为H，连结AiH. 由三垂线定理知AiH丄DE , 故Z AiHG是二面角Ai DE B的平面角.EF =7 CF2+ CE2 =&, CEX CF =返CG = ef =73 .EG =7CE2- CG2 =当.EG=丄，GH = 1X EF =芈EF 3, G 3 DE715 .又 AiC =Aa1+ AC2 = 2風 AiG = AiC CG = ,tanZ AiHG = AS = 5逅HG所以二面角 Ai DE B的大小为arctan55.

17、Z ABC = / BCD = 90 i9.(本小题满分i2分)如图，四棱锥S ABCD的底面是直角梯形, AB =BC = SB =SC = 2CD = 2,侧面 SBC丄底面 ABCD.(1) 由SA的中点E作底面的垂线EH，试确定垂足H的位置；(2) 求二面角E BC A的大小.解析：(1)作SO丄BC于O,则SO?平面SBC, 又面SBC丄底面ABCD , 面 SBCn 面 ABCD = BC, SO丄底面ABCD又SO?平面SAO, 面SAO丄底面ABCD ,作EH丄AO , EH丄底面ABCD即H为垂足，由知，EH / SO,又E为SA的中点， H是AO的中点.(2)过H作HF丄B

18、C于F，连结EF , 由(1)知EH丄平面ABCD , EH丄BC , 又 EH n HF = H , BC丄平面 EFH , BC丄EF , / HFE为面EBC和底面 ABCD所成二面角的平面角. 在等边三角形 SBC中，/ SO丄BC, O为BC中点，又BC = 2. SO= 722- 12 =73, EH = 2sO=，1又 HF = 2AB = 1,在 Rt EHF 中，tanZ HFE =牢=- HF Z HFE = arctan.20.(本小题满分 中，AB= 1 , AAi= 2,即二面角E BC A的大小为arcta门爭.12分)(20i9唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱

19、 ABCD AiBiCiDi MN与AiA所成的角为90 cBBi的中点;(1) 求证：点M是(2) 求直线MN与平面ADD iAi所成角的大小；(3) 求二面角 A MN Ai的大小.解析：(1)取AAi的中点P,连结PM, PN.MN n PN = N, N 是 AiD 的中点， AAi丄 PN，又 AAi丄 MN , AAi 丄面 PMN./ PM?面 PMN , AAi PM , PM / AB,C点M是BBi的中点.由知/PNM即为MN与平面ADD iAi所成的角. 在 Rt PMN 中，易知 PM = i , PN = 2,PM tan/ PNM =嚣=2, / PNM = arc

20、tan2.故MN与平面ADD iAi所成的角为arctan2.(3) / N 是 AiD 的中点，M 是 BBi 的中点，- AiN = AN , AiM = AM ,又 MN 为公共边， AiMN BA AMN.在 AMN中，作AG丄MN交MN于G,连结AiG，则/ AiGA即为二面角 A MN Ai的 平面角.在 A1GA 中，AA1 = 2, A1G= GA =,5A1G2 + GA2 aA 2/ a2= 3, / A1GA = arccos( 3), arccos(3).12分)如图所示，四棱锥F ABCD的底面ABCD是菱形,AE= 1, CF = 2.-cos / Ai GA=2A

21、iG GA故二面角 A MN Ai的大小为21. （2019安徽，18）（本小题满分其对角线 AC = 2, BD = Q2.AE、CF都与平面 ABCD垂直,c（1）求二面角B AF D的大小；求四棱锥E ABCD与四棱锥F ABCD公共部分的体积.命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知 识考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.解答：（1）解：连接AC、BD交于菱形的中心 O,过O作OG丄AF, G为垂足，连接 BG、 DG.由BD丄AC, BD丄CF得BD丄平面 ACF，故BD丄AF.于是AF丄平面BGD，所以BG丄AF , DG丄AF, /

22、 BGD为二面角 B AF D的平面角.由 FC 丄 AC, FC = AC = 2,得/ FAC =严，OG=42由 OB 丄 OG, OB= OD=，得/ BGD = 2/ BGO =才解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥 E ABCD与四 棱锥F ABCD的公共部分为四棱锥 H ABCD.过H作HP丄平面ABCD , P为垂足.因为EA丄平面ABCD , FC丄平面ABCD ,所以平面 ACEF丄平面ABCD，从而P AC, HP丄AC.由里+址=AE +匹=1,得HP = 2CF AE AC AC31又因为S菱形ABCD = 2AC BD = 込,12/2故四棱锥H ABCD的体积V = 3S菱形 A